Кинематика материальной точки

В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

а) Равномерное прямолинейное движение — это такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения (г). Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т. е. |г| = =s. Для того чтобы найти перемещение тела г за промежуток времени t, необходимо знать его скорость V. Скорость равномерного прямолинейного движения равна V= r/t — отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение. Направление V в прямолинейном движении совпадают с направлением г, Из определения равномерного прямолинейного движения следует, что скорость такого движения является величиной постоянной, т. е. V = const. По модулю |.

V| =s /t [1].

Пусть ось ОХ системы координат; связанной с системой отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а Х_о — координата начальной точки движения. Вдоль оси ОХ направлены и перемещение г и скорость V движущегося тела. Из формулы V = г /t. следует что г = Vt. Согласно этой формуле, векторы г и V t равны, поэтому равны и их проекции на ось ОХ :

r_х = v_x t [ 2 ].

r = v t.

Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты тела в любой момент времени. Так как.

х = х₀ + г_х, а г_х =V_X t, то х = х₀+V_x t [ 3 ].

Из формулы [3] видно, что для нахождения положения тела (материальной точки) в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении нужно знать начальную координату тела (точки) Хо и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело. Но необходимо помнить, что проекция вектора скорости может быть как положительной, так и отрицательной.

Формула [3] позволяет выяснить, какой смысл имеет величина «скорость». Из нее следует; что Vx = (х-х_о) /t; проекция скорости на ось равна изменению соответствующей координаты за единицу времени. Подчеркнем еще раз, что для решения основной задачи механики необходимо знать не только модуль скорости, но и ее направление.

б) Равноускоренное прямолинейное движение — это такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Вспомним, что быстроту изменения скорости называют ускорением а.

a =(V-V_o) /t, [ 4 ].

где V_o — начальная скорость тела, т. е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; V — мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени. Из формулы [4] и определения равноускоренного движения следует, при таком движении ускорение не изменяется, т. е. а = const. В прямолинейном равноускоренном движении векторы V_o, V и, а направлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов; и поэтому формулу [4] можно записать так.

а = (V-V_o) /t [ 5 ].

Из [4] следует, что V = Vo + at — по этой формуле определяют мгновенную скорость V, если известны Vo — начальная скорость и ускорение а. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде:

V = Vo + at [6].

Если.

Vo = 0, то V = at [7],.

Средняя скорость прямолинейного ускоренного равномерного движения может быть определена по формуле:

Vcp = (Vo+ V) / 2, [8].

Где Vo — начальная скорость тела. (материальной точки),.

V — скорость в данный момент времени.

Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого проинтегрируем выражение [6] и получим, что.

s = Vot + at²/2 [9].

Если.

Vo=0, то s=at²/2 [10].

По двум последним формулам [9] и [10] определяют путь, пройденный в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела. не изменяющего направления своего движения).

Для случая; когда тело движется по оси Ох из точки с координатой х₀ из формулы [9] получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Т.к.

х = х_о + г_х а г_х = V_ox t + a_xt²/2, то: x=x_o+V_oxt+a_xt²/2 [11].

Формула [11] есть кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения. Следует помнить., что V_ох и а_x могут быть как положительными, так и отрицательными, т.к. это проекции векторов V₀ и, а на ось Ох.

Установим связь модуля перемещения тела r с его скоростью равноускоренного прямолинейного движения. Из формулы [4] находим, что t = (V — V_o) / a, подставим это выражение в формулу мгновенной скорости получим:

Vo+V V-V.

• S =, следовательно S=(V²— Vо²)/2a или
• 2 a V²= V_о²+2as если V_o =О, то V²=2as
• в) Неравномерное прямолинейное движение — это движение, при котором за равные промежутки времени тело (материальная точка) совершает неравные перемещения. При таком движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения иcпользуются понятия средней и мгновенной скоростей. V_cp =г/t — средняя скорости — векторная величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени, за который совершено это перемещение. V_cp характеризует (переменное) неравномерное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная V_cp и t, можно определись перемещение r = V_cpt. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней скорости нельзя.

Когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сторону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т. е. |r| =V_cpt. тогда V_cр = s/t, отсюда s = V_cp t.

Для того, чтобы можно было определить положение, движущегося неравномерно тела, вводят понятие мгновенной скорости. Мгновенной скоростью неравномерного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времена и, следовательно, в данной точке траектории. На предыдущей лекции вводилось понятие мгновенной скорости; числовое значение которой равно первой производной пути по времени, V=ds/dt. Если аналитический вид зависимости перемещения от времени известен, с помощью правил дифференцирования можно определить мгновенную скорость в любой момент времени.

V_мгн= dr/dt — векторная форма, Движение происходящее, по криволинейной траектории, называется криволинейным.

Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

При криволинейном движении мгновенная скорость материальной точки (тела) в каждой точке траектории криволинейного движения направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Поскольку скорость — величина векторная, изменение направления скорости даже при неизмененном модуле скорости означает, что скорость изменяется, т. е. тело движется c ускорением. Значит; любое криволинейное движение, в том числе движение по окружности, является ускоренным движением. Криволинейное движение происходит в том случае, когда вектор ускорения в любой точке траектории составляет с вектором скорости угол, не равный нулю или. Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов. Поэтому задача определения ускорения тела при произвольном криволинейном движении сводится к нахождению ускорения при движения тела по окружности соответствующего радиуса.

Траектория криволинейного движения В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и ускорением вводятся: угловая скорость и угловое ускорение. Пусть точка движется по окружности радиуса R. Ее положение через малый промежуток времени зададим углом. Очень малые повороты можно рассматривать как векторы (будем эти векторы обозначать символами и d). Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела. Следовательно, d является не истинным вектором, а поездовектором.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

= lim /t = d/dt.

t0.

Направление вектора угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению поступательным движением острия винта, головка которого вращается по часовой стрелке.

Размерность угловой скорости [ ]= Т^-1, а ее единица в системе СИ — рад/с. Линейная скорость точки.

V = lim s/t = lim R /t = Rlim /t= R, т. е. V=R.

t0 t0 t0.

Если = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2.

Т.к. промежутку времени t=Т соответствует =2, то =2/Т, откуда Т = 2/ (т.к. при равномерном вращении = /t). Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении его по окружности, в единицу времени называется частотой вращения. n = 1/T = /(2), откуда = 2n.

Используя формулы: V=R; а_ц = V²/R, получим: а_ц =²R или:

а_ц = 4²R / T²= 4²n²R.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (изменение угловой скорости по направлению).

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: =d/ dt. Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор | |, при замедленном — антипараллелен. а = =dv/dt, V=R и а=d®/dt=Rd/dt=R; a_n=V²/R=²R²/R=²R. Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами.

s=R; V=R; а = R; a_n = ²R. В случае равнопеременного движения точки по окружности, = const, = ₀+t, =₀ + ₀t+t²/2, ₀ — начальная угловая скорость. С помощью последней формулы можно в любой момент времени найти положение точки, равномерно переменно движущейся по окружности. Это значит, что данная формула выражает собой кинематический закон движения, т. е. является уравнением этого движения.