Аналитическое численное решение плоской контактной задачи с учетом ползучести материала

Аннотация: в статье рассмотрено решение с практически значимой точностью интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода для плоской контактной задачи, учитывающей старение и ползучесть материала. Полученное решение ориентировано на использование доступных программных вычислительных средств.

Ключевые слова: решение плоской контактной задачи, численное решение, учет ползучести материала.

контактный старение ползучесть интегральный Не редко в инженерной и научной практике возникает необходимость в выполнении анализа контактного взаимодействия двух тел [1,2] с учетом учет старения и ползучести материала.

Данная задача может быть решена аналитически [3,4], однако при этом возникает необходимость в решении интегральных или интегрально-дифференциальных уравнений. Одно из таких решений описано в работах [5,6].

Стоит так же отметить, что аналитическое решение обладает избыточной точностью получаемого результата. Так, например, при анализе контактного взаимодействия стального каната 15К7 (штампа) с бетонным каналообразователем (основанием), основываясь на технических требованиях по точности их изготовления и характеристиках материалов, нет смысла в получении результата, многократно превышающего возможные геометрические отклонения.

Общий вид уравнений описывающих состояния тела на основании [6,7] имеют вид:

(1).

где ф_i^*(y) — момент изготовления элемента, характеризуемого вертикальной координатой y, ф₀ — момент приложения штампа, t — время приложения нагрузки, x — горизонтальная координата рассматриваемого пространства, К₁ и К₂ — ядра ползучести, е_ij, у_ij — компоненты тензоров деформаций и напряжений, e_ij и s_ij — девиаторные компоненты тензоров деформаций и напряжений, E и G — упругомгновенные модули деформации при сжатии и чистом сдвиге, ж — функция неоднородного старения.

С учетом независимости от времени к-нта Пуассона и деформации ползучести и упруго-мгновенной деформации материала итоговое уравнение, полученное из уравнений (1), имеет вид:

(2).

(3).

(4).

(5).

Функция g (x) — функция учета формы штампа.

Уравнение (2) совместно с (3)-(5) является уравнением Вольтера 2-го рода. Его можно решить описанным в [8] способом, а можно воспользоваться доступным математическим программным комплексом (далее ПК), получив решение с некоторой несоизмеримо малой погрешностью. Этот способ решения основан на замене подынтегральной функции k (s). Рассмотрим его более подробно.

Функции (4) и (5) после подстановки имеют вид.

(6).

Согласно [9] данный интеграл не имеет первообразной. Однако, уравнение (6) можно записать в виде:

(7).

При выполнении операций с плавающей точкой на ПК точность вычислений определяется [10], соответственно, при выполнении операций сложения и вычитания над числами, значения которых различаются на порядок используемой точности представления числа, наименьшее из чисел будет проигнорировано [11]. В таком случае при достижении определенного значения переменной u, с учетом 15 знаков в дробной части для двойной точности вычислений, выражение (7) будет эквивалентно:

а при дальнейшем увеличении:

(9).

Соответственно выражение (6) можно представить как.

(10).

где i₁, i₂ и i-₃ — границы интервалов для подынтегральных функций, далее которых абсолютная разность в значениях функций не превышает требуемую величину.

И, соответственно, интервалы (с округлением в большую сторону) i₁=10.00, i₂=21.00 и i-₃=10⁵. Интервал i₃ — «условная бесконечность». Поведение функции k (s) при этом будет иметь вид (см. рис.1). Как видно из предоставленного графика, при ожидаемых значениях u в интервале 0,00…0,05, т. е. при анализе материалов, обладающих заметной прочностью, условную бесконечность можно принять в интервале 5 000…10 000 без заметной потери точности.

Рис. 1. — График зависимости функции k (s) на интервале 0,0…0,05 от значения условной бесконечности.

Бескопыльный А.Н., Веремеенко А. А. Задача о статическом внедрении конического индентора в область с радиальными начальными напряжениями // Инженерный вестник Дона, 2012, № 4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368.

Чмшкян А. В. Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием // Инженерный вестник Дона, 2012, № 4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391.

Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, pp: 248.

Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, pp: 248.

Александров В. М., Чебаков М. И.

Введение

в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2007. 116 с.

Арутюнян Н.Х., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР Институт механики, 1990. 318 с.

Арутюнян Н.Х., Манжиров А. В., Наумов В. Э. Контактные задачи механики растущих тел. M.: Наука, 1991. 326 с.

Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.

Градштейн И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. 7 изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.

IEEE -754−2008 Standard for Floating-Point Arithmetic. pp.1−70, 2008.

Бартеньев О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. В 3-х ч. Часть 1. М.: Диалог-МИФИ, 2013. 316 с.

References.

Beskopyl’nyy A.N., Veremeenko A.A. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368.

Chmshkyan A.V. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391.

Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, pp: 248.

Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, pp: 248.

Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Vvedenie v mekhaniku kontaktnykh vzaimodeystviy [Introduction to contact mechanics]. Rostov-na-Donu: OOO «TsVVR», 2007. 116 p.

Arutyunyan N.Kh., Manzhirov A.V. Kontaktnye zadachi teorii polzuchesti [Contact problems of the theory of creep]. Erevan: Izd-vo AN Armyanskoy SSR Institut mekhaniki, 1990. 318 p.

Arutyunyan N.Kh., Manzhirov A.V., Naumov V.E. Kontaktnye zadachi mekhaniki rastushchikh tel [Contact problems of the mechanics of growing bodies]. M.: Nauka, 1991. 326 p.

Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Analiticheskie metody v kontaktnykh zadachakh teorii uprugosti [The analytical methods in contact problems of the theory of elasticity]. M.: Fizmatlit, 2004. 302 p.

Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, ryadov i proizvedeniy 7 izd [Tables of integrals, Series and Products. Seventh Edition].. SPb.: BKhV-Peterburg, 2011. 1232 p.

IEEE — 754−2008 Standard for Floating-Point Arithmetic. pp.1−70, 2008.

Barten’ev O. V. Fortran dlya professionalov. Matematicheskaya biblioteka IMSL. V 3-kh ch. Chast' 1 [Fortran for professionals. Mathematical Library IMSL. In 3's parts. Part 1]. M.: Dialog-MIFI, 2013. 316 p.