Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек

Наиболее широкое применение конические оболочки находят в авиационной технике и машиностроении. Одной из первых работ по исследованию устойчивости конических оболочек была работа Х. М. Муштари [1]. Также здесь необходимо отметить вклад Н. А. Алумяэ, Э. И. Григолюка, А. В. Саченкова [2] и др. В работе Н. В. Валишвили [3] исследуется устойчивость конических оболочек на основе осесимметричной теории. В работе [4] задача устойчивости конических оболочек была сведена к отысканию собственных значений системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, и было показано, что решение необходимо искать приближенно.

Одним из применяемых ранее подходов к решению данной проблемы было сведение конической оболочки к цилиндрической. Радиус цилиндрической оболочки принимался как среднее между большим и малым радиусами конической оболочки. Данная методика хорошо себя показала при расчете оболочек с малым углом конусности [5], но при его увеличении специфичность строения конической оболочки начинает сильнее сказываться на ее устойчивости, и такой подход становится неприемлемым.

По сравнению с расчетом цилиндрических оболочек, исследовать такие конструкции труднее. Это проявляется, прежде всего, в усложнении геометрических соотношений, связывающих перемещения и деформации. К недавним работам в области исследования конических панелей и оболочек следует отнести статью F. Shadmehri, S.V. Hoa и M. Hojjati [6], в которой рассматриваются замкнутые конические оболочки из композиционных материалов, но математическая модель строится на теории первого порядка, а также не учитывается геометрическая нелинейность.

В работах [7, 8] были получены уравнения движения для подкрепленных ребрами жесткости конических оболочек при линейно-упругом деформировании с учетом поперечных сдвигов.

В исследовании [9] показана математическая модель деформирования оболочки, но не учитываются поперечные сдвиги и ортотропия материала.

В работе [10] приводится математическая модель деформирования оболочки на основе функционала полной энергии деформации, которая учитывает геометрическую и физическую нелинейности, поперечные сдвиги, возможность развития деформации ползучести, введение ребер жесткости с помощью метода конструктивной анизотропии с учетом сдвиговой и крутильной жесткости, но без учета ортотропии материала.

Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек общего вида на основе функционала полной энергии деформации была представлена в работе [11].

конический оболочка деформирование Целью данной работы является построение математической модели деформирования конических оболочечных конструкций на основе функционала полной энергии деформации с учетом ортотропии материала, геометрической нелинейности и поперечных сдвигов.

Материал и методы исследования

Схематичное изображение панели конической оболочки показано на Рисунке 1.

Математическая модель деформирования оболочки строится на основе функционала полной энергии деформации (или уравнений равновесия), а также включает в себя геометрические соотношения, физические соотношения и граничные условия.

Рис. 1. — Схематичное изображение и принятая локальная система координат панели конической оболочки

Модель Кирхгофа-Лява, когда неизвестными являются только три функции перемещений и в уравнениях равновесия функции и имеют вторые производные, а функция — четвертые, дает существенную погрешность. Необходимо учитывать еще и поперечные сдвиги, т. е. рассматривать модель Тимошенко-Рейснера. Тогда неизвестными будут пять функций — три функции перемещений точек координатной поверхности и две функции, характеризующие углы поворота нормали в плоскостях:. При этом получаемая модель будет геометрически нелинейной, т. е. зависимость деформаций от перемещений — нелинейная, что позволяет исследовать не только напряженно-деформированное состояние оболочки, но и ее устойчивость. В дальнейшем будем рассматривать только модель Тимошенко-Рейснера.

В рассматриваемой модели геометрические соотношения для срединной поверхности оболочки принимают вид [11].

(1).

где — деформации удлинения вдоль координат, срединной поверхности; - деформации сдвига в плоскости; , — параметры Ляме, характеризующие геометрию оболочки и главные кривизны оболочки вдоль осей и. Для конической оболочки они принимают вид и. Из-за наличия в формулах зависимости от координаты, сложность системы соотношений (1) существенно возрастает.

Функции изменения кривизн, и кручения принимают вид:

Для связи деформаций и напряжений используются физические соотношения, которые строятся на основе обобщенного закона Гука. Выразив напряжения через деформации, получим физические соотношения для тонкостенной ортотропной оболочки при линейно-упругом деформировании:

(2).

здесь — модули упругости в направлениях,; - модули сдвига в плоскостях соответственно; - коэффициенты Пуассона; - функция, характеризующая распределение напряжений по толщине оболочки, — числовой коэффициент, соответствующий выбранной функции. Для гладких оболочек принимается.

