Моделирование столкновение частиц в потоках Риччи

Рассмотрим в качестве начальных данных для системы уравнений (11) решение Зильберштейна в форме (7) в области. В последующие моменты времени будем предполагать, что частицы движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью вплоть до соударения. Таким образом, для уравнения (11) поставим следующую задачу о столкновении частиц, представленных сингулярностями поля:

(12).

Здесь — скорость частиц до соударения, — граница области, отделяющая область численного интегрирования от оси системы, содержащей сингулярные точки решений Зильберштейна (7). На рис.1−4 представлены результаты моделирования соударения частиц в потоке Риччи, выполненные по (11) — (12) при следующих значениях параметров:

(13).

В первом случае частицы после столкновения разлетаются, меняясь своими позициями — рис.1−2. Во втором случае частицы после соударения образуют новую частицу — рис.3−4. При сближении и удалении частиц наблюдаются нелинейные гравитационные волны — рис. 2,4. При этом более значительному возмущению подвергается потенциал, не имеющий аналога в теории Ньютона. На рис. 5 представлены данные по столкновению частиц неравной массы при следующих значениях параметров.

(14).

Рис. 1. Распределение гравитационных потенциалов в различные моменты времени при столкновении и разлете частиц равной массы в потоках Риччи в метрике (2): параметр времени указан над рисунками.

В этом случае изменение потенциала не является столь резким как в случае частиц равной массы — рис. 1,3. Это объясняется тем, что потенциал пропорционален квадрату массы каждой из частиц, поэтому даже при не большом отношении масс поведение потенциала определяется большей массой. Тем не менее, в этом случае также возбуждаются гравитационные волны — рис. 6.

Рис. 3. Распределение гравитационных потенциалов в различные моменты времени при столкновении и слиянии частиц равной массы в потоках Риччи: параметр времени указан над рисунками.

Отметим, что волны возникают в силу нелинейности уравнений (11), тогда как в линейном случае при монотонных граничных условиях (12) потенциалы также должны изменяться монотонно. Природа этих волн такая же, как у волн, возникающих при слиянии черных дыр [10−12] и нейтронных звезд [31]. Теория столкновения частиц представленных сингулярностями поля в потоках Риччи позволяет детально исследовать влияние параметров задачи на частоту и амплитуду гравитационных волн.

Рис. 4. Зависимости гравитационных потенциалов от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками).

Амплитуда и период колебания волн зависят от скорости и массы частиц — рис 6. Так при увеличении скорости частиц в два раза период колебаний уменьшается в 2 раза, что видно из сравнения зависимостей потенциала от времени, приведенных в нижней части рис. 6. При увеличении массы амплитуда колебаний потенциала увеличивается пропорционально произведению масс частиц — .

Рис. 6. Зависимости параметров гравитационных волн при изменении массы и скорости частиц.

Заметим, что наряду с системой уравнений (11) должны также выполняться второе и третье уравнения системы (3).

Очевидно, однако, что указанные уравнения не могут выполняться на произвольных решениях системы уравнений (11).

Можно предположить, что возникающая при этом невязка должна компенсироваться в силу уравнения Эйнштейна (1) некоторым тензором энергии-импульса, что интерпретируется, как энергия гравитационных волн, свободно распространяющихся за пределы системы.