Гармонические токи и напряжения в линейных цепях

Гармонические ток и напряжение в элементах цепи

В элементах цепи R, L, и C взаимосвязь произвольных мгновенных значений тока и напряжения определяется законом Ома, необходимые соотношения приведены в табл. 1.1.

Рассмотрим гармонические ток и напряжение на элементе Э (рис. 4.1) в виде.

(4.1).

Рис. 4.1.

Для сопротивления R можно записать.

. (4.2).

Сравнивая полученный результат с выражением для напряжения из (4.1), получим выражение закона Ома для амплитуд тока и напряжения.

(4.3).

и соотношение для начальных фаз.

. (4.4).

Как видно из (4.3), амплитуды (и действующие значения) гармонических тока и напряжения в сопротивлении связаны законом Ома в классической формулировке прямой пропорциональности.

Начальные фазы тока и напряжения в сопротивлении одинаковы, сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю,.

. (4.5).

Мгновенная мощность (1.6) гармонических сигналов в сопротивлении равна.

(4.6).

где .

Ее зависимость от времени показана на рис. 4.2. Величина всегда положительна, то есть сопротивление только потребляет мощность от источника сигнала. Это гармоническая функция времени с периодом повторения в два раза меньше периода сигнала.

Средняя мощность (1.8) гармонических сигналов в сопротивлении определяется выражением Рис. 4.2.

(4.7).

где и — действующие значения тока и напряжения,.

. (4.8).

Это значение показано пунктирной линией на временной диаграмме рис. 4.2.

В емкости C мгновенные значения тока и напряжения связаны соотношением (табл.1.1).

. (4.9).

После преобразования тригонометрической функции к канонической форме гармонического сигнала получим.

. (4.10).

Сравнивая (4.10) с формулой тока из (4.1), можно записать.

(4.11).

. (4.12).

Введем обозначения.

(4.13).

(4.14).

где — модуль реактивного сопротивления емкости (Ом), а — реактивная проводимость емкости (См=1/Ом). Позднее увидим, что реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Из (4.11) получим уравнения связи амплитуд (и действующих значений) гармонических тока и напряжения в емкости.

(4.15).

которые представляют собой выражение закона Ома для емкости в классической формулировке прямой пропорциональности.

Из (4.12) следует, что гармонический ток в емкости опережает по фазе приложенное к ней напряжение (напряжение отстает по фазе от тока) на угол радиан или 900. Сдвиг фаз между напряжением и током в емкости равен.

. (4.16).

На рис. 4.3 показаны временные диаграммы тока и напряжения в емкости. Ток опережает по фазе напряжение на 900, что отражается на временной диаграмме смещением кривой тока влево на четверть периода.

Рис. 4.3.

Мгновенная мощность в емкости из (4.1) и (4.9) равна.

.

а после тригонометрических преобразований получим.

. (4.17).

Временная диаграмма мгновенной мощности показана на рис. 4.4.

Мгновенная мощность электрических сигналов в емкости может быть положительной (емкость накапливает энергию электрического поля) и отрицательной (емкость отдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию). Средняя мощность гармонических сигналов в емкости равна нулю, то есть емкость не потребляет мощность от гармонического источника.

Рис. 4.4.

Для индуктивности L мгновенные значения тока и напряжения связаны соотношением закона Ома из табл.1.1, тогда с учетом выражения для тока из (4.1) получим.

.

а после преобразований.

. (4.18).

Сравнивая (4.18) с выражением для напряжения (4.1), получим уравнения связи для амплитуд (действующих значений) тока и напряжения.

(4.19).

и их начальных фаз.

. (4.20).

Введем обозначения.

(4.21).

(4.22).

где — реактивное сопротивление индуктивности (Ом), а — модуль реактивной проводимости индуктивности (См=1/Ом). Позднее увидим, что реактивная проводимость индуктивности отрицательна.

Тогда получим выражения закона Ома для амплитуд (действующих значений) тока и напряжения в индуктивности.

. (4.23).

Согласно (4.20) гармонический ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения (напряжение опережает по фазе ток) на угол радиан или 900. Сдвиг фаз между напряжением и током в индуктивности равен.

. (4.24).

Временные диаграммы тока и напряжения в индуктивности показаны на рис. 4.5. В отличие от аналогичных графиков для емкости на рис. 4.3 ток и напряжение меняются местами, кривая напряжения смещена вправо относительно тока на четверть периода, что соответствует опережению по фазе на 900.

Рис. 4.5.

Мгновенная мощность гармонических сигналов в индуктивности равна.

(4.25).

а после тригонометрических преобразований получим.

. (4.26).

Временная диаграмма мгновенной мощности в индуктивности совпадает с показанной на рис. 4.4 для емкости.

Средняя мощность гармонических сигналов в индуктивности (как и в емкости) равна нулю, то есть индуктивность не потребляет мощность от гармонического источника.

В табл. 4.1 приведены сводные результаты для гармонических сигналов в элементах цепи.

Таблица 4.1.