Моделирование контактных сил при движении компонентов концентрированных кормов в релятивных винтовых барабанах

Контактные силы — наиболее сложные по своей природе силы, возникающие в результате стохатического (вероятного) столкновение частиц сыпучих материалов и в частности частиц компонентов концентрированных кормов [1−17].

Поэтому основная цель данного моделирования — описать стохастические явления так называемых «условных» контактов частиц, для которых целесообразно принять следующие допущения:

• — пусть каждая частица компонентов концентрированных кормов массы m1-материальный шар испытывает серию последовательных контактов только с каждой одной с частицей компонентов концентрированных кормов массой m2 где контактирование происходит равномерно по мере движения частиц m2 и частиц m1 по всей траектории, но с учетом разности давлений в нижней и верхней частях вращающегося релятивного винтового барабана;
• — контактирование частиц компонентов концентрированных кормов между собой (m1 с m1, m2 с m2)

если и происходит, то это не приводит к изменению характера движения (условного моделируемого совместного движения совокупности масс m1, m2; контактирование скольжение релятивный винтовой.

• — шар m1 своей поверхностью (каждый шар) поодиночке контактирует с каждой из поверхностей шара m2 только в плоскостях поперечных сечений релятивного винтового барабана (в плоскости ХОУ);
• — каждый из последовательных контактов между m1 и m2 происходит в среднем за промежуток, а среднее время между контактами ti ср. (вероятность одновременного контактирования с двумя и более контактируемыми массами m2) пренебрежимо мало;
• — по всей траектории движения массы m1, массы m2 независимо друг от друга буквально «бомбардируют» шар m1, и возможное количество соударений n может быть подсчитано как

n = н.

а пути движения (в плоскости XOУ) из нижней части релятивного винтового барабана в верхнюю, т. е. при —, где.

t = ;

полупериод одного оборота релятивного винтового барабана;

• — с физической точки зрения каждый контакт пусть будет представлять полуупругий удар (соударение с обкатыванием поверхностей m1, m2 и проскальзыванием относительно друг друга, можно рассматривать как один из вариантов данного моделируемого стохастического явления), где переходом механической энергии в теплоту следует пренебречь в силу тех соображений, что при контактировании частиц компонентов концентрированных кормов массы m1 и m2 будут в данном случае подвержены незначительной деформации, а поэтому в процессе контактирований может быть использована теория полуупругого удара для определения контактных сил как сил трения;
• — несмотря на контактирование пары m1, m2 движутся по окружностям r? rср. Исходя из данных допущений, мы находимся в условиях Пуассоновского распределения потока контактирований [14,15], где каждое контактирование практически достоверно, но далеко не все контакты нас будут интересовать.

Нас будут интересовать направленные контакты, т. е. такие которые вызывают возникновение сил трения в направлении ц при соприкосновении поверхностей m1 и m2, а это означает, что появление такого одного контакта практически уже не будет являться достоверной величиной, хотя она так же будет достаточно высока. Число таких контактов будет уже меньшим, и пусть равно K.

Очевидно, для моделирования контактных сил трения Fц необходимо, чтобы точки контактирования располагались в направлении r, образуя нормальные составляющие реакции давлений в данном направлении между контактируемыми поверхностями, шаров m1 и m2.

Этот постулат исходит из сущности реального процесса: при увлечении массы частиц компонентов концентрированных кормов стенками вращающегося релятивного винтового барабана в радиальном направлении будут одновременно возникать контакты, обусловленные геометрией релятивного винтового барабана (профилем сечения в плоскости XOY), т. е. свойством его стенок передавать давление по отношению m1, m2 в направлении моделируемого движения r. Что касается направления ц, то там происходит, в основном, явление захвата масс m1 и m2 и увлечение их стенками релятивного винтового барабана.

Итак, пусть происходит интересуемых, направленных, возможных контактов К распределенных по закону Пуассона, где m? К — число реально происходящих (могущих произойти из общего числа K). Необходимо найти вероятность их появления.

Тогда вероятность хотя бы одного контакта, согласно данному распределению, равна.

[14,17] Р1 = 1 — e-л (),.

где среднее ожидаемое число контактов Л () в направлении К (математическое ожидание числа интересующих нас контактов в направлении r) в зависимости от поворота будет рассмотрено ниже.

