Момент импульса твёрдого тела

Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси z с угловой скоростью. Для нахождения момента импульса тела рассматриваем его как механическую систему материальных точек. Мысленно разобьём тело на элементарные части массой Dmi, которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент импульса тела относительно оси равен векторной сумме отдельных элементарных частей тела относительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по окружностям различного радиуса Ri, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому моменты импульсов всех элементарных частей тела, согласно правилу правого винта, направлены в одну сторону вдоль оси вращения. Тогда векторное сложение заменяется скалярным, т. е.

(9).

Используя формулу (7), имеем:

где модуль линейной скорости i-ой части.

Но i = wRi.

Поэтому.

.

и с учётом выражения (9).

Поскольку все точки тела обладают одинаковой угловой скоростью ?, то её выносим за знак суммы:

Так как.

момент инерции тела, то Lz = Izw. Запишем это выражение в векторном виде:

(10).

Итак, момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость. Направление, как и направление, находят по правилу правого винта.