Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события Авп независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления событин постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X — число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

где Х_х — число наступлений события в первом испытании, Х₂ — во втором,…, Х_п — в п-м.

Величины Х_х, Х_г …, Х_п взаимно независимы, гак как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):

Вычислим дисперсию Х_х по формуле.

Величина Х_х — число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. 7, § 2, пример 2) М (Х_х) = р.

о Найдем математическое ожидание величины Х_х, которая может принимать только два значения, а именно: I² с вероятностьюр и О² с вероятностью q:

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равнаpq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим.

3 а м е ч, а и и е. Так как величина X распределена по биномиальному закону, го доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п u p равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X— числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, п = 10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события.

Искомая дисперсия