Если считать достаточно высокий Р1, то вероятность противоположного события.

q = 1 — р1.

следует считать достаточно малой. Число К следует в этой связи считать достаточно большим числом, и характеристика будет K· q представлять математическое ожидание среднего числа неконтактов. Непоявление контактов К равно представленному в данной случае число ожидаемых непоявлений m.

Вероятность непоявления mвыразится из предельных свойств биноминального распределения при большом числе опытов m к распределению Пуассона и будет равна [14]:

= ·. (1).

Очевидно, вероятность числа появлений опытов m расценивается как противоположное событие:

= 1 —, (2).

где.

q = e-л ().

Зависимость (2) отражает только вероятностное появление направленных m, прошедших контактирований m без учета направленности возможных контактирований К из общего числа n и случайности их разброса стенками релятивного винтового барабана в направлении r. Поэтому, рассматривая эти случайные явления как независимые, правая часть выражения (2) должна быть до умножена еще на два вероятностных коэффициента.

Итак, нас интересует закон образования вероятностного коэффициента контактирований К из общего числа n, а следовательно, и принцип формирования контактных сил. Заодно обратимся к некоторым основным положениям теории полуупругого удара с абсолютно шероховатыми контактирующими поверхностями (в нашем случае это допущение более соответствует процессу соударений частиц компонентов концентрированных кормов, хотя, в принципе, следует рассматривать промежуточное положение между абсолютно гладкими и абсолютно шероховатыми явлениями контактов). Так, например, в зависимости от скорости относительного скольжения uф между поверхностями соприкосновения шаров m1 и m2, ее знака и величины формируется та или иная модель трения скольжения. Если uф? 0, то соответственно направление силы трения [16].

R = м · N, (3).

где N и R — нормальная и тангенциальная составляющие соответственно, и сила трения характеризуется данной формулой, м — в общем случае может быть коэффициент трения скольжения при контактировании шаров m1 и m2 или, например, при контактировании шаров m1 и m2 со стенками релятивного винтового барабана.

Если uф = 0, то, в общем-то.

R0,ф = м· N0, ф.

вытекает из предыдущей формы записи (3), но вычисления по этой формуле происходят гораздо сложней, так как.

N0,ф = ,.

R0,ф =.

представляют уже импульсы от сил R, N, где в свою очередь выражения.

N = m1·; R = m1.

через изменение нормальной uг и ut — тангенциальной составляющей скоростей общей скорости движения в момент соударения. Поэтому, с этой точки зрения,, представляют законы изменения количества движений в данных направлениях (например, для массы m1). Решая системы уравнений движения соударяющихся сил с учетом их вращений относительно осей, проходящих через центры их тяжести, можно представить уравнение вида [16,17]:

uф = A0-A1· N0, ф — A2· R0, ф, (4).

где.

A0- сonst;

A1, A2 — функции параметров от m1, m2, r1, r2, u1, u2, 1, 2 (в нашем случае шаров m1 и m2 центры которых движутся в направлении ц соответственно со скоростями u1 и u2); их угловые скорости вращений 1, 2 относительно центров в плоскости XOY).

И здесь следует разграничить при uф = 0 дополнительно еще два случая:

— в случае малого трения из зависимости (4) находят.

м.

(если окажется), то пользуется зависимостью:

(5).

если м (м — в роли коэффициента трения скольжения, например, в нашем случае 0,07 м 0,15, то полагают),.

R0,ф =, (6).

Вычисление импульса трения более сложной зависимостью возможно графическими методами (заметим, что uф=0 принимает значение в конце момента окончания контакта ф).

В общем случае вместо зависимости (4) есть смысл рассмотреть для Uф кинематические зависимости, т. е. возможные случаи образования относительной скорости скольжения при возможных направлениях вращения шаров m1, m2 в момент соударения (рисунок 1).

Рисунок 1 — Схема контактирования частиц компонентов концентрированных кормов в релятивном винтовом барабане.

