Обратная задача модели Самуэльсона–Хикса

В данной статье сформулирована обратные задачи экономических динамических систем [1]: модель Самуэльсона-Хикса. Исследуется корректность постановки математических моделей, описывающих экономические динамические системы.

Для этой модели предложен метод решения обратной задачи, основанный на сведении обратной задачи к задаче квадратичного программирования.

Задачу квадратичного программирования предлагается решать инструментальными средствами: с помощью надстройки «Поиск решения» в среде MS Excel.

Цель проведённого исследования — разработать математические методы решения обратных задач экономических динамических систем и использовать полученные результаты для анализа и прогноза развития экономики Северо — Кавказского федерального округа в целом и Карачаево-Черкесской республики, в частности.

обратный задача самуэльсон хикс Рассмотрим динамическую модель Самуэльсона — Хикса[1]:

(1).

где валовый внутренний продукт текущего года;

валовый внутренний продукт предыдущего года;

инвестиционные товары;

инвестиционные товары в текущий момент времени;

коэффициент акселерации, причём выполняется неравенство:

(2).

Коэффициент акселерации показывает насколько возрастут инвестиции, если ВВП возрастёт на единицу.

При линейной зависимости спроса на потребительские товары о ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары линеаризованная модель Самуэльсона — Хикса примет вид:

(3).

где — минимальный объём фонда потребления;

склонность к потреблению, причём.

(4).

Формулу (3) можно представить в виде:

(5).

Задачу определения в рамках модели (3) — (5) по заданным условимся называть прямой задачей.

В рамках модели (3) — (5) сформулируем другую задачу: по заданным переменным найти параметры.

Эту задачу назовём обратной задачей (по отношению к указанной выше прямой [2].

Обратная задача представляет существенный интерес в тех случаях, когда требуется по заданным статистическим данным в дискретные моменты времени восстановить модель (3)-(5) и на её основе спрогнозировать значения на последующие моменты времени .

Для дальнейшего исследования сформулированной обратной задачи вначале необходимо исследовать прямую задачу на корректность постановки [3]. Уравнения (3) — (5) являются линейными с постоянным спросом на инвестиционные товары. Пусть является непрерывной функцией на промежутке Тогда задача (3) — (5) имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от и. Следовательно, задача (3)-(5) поставлено корректно, а значит и обратная задача поставлено корректно.

Реально на практике значения и в дискретные моменты времени задаются таблично (см. табл.1) [4]:

Таблица 1.

Из модели (3)-(5) и данных таблицы 1. вытекает следующая система равенств:

(6).

в которой неизвестными являются и .

Группируя уравнения системы (6), построим подсистем из двух уравнений (Очевидно,, где — число сочетаний изпо 2).

Построив решения этих подсистем, найдём приближённых значений и: и .

Решая задачи квадратичного программирования.

(7).

.

(8) .

С помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшие в среднем квадратическом смысле оценку и соответствующие параметрам и соответственно[5].

Пример. Пусть значения заданы таблицей 2.

Таблица 2.

Положим инвестиционные расходы, потребительские расходы Требуется найти оценки для и для .

Решение.

При указанных в таблице 2. данных система (6) принимает вид:

(9).

Подставляя данные таблицы 2. в (9) найдём:

или после преобразований получим:

(10).

Группируя уравнения системы (10), построим 3 подсистемы из двух уравнений:

2) 3).

Построив решения этих подсистем, найдём по 3 приближённых значений и: и.

Решая задачи квадратичного программирования и.

С помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшие в среднем квадратическом смысле оценку и соответствующие параметрам и соответственно: =0, 1366 и =0, 508.

Этапы проведённых вычислений представлены на рис. 1−8.

Рис. 1. Приближённые значения (оценки) с.

Рис. 2. Целевая функция.

Рис. 3. Параметры поиска решения.

Рис. 4. Результаты поиска решения.

Рис. 5. Приближённые значения (оценки) и целевая функция.

Рис. 6. Поиск решения.

Рис. 7. Параметры поиска решения.

Рис. 8. Результаты поиска решения.

Выводы

В статье сформулированы прямые и обратные задачи в рамках изучаемой динамической моделей, исследована корректность постановки задач математических моделей, описывающих экономические динамические системы, приведена методика решения поставленной обратной задачи. Эта методика основана на следующей схеме решения.

По заданным таблично параметрам прямой задачи, строится система алгебраических уравнений, содержащая в качестве неизвестных оцениваемые параметры изучаемой модели. После этого поставленная обратная задача сводится к решению задачи квадратичного программирования, решения которой определяются с помощью надстройки «Поиск решения» в среде MS Excel.

По указанной схеме исследованы и предложены алгоритмы построения решений обратных задач экономических динамических систем.

• 1. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2002. — 399с.
• 2. Семенчин Е. А., Урусова А. С. Обратные задачи в экономических балансовых моделях и моделях экономического роста.- Краснодар: Просвещение — Юг, 2009. — 142с.
• 3. Семенчин Е. А., Лайпанова З. М. Корректность и стохастическая регуляризация математических моделей, описывающих экономические и эколого-биологические процессы.- Краснодар: Просвещение — Юг, 2009. — 121с.
• 4. Вержбицкий В. М. Численные методы. — М.: Высшая школа, 2001. — 189с.
• 5. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование. — М.: Вузовский учебник, 2005. — 144 с.