Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки

Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1−7]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.

В настоящей работе нами, с учетом анизотропии проницаемости пористого слоя и наличия принудительной подачи смазки, приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. Здесь вначале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Oy, а затем в осевом направлении. Проницаемость задается в виде (1) (рис.1):

.(1).

Здесь A — заданная постоянная величина; H — толщина пористого слоя; - безразмерный параметр, характеризующий распределение проницаемости в направлении оси Oy.

Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой

Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1,2].

1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде.

где y, z — прямоугольные координаты (рис.1), — гидродинамическое давление в пористом слое.

2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольдса в рамках модели короткого подшипника [1] .

(3).

где — толщина пленки смазки, C — радиальный зазор, — относительный эксцентриситет, — угловая координата, p — давление в пленке смазки, — динамический коэффициент вязкости, — угловые скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки, — угол положения, t — время, — компонента скорости в направлении y на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору:

(4).

где — проницаемость материала пористого слоя.

Система уравнений (2)-(3) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси Oy решается при граничных условиях (рис. 1).

при;при;

при;при (5).

где — скорость подачи смазки, — атмосферное давление.

В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис. 2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника).

при;при;

при;при. (6).

Здесь — давление в начальном сечении; - в конечном сечении.

Переход к безразмерным переменным. В дальнейшем предполагается, что .

Перейдем к безразмерным величинам по формулам [1]:

. (7).

Тогда уравнения (2) и (3) принимают следующий вид:

; (8).

(9).

где; точкой обозначено дифференцирование по T.

Граничные условия (5) и (6), соответственно, примут следующий вид.

при;при;

при;при; (10).

при;при;

при;при, (11).

где .

Перейдем к решению системы (8)-(9) с граничными условиями (10).

Установим закон подачи смазки в виде.

. (12).

Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (8) осредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (8) запишется в виде.

. (13).

Решение уравнения (13), удовлетворяющее граничным условиям (10), будем искать в виде.

.(14).

Подставляя (14) в (13), приходим к следующему уравнению.

.(15).

Выполняя граничные условия (10), будем иметь:

,.

.(16).

Решение уравнения (16) можно найти после определения функции, удовлетворяющей условию.

.(17).

Уравнение решается при граничных условиях при (18).

Полагая, с учетом граничных условий (18), для окончательно получим следующее выражение.

.(19).

С учетом (19), уравнение (16) решается при граничных условиях при.

При определении основных рабочих характеристик явный вид функций и нам не понадобятся.

Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2).

Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с двухслойной пористой обоймой

Решение уравнений (9) и (13), удовлетворяющих граничным условиям (11), будем искать в виде подшипник гидродинамический радиальный.

. (20).

С учетом граничных условий (11), для определения приходим к следующему уравнению.

. (21).

Функции и выражаются через функцию в виде.

. (22).

Константы и определяются выражениями.

. (23).

Решая уравнение (21) с граничными условиями, при, , для получим следующее выражение.

. (24).

С учетом (24), для определения уравнения приходим к следующему уравнению.

. (25).

Решая уравнение (25) с граничными условиями при, , для окончательно получим следующее выражение.

(26).

где, .

Перейдем к определению усилий масляной пленки.

При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами и, определяются из условий.

;

.

В случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника через поры пористого слоя с заданной скоростью, усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления, определяемые формулой.

(27).

(28).

В случае осевой модели смазки.

. (29).

. (30).

В случае полного заполнения смазкой зазора и подачи смазки в направлении оси Oy будем иметь.

;(31).

. (32).

Рассмотрим случай полного заполнения смазкой зазора и осевой подачи смазки. Используя формулу (26), будем иметь.

; (33).

. (34).

Решение задачи на устойчивость Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа, записываются в следующем виде.

(35).

где — масса ротора.

и — усилия масляной пленки, в случае неполного заполнения смазкой зазора они определяются формулами (27), (28), когда смазка подается перпендикулярно оси подшипника, и формулами (29) и (30) в случае осевой подачи смазки. Для случая полного заполнения смазкой зазора эти усилия определяются, соответственно, формулами (31)-(34).

Уравнения (35), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных (27)-(34). Компоненты ускорения, представляют собой явные функции параметров, ,, ,, ,, ,, ,, .

Уравнения (31) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [7].

После получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях выше указанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3−4. Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению, где — ускорение силы тяжести.

Из зависимостей, приведенных на рис. 3 и 4, следует, что:

• 1. Пористый подшипник как при осевой подаче смазки, так и при подаче перпендикулярно оси, работает более устойчиво, чем пористый подшипник, работающий без подачи смазки.
• 2. Площадь области устойчивости, в случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника, расширяется в сравнении с подачей смазки в осевом направлении.
• 3. В случае полного заполнения смазкой зазора и учета анизотропии проницаемости пористого слоя подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора и при .

Рис. 3. Схематическое изображение границ области устойчивости.

Подача смазки в направлении оси Оy ().

• 1 — =0,03, =0,1; 2 — =0,03, =0;
• 3 — =0,03, =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 4 — =0,03, =0 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 5 — =0,01, =0,1; 6 — =0, =0;
• 7 — =0,01, =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 8 — =0,01, =0 (неполное заполнение смазкой зазора).

Рис. 4. Схематическое изображение границ области устойчивости

Осевая подача смазки (=0,04; =0,03; =0,5; =0).

• 1 — =0,03, =0,1; 2 — =0,03, =0;
• 3 — =0,03, =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 4 — =0,03, =0 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 5 — =0,01, =0,1; 6 — =0, =0;
• 7 — =0,01, =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
• 8 — =0,01, =0 (неполное заполнение смазкой зазора).

• 1. Конри, Об устойчивости пористых радиальных подшипников. Конструирование и технология машиностроения / Конри, Кузано // Вестник Машиностроения.- 1974. — № 2. — С. 206−216.
• 2. Ахвердиев, К.С., Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников / К. С. Ахвердиев, О. В. Муленко // Вестник РГУПС. — 2002. — № 3. — С. 5−7.
• 3. Кузано, Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой. / Кузано, Р. Е. Франк // Проблемы трения и смазки. — изд-во «Мир». — 1974. — № 1, — С. 54.
• 4. Ахвердиев, К. С. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников. / К. С. Ахвердиев, Б. Е. Копотун // - Вестник РГУПС. — 2005. — № 3. — С 5−9.
• 5. Ахвердиев, К. С. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности. / К. С. Ахвердиев, С. Ф. Кочетова, М. А. Мукутадзе // - Вестник РГУПС. — 2009 — № 1. — С. 135−143.
• 6. Ахвердиев, К. С. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности. / К. С. Ахвердиев, Б. Е. Копотун, М. А. Мукутадзе // - Трение и износ. — 2007. — Т. 28. — № 4. — С. 361−366.
• 7. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations / C.W. Gear. — Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. — N.J., 1972. — С. 52.
• 8. Майба, И.А., Глазунов, Д. В. Теоретическое обоснование механизма смешанной (полужидкостной) смазки в контакте «твердый оболочечный смазочный стержень-колесо-рельс» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 г., № 1 — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/664 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 9. Дерлугян Ф. П., Щербаков И. Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., № 4 — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 10. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower"s experiments / O. Reynolds. — Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1886, vol. 177, pt. 1.