• 1) шар m1 вращается (относительно своей оси М1 в плоскости XOY) по ходу, а шар m2 вращается против хода часовой стрелки относительно оси М2; оси М1, М2 перпендикулярны к плоскости XOY. Тогда величина относительной скорости скольжения в точке контакта В может быть представлена:
• 2) шар m1 вращается против хода, а шар m2 вращается против хода часовой стрелки относительной оси М2, тогда величина относительной скорости скольжения в точке контакта В может быть представлена:

uф = (u1 — щ1 · r1)-(u2 — щ2 · r2);

3) шар m1 вращается по ходу, а шар m2 вращается по ходу часовой стрелки относительной оси М2, тогда величина относительной скорости скольжения в точке контакта В может быть представлена:

uф = (u1 + щ1 · r1)-(u2 + щ2 · r2);

4) шар вращается m1 — против хода, а шар m2 вращается по ходу часовой стрелки относительно оси М2, тогда величина относительной скорости скольжения в точке контакта В может быть представлена:

uф = (u1 — щ1 · r1) — (u2 + щ2 · r2).

В зависимости от возможных случаев образования uф в момент контакта необходимо для расчета сил трения скольжения пользоваться зависимостями (3), (5) или (6).

С другой стороны, в принципе, uфmin uф uфmax может определенным образом влиять в каждый из моментов контактирования ф на изменение количества движения масс m1 и m2 в направлении ц. В самом деле, в нашем случае можно положить r1 и r2 r = rср из условия движения m1, m2 по окружности.

r = rср.

и тогда u1? u2? r ·. Формулы для uф значительно упрощаются, где уже будут оказывать влияние в общем случае щ1, щ2 const. Пусть, в частности, щ1, щ2 const, то в этом случае uф= const представляет кусочно-прерывную функцию, значение которой меняется стохастическим образом в зависимости от четырех возможных вариантов ее образования (1−4), от контактирования к контактированию например, в течение.

t =.

(при изменении (- ц).

На рисунке 2 показан вероятный график изменения величин скоростей скольжения при последовательных контактированиях шаров m1, m2.

Рисунок 2? График изменения величин скоростей скольжения при последовательных контактированиях частиц компонентов концентрированных кормов Заметим, что мы пока не ставим вопрос направленного контактирования, где при контактах К n скорости uф (t) могут как совпадать с направлением ц в общем случае (рисунок 1),.

так и не совпадать с ним. Но несмотря на это, в принципе, uф (t) или их проекции на направление ц должны как-то сказываться, суммируясь с r· uф (t) cos жi в каждый из моментов ф, т. е. должны как-то влиять на изменение угла поворота ц в конечном итоге.

В случае, если контакт происходит на линии направления r (точка B — см. рисунок 1), то угловая скорость поворота.

= = = + = + uф.

суммируется в результате обкатывания с проскальзыванием, если uф 0 (в данном случае сosжi = 1).

Число контактов n таких суммирований равно:

· cos жi,.

где ж — угол между векторами и направлением (на рисунке 3, в частности, жi = 0= ж) и в общем случае, т. е. представляет случайную, величину или даже можно оказать функцию, если иметь в виду uф (t). Поэтому дополнительное, стохастическое изменение угла поворота за время t, можно представить в виде:

цф = .

если считать ф промежутки t 00 при n .

С учетом этого «скорректированный угол поворота» в результате массового числа контактирований.

= ц + цф, (7).

где зависимость ц будет получена в результате интегрирования второго уравнения системы в полярной системе координат () при моделировании сил F, которая имеет вид:

(8).

Как уже отмечалось, определение величины uф (t) в зависимости (6) будет, в свою очередь, зависеть от знания значений щ1, щ2 = сonst и определение этих значений — наиболее сложная вероятностная задача. Можно лишь строить какие-то упрощенные типы моделей для установления границ оценок для значений щ1, щ2. Для этих целей, например, можно привлечь как называемое условное уравнение энергетического баланса:

(9).

Где.

? mв.б.·? mв.б.

— момент инерции релятивного винтового барабана при условии осреднения геометрии его стенок, рассматриваемый как полный цилиндр радиуса.

Rн? rср? r ,.

описывающего условные движения точек m1, m2 в отдельности и всей массы.

m = N1· m1+N2·m2.

в целом; щ 2 — угловая скорость вращения m2; щ1 — угловая скорость вращения шара m1; щ — угловая скорость вращения релятивного винтового барабана; N1- количество частиц компонентов кормов m1; N2 — количество частиц компонентов кормов m2; V0 = щ · r — скорость «захвата» всей массы m вращающегося релятивного винтового барабана в момент.

t = t0 (ц0= -); J1 = 0,4 mi· ri2 (i =1,2) ;

моменты инерции шаров m1, m2; - неучтенные виды энергии (типа частичного перехода в теплоту при рассмотрении полуупругих контактов m1, m2, «увлекания массы m1 и m2» стенками релятивного винтового барабана и какой-то другой природы).

