Воздействие сосредоточенного усилия на анизотропную пороупругую плоскость

Исследованию пороупругих сред сегодня посвящено множество работ. Данный факт обусловлен тем, что большое число как природных, так и синтетических сред содержат в своей структуре поры, наличие же заполняющей эти поры жидкости вносит значительные поправки в поведение таких сред. Основной моделью для описания движения пороупругого тела является модель Био [1]. Исследованию динамики анизотропной пористой среды посвящена работа [2]. На сегодняшний день учет пористости составляющих задачи можно встретить в различных областях науки так, например, в работе [3] исследуется структура пористого заполнителя в составе бетона, исследованию нефтегазонасыщенного грунта посвящена работа [4], различные труды посвящены аспектам пороупругости в строительстве [5,6]. В представляемой работе речь идет о динамике пороупругой анизотропной плоскости под действием сосредоточенного усилия. Подходы, применяемы при построении решений аналогичны подходам, использованным в задачах термоэлектроупругости [7].

Постановка задачи Рассмотрим установившиеся колебания трансверсально-изотропной пороупругой плоскости, возбуждаемые сосредоточенным усилием в точке. Для описания движения такой среды будем использовать модель движения пороупругого континуума, описываемого уравнениями Био [8]:

(1).

гдекомпоненты тензора модулей упругости, -компоненты тензора Био, — компоненты тензора проницаемости среды, -плотность среды, -частота колебаний среды, -компоненты вектора смещений среды, -давление жидкости в порах, -пористость среды, -гидростатическая константа, -символ Кронеккера, -дельта функция Дирака, индекс соответствует наличию слагаемого от действия сосредоточенной нагрузки в соответствующем уравнении.

Построение решения Применяя интегральное преобразование Фурье по обеим координатам получим систему линейных алгебраических уравнений, решение которой можно представить в виде:

(2).

где — определитель матрицы системы ЛАУ, — определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца основной матрицы на столбец правой части.

После перехода в полярную систему координат путем введения замен, решение (2) можно представить в виде:

(3).

Представим подынтегральную функцию в виде разложения на простейшие дроби:, где — корни полинома. Тогда с учетом периодичности тригонометрических функций, входящих в решение, выражение (3) представимо в виде:

(4).

Функции имеют вид:

В случае, когда полином четной степени по :

В случае, когда полином нечетной степени по :

Где — интегральные синус и косинус соответственно.

Таким образом решения задачи получены в виде однократных интегралов по конечному промежутку. Численное вычисление таких интегралов можно произвести при помощи различных квадратурных формул, например формулы Гаусса.

Сравним решение поставленной задачи с известным решением для упругой изотропной плоскости, задав изотропный материал и устремив параемтр Био к нулю, что соответствует развязанной задаче.

пороупругий плоскость колебание движение.

Рис. 2 — Функция смещений, модуль Био равен 0.6

Как можно видеть из рис. 1 и рис. 2, наличие в среде жидкой фракции вносит значитльные изменения в характер динамического поведения. Полученные решения можно в дальнейшем использовать в методе граничных интегральных уравнений [9] и методе граничного элемента [10] для исследования задач с объектами произвольного контура или же содержащих в совей структуре полость либо неоднородность.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 годы (госконтракты № 14.132.21.1360, 14.132.21.1358).

Biot M.A. Theory of propogation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid // Journal of the Acoustical Society of America, — 1956. — V. 28. — № 2. — P. 168−178.

Carcione J. M. Wave propagation in anisotropic, saturated porous media: Plane wave theory and numerical simulation // Journal of the Acoustical Society of America, — 1996, — № 99, — P. 2655−2666.

Бычков М. В., Удодов С. А. Особенности разработки легких самоуплотняющихся бетонов на пористых заполнителях [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, № 3. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1774 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.

Гачаев А.М. О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений заполнителях [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, № 1. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2011/392 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.

Аменицкий А.В., Белов А. А., Игумнов Л. А., Гранично-элементный анализ динамической осадки пороупругой колонны // Проблемы прочности и пластичности. 2010 г. № 72. С. 154−158.

Козин С.В., Ляпин А. А., Об идентификации характеристик неоднородной пороупругой колонны // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 2012 г., Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ., 2012 г. С.134−136.

Ватульян А.О., Кирютенко А. Ю., Наседкин А. В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикладная механика и техническая физика, 1996 г. Т.37. № 5, С. 135−142.

Маслов, Л. Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем: монография / Л. Б. Маслов. — Иваново: ПресСто, 2010. — 264с.

Аменицкий А.В., Белов А. А., Игумнов Л. А., Карелин И. С., Гранчиные интегральные уравнения для решения задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2009 г. № 71. С. 164−171.

Бенерджи, П., Батерфилд, Р. Метод граничных элементов в прикладных задачах / П. Бенерджи, Р. Батерфилд. — Мир, 1984, — 494с.