Неустановившееся движение электропривода при линейной зависимости моментов двигателя и исполнительного органа от скорости

Рассматриваемый вид движения является весьма распространенным. Он, в частности, характерен для переходных процессов в электроприводе с двигателем постоянного тока независимого возбуждения и частично для асинхронного электропривода.

Получение общих аналитических выражений для изменения скорости и момента двигателя во времени, где представлены линейные. механические характеристики двигателя Д и исполнительного органа ИО. Аналитически эти характеристики могут быть соответственно представлены как.

(1.28).

где М_к.з и М_с0 — моменты двигателя и исполнительного органа при =0.

Выражая в (1.11) и M_с. с помощью (1.28) через скорость, получаем.

(1.29).

Поделив уравнение (1.29) почленно на, найдем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

(1.30).

где электромеханическая постоянная времени процесса, с;

установившаяся (конечная) скорость движения, соответствующая точке 1 пересечения механических характеристик.

Решение (1.30) будем искать как сумму общего решения линейного однородного уравнения (свободной составляющей движения).

(1.31).

и частного решения неоднородного уравнения (1.30) (принужденной составляющей движения), т. е. в виде.

(1.32).

Свободную составляющую движения в соответствии с уравнением (1.31) найдем в виде, где некоторая константа, корень характеристического уравнения.

(1.33).

Из (1.33) находим корень характеристического уравнения, и для свободной составляющей имеем.

(1.34).

Принужденная составляющая движения может быть получена, если в (1.30) положить. Выполнив это, найдем.

(1.35).

С учетом (1.34) и (1.35) представим решение (1.30) в виде.

(1.36).

Константу, А находим по начальным условиям переходного процесса: при, откуда. Окончательно для скорости получаем.

(1.37).

Так как скорость и момент двигателя связаны линейной зависимостью [первое уравнение (1.28)], закон изменения момента в функции времени имеет вид, аналогичный (1.37),.

(1.38).

Для нахождения зависимости угла поворота вала двигателя от скорости необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение, предварительно подставив в него найденную зависимость (t) из (1.37). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат.

(1.39).

Полученные выражения (1.37) (1.39) могут использоваться для анализа переходных процессов различного вида пуска, реверса, торможения и т. д. Для пользования ими в каждом конкретном случае должна быть определена электромеханическая постоянная времени Т_м, а также начальные и конечные значения координат. В частном случае, когда и, эти величины могут быть определены по формулам.

(1.40).

Выражения (1.37) и (1.38) позволяют определить время изменения скорости или момента от какого-либо начального значения до значений; или M_i

(1.41).

Электромеханическая постоянная времени, входящая в уравнения (1.37) (1.39), имеет определенное физическое содержание. Из (1.26) для определения времени разбега двигателя вхолостую до скорости ₀ при и получаем.

.

Из полученного соотношения видно, что электромеханическая постоянная времени численно равна времени разбега двигателя вхолостую до скорости идеального холостого хода под действием момента короткого замыкания .

Если провести касательную к экспонентам (t) или M (t) в точке t=0, то отрезок, отсекаемый касательной на уровне установившегося значения _уст или M_уст, равен в масштабе времени постоянной времени Ти.

Электромеханическая постоянная времени экспоненциальных переходных процессов однозначно определяет их длительность. Теоретически время таких переходных процессов равно бесконечности. Практически за условное время окончания переходного процесса принимается время, за которое координата достигла 95% установившегося значения или, другими словами, отличается от этого значения на 5%. Это практическое время переходного процесса равно. Иногда за практическое время переходного процесса принимается время достижения координатой 98% установившегося значения, которому соответствует время .

Полученные выражения (1.37)—(1.39) справедливы для непрерывных линейных механических характеристик двигателя и исполнительного органа. Если же одна из них имеет разрыв, как, например, характеристика момента трения, то переходный процесс рассчитывается по участкам, при этом конечные значения координат на предыдущем участке равны начальным значениям на следующем участке.

Пример 1.3. Построить зависимости (t) и M (t) при пуске двигателя, имеющего линейную механическую характеристику (M), при следующих исходных данных скорость идеального холостого хода двигателя ₀=157 рад/с, момент короткого замыкания =100 Нм, приведенный момент инерции =0,15 кг-м²; момент нагрузки М_с неизменен и равен 50 Нм.

• 1. Вначале определим электромеханическую постоянную Для рассматриваемого примера в соответствии с (I 40)
• 2 Найдем начальные и конечные значения переменных:; Нм; рад/с, Нм.
• 3 Выражения для скорости и момента в соответствии с (1.37) и (1.38) принимают вид

.

