Описание индивидуальных заданий с анализом их решения

В качестве практической части данного курсового проекта являлось решение примеров и задач высшей математики с помощью пакета MathCad 2001. Задания были взяты из сборника индивидуальных заданий ч.1, ч.2 (под общей редакцией А. Л. Рябушко, Мн.: Вышэйшая школа, 1990, 1991 гг.).

Проведем анализ решения задач «вручную» и с помощью пакета символьной математики MathCad 2001.

Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a; b]., [1; 2].

Для определения экстремумов функции, исследуем поведение функции на отрезке [1; 2]:

Находим значения y''(x1), y''(x2):

Гораздо проще данное исследование проводится с помощью математического пакета MathCad 2001. С помощью символьного знака равенства задаем функцию, после чего строим график зависимости данной функции с помощью команды X-Y Plot из меню Insert/Graph. В рабочем шаблоне графика вводятся переменная, функция, по которой строится график и их граничные значения по осям координат (рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Поиск экстремумов функции в пакете MathCad.

Далее, исходя из условия задачи с помощью символьного знака равенства «:=» указывается граничные значения переменной. Далее с помощью встроенных пользовательских функции Minimize (f, x), Maximize (f, x) находим искомые экстремумы функции (рис. 2.2).

Рисунок 2.2. Поиск максимального значения функции Подробно рассмотреть вычисления можно в Приложении 1.

Задание 2. Даны векторы .

Необходимо:

• а) вычислить смешанное произведение двух векторов: ;
• б) найти модуль векторного произведения: ;
• в) вычислить скалярное произведение двух векторов: ;
• г) проверить, будут ли коллинеарны векторы ;
• д) проверить, будут ли комплонарны векторы ;

Для вычисления смешанного произведения необходимо вычислить определитель:

.

Подставляя координаты векторов в определитель, получаем:

после долгих преобразований и вычислений получается, что данный определитель равен 2196.

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведения соответствующих координат :

Векторы не являются коллинеарными, т.к. они не образуют базис.

Для определения комплонарности векторов необходимо вычислить их смешанное произведение:

следовательно, векторы некомпланарны.

С помощью MathCad все эти вычисления делаются гораздо быстрее, кроме того, во много раз уменьшается вероятность ошибок ручного просчета. Заполнение и расчет матриц делается более наглядным и удобным. Для этих целей в данной программе имеется множество встроенных функций с помощью которых можно проделывать любые операции над матрицами и векторами. В своих расчетах я пользовался панелью инструментов «Matrix», легким щелчком мыши с ее помощью можно проделывать очень много векторных и матричных вычислений (рис. 2.3):

Рисунок 2.3. Операции над матрицами Очевидно, что начала действия над векторами (матрицами) необходимо присвоить их значение некоторым константам. Далее с помощью панели инструментов «Matrix» или встроенных функций производятся соответствующие вычисления.

Задание 3. Найти неопределенный интеграл (результаты интегрирования проверить дифференцированием).

Интеграл будем решать методом интегрирования по частям по формуле:

Проверим вычисления дифференцированием:

После соответствующих преобразований приходим к искомому выражению.

Гораздо проще дело обстоит с решением интегралов, причем, любой сложности в MathCade. С помощью панелей инструментов «Math», «Evolution» и «Calculator"или команды панели инструментов SymbolicEvaluateSymbolically производится необходимые вычисления (рис. 2.4.).

Рисунок 2.4. Вычисление интегралов Решение интегралов с помощью данной программы позволяет найти интегралы любой сложности «в мгновение ока». Кроме этого, как и для других задач отсутствует вероятность ошибки ручного просчета.

Задание 4. Вычислить силу давления воды на пластинку (рис. 2.5), вертикально погруженную в воду, считается, что удельный вес воды 9,81кН/м³. Результаты округлить до целого числа.

Решение.

Для решения задачи выберем оси координат: ось ОУ направим вдоль большей грани пирамиды, ось ОХ направим вдоль высоты параллелограмма (рис. 2.6).

Пределы интегрирования по переменной х — 0.2; вдоль оси ОУ функция изменяется: у₁(х) до у₂(х) на величину: у (х)-(у (х)+5)=5/х.

Для определения силы давления жидкости на пластинку воспользуемся формулой:

где г — удельный вес воды.

Найдем решение этой задачи с помощью MathCad. Для начала, с помощью символьного знака равенства «:=» задаются все известные константы. В данном случае — это г (удельный вес воды). Далее по известной физической формуле находим искомую величину (рис. 2.7.).

Рисунок 2.7. Вычисление давления жидкости на поверхность пластины.

Задание 5. Найти вторые частные производные функции Убедиться в том, что .

Решение: по формуле Тейлора для функции z находим:

Очевидно,, что и требовалось доказать.

Рассмотрим, каким образом данную задачу можно решить с помощью MathCad. Наиболее наглядно и удобно решать примеры данного типа, а также задачи, включающие интегрирование с помощью инструмента Calculus. Прежде, чем использовать данную панель, необходимо задать функцию дифференцирования (интегрирования) с указанием переменных, по которым следует найти производную (интеграл). И с помощью знака символьного равенства «>» уравнение быстро и легко, а главное, правильно решается (рис. 2.8).

Рисунок 2.8. Поиск вторых производных уравнения в MathCad.

Все ручные вычисления и просчеты с помощью данной программы сводятся лишь к нажатию клавиши или щелчку мыши. Причем, ошибки ручного просчета здесь исключены полностью и в результате имеем правильный ответ всего за несколько секунд.

Задание 6. Найти частное дифференциального уравнения и вычислить значения полученной функции с точностью до двух знаков после запятой.

, , .

Решение.

Для поиска частного данного дифференциального уравнения найдем первую производную функции и саму функцию:

Для определения констант С₁ и С₂ воспользуемся начальными условиями:

Далее полученные значения констант подставляем в выражение для функции у (х) с учетом значения :

Данную задачу тем более лучше решать с помощью MathCAD, так как для ее решения необходимо взять множество сложных производных и подстановок, что влечет за собой нерациональное использование времени на вычисления и устранения ошибок. На рисунке 2.9. отображено решение данной задачи в математическом пакете MathCAD. Основные функции, использовавшиеся при вычислениях были описаны выше.

Рисунок 2.9. Поиск частного дифференциального уравнения Подробно решение задач средствами математического пакета MathCad можно рассмотреть либо в электронной версии, либо на листингах решения задач в приложении к курсовой работе.