Если считать, что распределение энергии на вращение m1 и m2 прямо пропорционально отношению их масс (возможно, на самом деле происходит какой-то другой вероятностный закон распределения, например, кинетическую теорию газов), т. е.

· · · ,.

то отсюда следует.

r1 1= r2 2 (10).

(что является условием) для оценки величин скоростей uф в четырех 1) -4) возможных рассмотренных выше случаях.

Если пренебречь в выражении (9) слагаемым, то с учетом (10) получим верхнюю границу для оценки.

r1 1 = r2 2, (11).

где должно выполняться очевидное условие .

Заметим, что при необходимости величины N1· m1, N2 · m2,, могут быть выражены через соотношение объемов засыпки Vm / Vв.б., удельный вес материалов m1, m2 и геометрические характеристики реальной рабочей камеры релятивного винтового барабана, объем засыпки массы частиц компонентов концентрированных кормов Vm. Пусть согласно возможных 1)?4), рассмотренных выше случаев образования скоростей относительно скольжения гф (с учетом зависимости (11) для оценки границ характеристик1, 2) в процессе контактирования каждой из пар m1 и m2 имеем следующие всевозможные исходы, образующие полную группу событий:

А11- событие контакта, где вращение против хода часовой стрелки m1 и m2;

А12- событие контакта, где вращение против хода m1, а m2 по ходу часовой стрелки.

А21- событие контакта, где вращения m1, m2 противоположны вращениям события А12;

А22 — событие контакта, где вращения m1, m2 противоположны вращениям события А11.

Тем не менее, из всех событий (с учетом реального процесса движения частиц компонентов концентрированных кормов и моделируемого движения материальных точек m1, m2) вероятнее всего будет происходить событие А12, вызывающее возникновение контактных сил в направлении, противоположном движению m1, m2 (противоположном направлениюц).

Пусть в каждом из контактов вероятность появления Р (А12)= р — событие А12. Вероятность непоявления Р (А12)= 1-р (с учетом появления остальных А11, А21, А22 — событий). И пусть нас интересует число появлений событий А12 не менее число контактов К n — раз из всего всевозможного их числа n. Можно сказать, что мы находимся в условиях биноминального распределения (при значительных К, n в условиях распределения Пуассона), а поэтому искомая вероятность.

Rkn = 1 —; = Cni · pi · (1-p)n-i (12).

где Cni — число сочетаний из n — элементов по i.

Наконец, определим последний коэффициент, учитывающий разброс потоков частиц геометрией профиля (реального профиля) стенок релятивного винтового барабана m2 в плоскости сечения XOY от моделируемого направления r. Можно сказать, что при достаточно большом количестве движущихся частиц m2 в направлении r относительно поверхности шара m1 (отраженные шары m2 стенками реального релятивного винтового барабана), все ранее рассмотренные вероятностные законы контактирования (биномиальный и Пуассона), как зачастую бывает в практике, переходят в нормальный закон. Распределение плотности вероятности этого закона показано на рисунке 3.

Рисунок 3 — Распределение плотности контактирования частиц компонентов концентрированных кормов Если ввести некоторую характеристику — срединное отклонение.

Е = 0,25r1,.

то в контактируемой ширине, равной шаровому поясу 2Е сферы r1, ожидаемое число контактов составляет 82% (по всей площади пояса) от всего потока шаров m2, идущих в направлении r, подавляющее большинство, как это следует из заштрихованной области (вероятности на интервале2Е). Чем же примечательны точки контактирований, лежащие на поверхности шарового пояса? Они характеризуются углами жi жmax= 300.

А это означает, что 0,87 сos жi1 находятся в довольно жестком интервале, и можно сказать, что направление скоростей проскальзывания uфi «почти совпадает» с направлением ц — (если говорить точнее, то они почти противоположны ц направлению ц, так как оно нас больше интересует в силу события А12, как рассматривалось выше). Данные типы контактов и будут образовывать интересующие контактные силы трения.

Таким образом, общий вероятностный коэффициент интересующих контактов — () c учетом зависимостей (2), (11) и данного коэффициента, равного 0,82 можно представить в виде:

= 0,82 · (1-)· (1-), (13).