В общем случае динамический момент, определяемый моментами двигателя и исполнительного органа, зависит от скорости, положения исполнительного органа и времени, в том числе и произвольным образом.

Рассмотрим неустановившееся движение, когда аналитическая зависимость динамического момента от скорости отсутствует.

Нахождение искомых зависимостей M (t), (t) и (t) связано с решением (интегрированием) основного уравнения движения (1.11) при заданных законах изменения моментов двигателя и нагрузки. Если эти законы выражаются аналитически, то основные проблемы имеют математический, характер и связаны с интегрированием уравнения (1.11). Когда законы изменения моментов не заданы аналитически или точное решение (1.11) невозможно, используются приближенные способы интегрирования уравнения движения: численные и графоаналитические. Рассмотрим применение этих методов при произвольной зависимости моментов, только от скорости движения.

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений широко используются в вычислительной математике и известны под названием методов Эйлера, Рунге Кутта и др. Рассмотрим применение наиболее простого из них — метода Эйлера на примере получения зависимости (t) при пуске АД с вентилятором.

Метод Эйлера предусматривает замену дифференциалов переменных в (1.11) их приращениями, в результате чего это уравнение может быть записано в виде.

(1.42).

Для пользования этим уравнением ось скорости разбивается на ряд интервалов До, на которых моменты АД и нагрузки (вентилятора) принимаются постоянными.

Достоинство рассмотренного численного метода состоит в его простоте и наглядности, а точность его определяется интервалами разбиения оси скорости.

Графические и графоаналитические методы, среди которых наибольшее распространение получили метод площадей и метод пропорций, также предназначены для приближенного интегрирования уравнения движения для получения зависимостей M (t), (t) и (р (0. Рассмотрим сущность метода пропорций на том же примере пуска АД вентилятора.

В основе этого метода также лежит представление переменных в (1.11) в виде приращений.

(1.43).

Далее ось скорости разбиваем на ряд интервалов, на. каждом из которых динамический момент принимается постоянным. Затем полученные на каждом интервале значения М_дин в определенном масштабе т_м откладываем по оси ординат, получаем отрезки OM₁, OM₂ и т. д. На оси абсцисс в масштабе т, откладываем пропорциональный моменту инерции J отрезок ON и точку N соединяем с точками и т. д. Далее из начала координат проводим прямую ОА₁, параллельную NM₁, до пересечения с горизонтальной линией, соответствующей верхней границе первого интервала скорости. Этот отрезок ОА₁ представляет собой график скорости (t) на первом интервале движения.

Действительно,, но; ON~J; ~, следовательно, в соответствии с (1.43) ~.

Отметим одно обстоятельство, которое должно учитываться при использовании этого метода. В соответствии с (1.43) масштабы т_м, т_J, т и m_t; должны быть связаны между собой соотношением.

(1.44).

Поэтому независимо от остальных могут быть выбраны только масштабы трех величин, а масштаб четвертой должен быть определен из пропорции (1.44).

Рациональный выбор параметров механической передачи во многих случаях позволяет улучшить показатели работы комплекса электропривод исполнительный орган рабочей машины. В частности, путем определения оптимального значения передаточного числа редуктора i_p можно получить наибольшее для данного двигателя ускорение исполнительного органа. Это бывает необходимым, например, для повышения производительности рабочих машин и механизмов, цикл работы которых содержит большое количество пусков и торможений исполнительного органа. Решим эту задачу для простейшего случая, когда M_c=const, a КПД редуктора равен единице.

В соответствии с (111) уравнение движения исполнительного органа можно записать в виде.

(1.45).

где J_Д момент инерции двигателя; соответственно момент инерции, скорость и момент нагрузки исполнительного органа. Из (1.45) выражаем ускорение исполнительного органа.

(1.46).

Для нахождения оптимального передаточного числа редуктора, соответствующего максимуму ускорения _{и, о}, возьмем производную d_{и, о}/di_p и приравняем ее нулю. После преобразования полученного выражения оптимальное передаточное число редуктора выразится следующим образом:

(1.47).

Выражение (1.47) справедливо также для обеспечения максимального замедления исполнительного органа. Задача одновременного обеспечения максимальных ускорения и замедления решается однозначно только при, когда.

(1.48).

Необходимо отметить условность термина «оптимальное передаточное число», так как оно определено только по максимуму ускорения (замедления) исполнительного органа без учета обеспечения требуемого соотношения между скоростями двигателя и исполнительного органа.

Оптимизация передаточного числа редуктора может производиться также и по другим показателям, например по критерию прохождения исполнительным органом максимального пути за заданное время, по критерию минимального времени на прохождение заданного пути и т. д.