Теорема о сложении скоростей при плоском движении

Теорема. Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, геометрически складывается из скорости полюса (т.А) и скорости вращения этой точки вокруг полюса.

Из рис. 14 видно, что. Возьмем производную. Из кинематики точки известно, что d/dt =; d/dt =. Обозначим d/dt =, тогда получим? это и есть теорема о сложении скоростей при плоском движении. Очевидно,? это скорость движения т. В, когда т. А неподвижна, т. е. когда тело вращается вокруг полюса А.? это скорость вращения т. В вокруг полюса А. Тогда | АВ. По формуле Эйлера, тогда теорема примет вид:

.

Данная теорема имеет два следствия:

• 1. Проекции скоростей двух точек тела, совершающего плоское движение, на линию, соединяющую их, равны.
• 2. Конец вектора скорости т. С, лежащей на отрезке АВ (рис. 15), делит отрезок, соединяющий концы векторов и, в том же отношении, в каком т. С делит отрезок АВ, т. е. АВ/АС=аb/ac.

Определение скорости точек с помощью МЦС

При решении задач пользоваться теоремой о сложении скоростей неудобно, поэтому используют понятие мгновенного центра скоростей (МЦС).

МЦС? это точка, скорость которой в данный момент времени равна 0.

Если в качестве полюса взять МЦС (т. Р), то теорема о сложении скоростей примет вид, или; но = 0, тогда,. Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры может быть определена как скорость вращения этой точки вокруг МЦС, тогда vC = щ· АР, vB= щ · BР, …, vC = щ · СР; то есть при определении скоростей можно считать, что тело вращается вокруг МЦС.

МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек тела (рис. 16). Если известна величина одной из скоростей, то можно найти угловую скорость и скорость любой точки сечения по формулам, щ = vA /АР, vB= щ • ВР, vC=щ • СР, …. Очевидно, что чем ближе точка расположена к мцс, тем меньше ее скорость. Кроме того, vB / ВР = vC / СР = … = vA / АР = щ.

Если скорости двух точек тела параллельны, а перпендикуляры к скоростям не совпадают, то они пересекутся в бесконечности (рис. 17), в этом случае:

щ = v/АР= v/? = 0.

Говорят, что тело совершает мгновенное поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела равны и параллельны.

Если скорости двух точек тела параллельны, а перпендикуляры к скоростям совпадают, то для определения положения МЦС надо знать величины скоростей двух точек тела. В этом случае МЦС находится на пересечении перпендикуляра к скоростям и линии, проходящей через концы векторов скоростей (рис.18). Расстояние от т. В до МЦС можно определить из подобия треугольников АаР и ВbР: vA/vB = (АВ+ВР)/ВР. Отсюда ВР = vB •АВ / (vA — vB). Зная ВР, можно найти щ = vB / ВР, а затем скорость любой точки. например: vC = щ · СР. Аналогично решается задача в случае, когда скорости двух точек параллельны и направлены в противоположные стороны.

МЦС тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, находится в точке соприкосновения тела и поверхности (рис. 19). В этом случае надо знать скорость хотя бы одной точки, тогда щ = vA/АР; vB= щ • ВР и т. д.