где :

q =, -ц;

p — вероятностная характеристика, уточняемая экспериментальным путем; Л (ц) — математическое ожидание числа покрытий поверхности шарового пояса площади площадями поперечных сечений шаров m2, т. е.

Л (ц)? · К (ц) где.

К (ц)= ;

предполагаемый коэффициент, характеризующий степень показания в зависимости от угла поворота ц при.

ц = ц0= ;

(в точке «захвата массы»).

Л (ц0) = Лmax=; при ц= ;

число соударений самое наименьшее (рассеяние шаров m1 уже значительное) м.

Л (ц = +) = Лmax? 0 ;

близко к нулю, т. е. соударения отсутствуют.

Поэтому.

Л (ц)? · (1- sinц),.

Где.

= 2· ·r21, = · r22 .

Вероятностный коэффициент (13) может быть использован для уточнения зависимостей (5), (6), где в первом приближении p? 0,25. Например, вместо зависимости (5) уже следует (при интересующем событии А12, где uф 0) с учетом (3) иметь в виду:

Fтр.1,2 = - м2 · Рm· N, (14).

где м2 — коэффициент трения между шарами m1 и m2, N — сила нормального давления между контактируемыми поверхностям и должна быть как-то смоделирована. Что касается зависимости (6), то следует иметь в виду — условие, упрощающее интегрирование но, с другой стороны, определение угловых скоростей вращения 1, 2 явно затруднено (о чем говорилось выше) и зависимость (6) в дальнейших расчетах по этой причине не следует учитывать (оценка (11) может оказаться достаточно грубой).

Обратим внимание на «противоречивой природе» моделирования силы N. С одной стороны, выше мы уже касались того положения, что реальный профиль релятивного винтового барабана (сечений в плоскости XOY) при увлечении всей массы и раскручивании ее образует направленный поток частиц, контактирующих в радиальном направлении. С другой стороны, при загрублении.

с = r = rср. = const,.

как следует из первого уравнения системы (8), должно постоянно сохраняться условие динамического равновесия (рисунок 4a).

m · (-r·) = Fс,.

где ускорение r·, а поэтому, если исходить из этой точки зрения, моделируемая сила N должна быть пропорциональна. За момент соприкосновение двух частиц концентрированных кормов m1 и m2 совершается работа Fr1,2· Дr.

Сделаем дополнительное допущение: согласно принятому условию.

с = r = const.

следует считать, что величина смещений вдоль радиуса r образуемых в результате контактирования шаров m1 и m2, пренебрежимо мала, т. е. /Дr//r/ и m продолжает перемещаться вдоль окружности, оставаясь на своей траектории (рисунок 4 б). Вдоль оси вращения мы также перемещениями за счет соударений пренебрегаем.

Fr1,2 — сила взаимодействия между массами m1, m2 вдоль направления r, имеющая некоторую аналогию с рассмотренной выше силой Fс.

За момент соприкосновения ф двух масс m1, m2 совершается работа Fr1,2· Дr, где перемещение Дr r = rср достаточно мало, т. е. массы m1, m2 по-прежнему (согласно принятой модели) после нескольких таких контактирований сохраняют движение по окружности радиуса r = rср.

Рисунок 4? а) Схема контактирования частиц компонентов концентрированных кормов б) Схема контактирования частиц компонентов концентрированных кормов с учетом динамического равновесия Совершаемая работа Fr1,2· Дr · r·Дr соприкасающихся масс m1, m2 на перемещении Дr оказывается пропорциональной величине, имеющий размерность квадрата скорости (м2/ с2). С другой стороны, можно условно считать, что данная работа обуславливает потерю кинетической энергии Дw, равную:

ДW = · (1-)· ()2,.

где ()2 · r·Дr можно считать, если после каждого контакта m1 «удерживается» на траектории движения. Таким образом, сопоставляя, видим, что введя некоторый эмпирический коэффициент Кв, можно принять в выражении (14).

Кв = · (1-); Дw = N · Дr.

Тогда контактные силы взаимодействия N частиц компонентов комбикормов m1 и m2 при их движении в релятивных винтовых барабанах можно определять по формуле:

N= - · Кв · r (15).