Функция при и (верхняя и нижняя поверхности оболочки) обращается в нуль, а также удовлетворяет условиям [12]:

На основе физических соотношений можно сформировать выражения для усилий и моментов. Интегрируя напряжения (2) по в пределах от до, получим усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения. Для гладких оболочек они будут иметь вид.

(3).

где — нормальные усилия вдоль осей и сдвиговые усилия в плоскости соответственно; - изгибающие моменты в направлении осей и крутящие моменты; - поперечные силы в плоскостях и .

Функционал Лагранжа полной энергии деформации оболочки является суммой работ внутренних и внешних сил, и принимает следующий вид [11]:

(4).

Подставив выражения для усилий и моментов (3) в функционал (4), получим.

Приведя подобные члены, получим.

Учитывая, что, введем обозначения:

и приведем функционал к виду.

(5).

Способ закрепления контура конструкции учитывается через граничные условия (Таблица 1), которые влияют в дальнейшем на выбор аппроксимирующих функций [13], а область, занимаемая оболочкой, задается в пределах интегрирования [14]:. Использование функций позволяет учитывать нестандартную форму контура оболочки.

Таблица № 1.

Краевые условия при различном закреплении контура конструкции.

Таким образом, полученные соотношения (1), (2), (5) вместе с краевыми условиями представляют собой математическую модель деформирования конической оболочечной конструкции с комплексным учетом таких факторов, как ортотропия материала, геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Для дальнейшего исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций к представленной модели могут применяться методы, подходы и алгоритмы, представленные в работах [14 — 17].

• 1. Муштари, Х. М. Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами [Текст] / Х. М. Муштари. — В кн. Сборник научных трудов КАИ. — Казань: Издательство Казанского авиационного института, 1935. — С. 39−40.
• 2. Муштари, Х. М. Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек круглого сечения при совместном действии осевого сжатия и внешнего нормального давления [Текст] / Х. М. Муштари, А. В. Саченков // Прикладная математика и механика, 1954. т. XVIII, № 6. — С. 667−674.
• 3. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ [Текст] / Н. В. Валишвили. — М.: Машиностроение, 1976. — 278 с.
• 4. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. — 984 с.
• 5. Преображенский, И. Н. Устойчивость и колебания конических оболочек [Текст] / И. Н. Преображенский, В. З. Грищак. — М.: Машиностроение, 1986. — 240 с.
• 6. Shadmehri F., Hoa S.V., Hojjati M. Buckling of conical composite shells // Composite Structures. — Vol. 94. — 2012. Pp.787−792. DOI:10.1016/j.compstruct.2011.09.016
• 7. Овчаров, А. А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении [Текст] / А. А. Овчаров // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. — СПб., 2004. — С. 127−132.
• 8. Овчаров, А. А. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек [Текст] / А. А. Овчаров // Вестник гражданских инженеров. — № 2(11). — 2007. — С. 104−111.
• 9. Бурцева, С. В. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом [Электронный ресурс] / С. В. Бурцева, Г. П. Стрельников, В. И. Авилкин // Инженерный вестник Дона. — 2012. — Т. 23, № 4, Ч. 2. — С. 1−3. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291 (доступ свободный)
• 10. Баранова, Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. — 2012. — Т.20, № 2. — С. 45−50. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745 (доступ свободный)
• 11. Карпов, В. В. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения [Текст] / В. В. Карпов, А. А. Семенов // Инженерно-строительный журнал. — № 5. — 2013. С. 100−106.
• 12. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1972. — 432 с.
• 13. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек [Текст] / В. В. Карпов. — СПб.: СПбГАСУ, 2006. — 330 с.
• 14. Семенов, А. А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек [Текст] / А. А. Семенов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. — № 1. — 2014. — С. 49−63.
• 15. Карпов, В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч.2: Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии [Текст] / В. В. Карпов. — М: Физматлит, 2011. — 248 с.
• 16. Атисков, А. Ю. Компьютерные технологии расчета оболочек [Текст] / А. Ю. Атисков, Д. А. Баранова, В. В. Карпов, Л. П. Москаленко, А. А. Семенов. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. — 184 с.
• 17. Qu Y., Wu S., Chen Y., Hua H. Vibration analysis of ring-stiffened conical-cylindrical-spherical shells based on a modi? ed variational approach // International Journal of Mechanical Sciences. — Vol.69. — 2013. Pp. 72−84. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.01.026