Изотермическое течение в трубе

Исходными данными для расчета служат уравнения:

Бернулли постоянства массового расхода.

=const;

состояния.

const.

Подставляя два последних соотношения в уравнение Бернулли, получаем.

Интегрирование этого уравнения дает.

где индексом 1 отмечены параметры в начальном сечении.

Если в сечении давление равно, то массовый расход.

где безразмерная длина трубы.

Введя число уравнение можно привести к виду.

Если в трубу поступает дозвуковой поток (), то вниз по течению число М возрастает и в конце трубы может достигнуть единицы. Соответствующая длина трубы называется критической и определяется из уравнения.

Распространение малых возмущений

Обтекание тел при малых возмущениях Если плоский равномерный поток газа подвергается малым возмущениям, то при направлении оси вдоль вектора можно записать где проекции скорости возмущенного движения.

Если пренебречь квадратами и произведениями этих величин, то в линейном приближении.

где коэффициент давления.

Составляющая скорости возмущения определяется через потенциал малого возмущения.

причем.

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет уравнению.

Если в равномерном потоке газа точка, А (рис. 12.6) является источником малых возмущений (малых изменений плотности и давления), то эти возмущения в виде слабой волны распространяются в потоке. В зависимости от скорости потока фронты волн возмущения могут занимать одно из положений, показанных на рис. 12.6. В дозвуковом течении (рис. 12.6, а) фронты волн возмущения представляют собой окружности радиусом, смещаемые вниз по течению на расстояние, где время с момента возникновения возмущения.

При сверхзвуковой скорости потока газа волны возмущений также имеют вид окружностей, но в силу условия и область их распространения ограничивается прямыми AM и AN для осесиммет-ричного потока — поверхностью конуса, называемыми линиями возмущения или линиями Маха. Эти прямые образуют с вектором скорости угол Маха, определяемый формулой.

Течение при дозвуковых скоростях. При замена переменных приводит уравнение для потенциала скорости к уравнению Лапласа т. е. к уравнению, которому удовлетворяет потенциал скорости несжимаемой жидкости. Поэтому при обтекании дозвуковым потоком газа тонкого профиля с малым углом атаки задача приводится к задаче обтекания профиля несжимаемой жидкостью. Формулы пересчета согласно теории Прандтля — Глауэрта имеют вид:

для коэффициента давления.

для коэффициента подъемной силы.

где индексом «н» отмечены параметры потока несжимаемой жидкости.

Течение при сверхзвуковых скоростях. Линеаризованное уравнение потенциала скорости заменой переменных.

приводится к уравнению гиперболического типа.

имеющему общее решение в переменных.

где произвольные функции.

Два семейства прямых, описываемых уравнениями.

const.

Сверхзвуковое обтекание малого угла, образованного плоскими стенками. При таком течении из вершины угла выходит характеристика первого семейства, которая делит область течения на две части: невозмущенную и возмущенную. При обтекании выпуклого угла поток ускоряется, а при обтекании вогнутого — замедляется.

Рис. Схемы обтекания сверхзвуковым потоком малого угла:

а — ускорение потока; б — торможение потока.

Рис. Расчетная схема обтекания тонкого профиля линеаризованным сверхзвуковым потоком газа

Обтекание тонкого профиля с заостренными кромками. Задача может быть приближенно решена на основе линеаризованной теории. При этом плавный контур профиля заменяют ломаным (рис. 12.8) и последовательно решают задачу об изменении параметров потока при переходе через каждую линию возмущения, выходящую из точек излома. В результате получают следующие формулы для коэффициента давления:

для верхней поверхности, заданной уравнением.

для нижней поверхности, заданной уравнением.

где угол атаки (рис. 12.8).

Коэффициент подъемной силы.

Коэффициент волнового сопротивления.

где причем максимальная толщина профиля, его хорда.

Момент сил давления относительно передней кромки где коэффициент момента,.

здесь коэффициент момента при нулевом угле атаки,.

площадь, равная .