• 1. Пат. 2 007 226 Российская Федерация, МПК В07 В 1/22. Семяочистительная машина/ Г. В. Серга, К. В. Филин; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет.? № 4 926 616/03; завл. 11.03.1991; опубл. 15.02.1994.
• 2. Пат. 2 113 337 Российская Федерация, МПК В24 В 31/02. Устройство для абразивной обработки деталей / Г. В. Серга, Л. Н. Луговая, И. И. Табачук; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет.? № 96 121 168/02; завл. 22.10.1996; опубл. 20.06.1998.
• 3. Пат. 2 121 890 Российская Федерация, МПК В07 В 1/22. Машина для сепарации сыпучих сред / Л. Н. Луговая, И. И. Табачук, Э. В. Кравченко, Г. В. Серга, А. В. Ляу; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет.? № 97 113 113/03; завл. 16.07.1997; опубл. 20.11.1998.
• 4. Пат. 2 139 150 Российская Федерация, МПК В07 В 1/22. Барабанный грохот / Г. В. Серга, А. В. Ляу, А. Н. Иванов; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет.? № 98 114 703/03; завл. 28.07.1998; опубл. 10.10.1999.
• 5. Пат. 2 398 678 Российская Федерация, МПК B28C 5/20. Вибрационный бетоносмеситель / В. Д. Таратута, В. В. Цыбулевский, Г. В. Серга; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет.? № 2 009 111 958/03; завл. 31.03.2009; опубл. 10.09.2010, Бюл. № 25.
• 6. Пат. 2 027 130 Российская Федерация, МПК F26B11/04. Сушилка для куриного помета / Г. В. Серга, К. В. Филин; заявитель и патентообладатель Серга Георгий Васильевич, Филин Константин Владимирович.? № 5 005 024/06; завл. 10.09.1991; опубл. 20.01.1995.
• 7. Пат. 2 209 669 Российская Федерация, МПК B02C17/04. Барабанная мельница / Г. В. Серга, Н. Н. Довжикова, Р. А. Диков; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 002 101 215/03; завл 08.01.2002; опубл. 08.01.2002.
• 8. Пат. 2 209 670 Российская Федерация, МПК B02C17/04. Трубная мельница / Г. В. Серга, С. М. Резниченко, Ф. Ф. Кремянский; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 002 101 217/03; завл 08.01.2002; опубл. 08.01.2002.
• 9. Пат. 2 220 896 Российская Федерация, МПК B65G33/26. Устройство для транспортирования материалов / Г. В. Серга, Н. Н. Довжикова, Ф. Ф. Кремянский Р.А. Диков; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 002 112 173/03; завл 06.05.2002; опубл. 10.01.2004.
• 10. Пат. 2 228 252 Российская Федерация, МПК B24B31/06. Устройство для вибрационной обработки длинномерных деталей / А. П. Бабичев, И. А. Бабичев, Г. В. Серга; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 002 135 225/02; завл 25.12.2002; опубл. 10.05.2004.
• 11. Пат. 2 305 471 Российская Федерация, МПК A23N12/02. Машина для мойки сыпучих предметов / Г. В. Серга, К. М. Кретинин; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 006 105 559/13; завл 22.02.2006; опубл. 10.09.2007, Бюл. № 25.
• 12. Пат. 2 296 629 Российская Федерация, МПК B07B 1/22. Семяочистительная машина / Г. В. Серга, Д. В. Квиткин, А. В. Фоменко, Л. Н. Луговая; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 2 005 131 142/03; завл 07.10.2005; опубл. 10.04.2007, Бюл. № 10.
• 13. Пат. 2 176 563 Российская Федерация, МПК B07B 1/22. Устройство для очистки семян / А. В. Ляу, А. Н. Иванов, Г. В. Серга; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет. № 99 126 072/03; завл 07.12.1999; опубл. 10.12.2001.
• 14. Бронштейн И. Н. Справочник по математике / И. Н. Бронштейн., К. А. Севендаев. — М: Наука, 1981 г. — 723 с.
• 15. Физический словарь /. М: I — V, 1962;1965. С 282−283.
• 16. Федорченко А. М. Теоретическая физика / А. М. Федорченко. — Киев: Высшая школа, 1983 — 351 с.
• 17. Лойцянский Л. Г. Курс теоретической механики т.1, / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. — Москва: Наука, 1983 — 352 с.