Лекция №2. Элементы классической статистики (статистической физики)

Статистический метод исследования системы. Понятие функции распределения.

Цель молекулярно-кинетической теории — истолковать свойства тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте (давление, температура и т. п.) как суммарный результат действия молекул. При этом используется статистический метод, при котором учитывается не движение отдельных молекул, а средние величины, характеризующие движение огромной совокупности частиц. В статистической физике рассматривается конкретная молекулярная модель и к ней применяются математические методы статистики, основанной на теории вероятности.

Понятие о функции распределения.

Пусть имеется некоторая система из большого числа микрочастиц. Предположим, что какая-то характерная для системы величина Х, может иметь дискретные значения. Осуществим над системой очень большое число N измерений величины Х. Допустим, что измерений дали результат, измерений результат, результат .

Отношение называется относительной частотой появления результата .

Вероятность появления результата называется величина:

Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы N и были достаточно большими. Тогда можно считать, что.

(Заметим, что вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления).

Рассмотрим случай, когда случайная величина Х имеет непрерывный характер (например, скорости молекул). Для этого разобьём всю область измерения Х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. Возьмём малую величину и найдём число измерений при которых, измерений при …, измерений при которых результат измерений находится в интервале от х до х+а (). Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от 0 до, а обозначим, от, а до 2а соответственно от х до х+а.

Начертим ось х и отложим вверх полоски высотой (рис. 8.1).

Рис. 8.1.

Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой.

Площадь всей гистограммы равна 1.

(т.к.).

В пределе при ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис. 8.2).

Или, учитывая (1).

(2).

Рис. 8.2.

Функция f (x) имеет смысл плотности вероятности распределения частиц по х. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах от х до x+dx:

(Площадь) Вероятность того, что величина х попадёт в интервал (a, b):

Вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (вероятность достоверного события), равна единице:

Это условие называется условием нормировки. Интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f (x) равна единице.

Смысл условия нормировки легко понять на примере бросания монеты. Сумма вероятностей выпадения «орла» или «решки» (при достаточно большом числе опытов). Аналогично для игрального кубика сумма вероятностей того, что выпадет 1, или 2, или 3… .

Статистическое усреднение Зная функцию распределения f (x), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. Из N измерений в случаях (из **):

Получается результат, равный х. Сумма таких результатов. Сумма всех возможных результатов:

(в левой части фактически стоит сумма х). Разделив обе части на N, получим среднее значение величины х:

Формула статистического усреднения Т. е. для определения среднего х необходимо знать функцию распределения f (x). Интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х.