Динамика кварков на гиперсфере

Рассмотрим систему, содержащую большое число частиц. В этом случае существует возможность описания динамики путем отображения в многомерное пространство [19−21]. Будем предполагать, что сильное взаимодействие частиц осуществляется в многомерном пространстве в соответствии с теорией относительности.

Рассмотрим обобщение уравнений Эйнштейна для пустого пространства на случай произвольного числа измерений [22−23]:

(1).

Здесь — некоторая функция, зависящая от размерности пространства, — тензор Риччи и метрический тензор соответственно.

В общем случае имеют место соотношения.

(2).

— тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода.

Отметим, что в модели (1) сохраняются все результаты, связанные с определением, так называемых пространств Эйнштейна [24−25], поскольку соответствующие метрики являются решением первого уравнения (1).

В метрической теории существует два основных типа законов физики. Первый тип законов вытекает из равенства нулю ковариантной производной метрического тензора:

(3).

В стандартной теории поля [26] из уравнений (3) выводится связь символов Кристоффеля с метрическим тензором в форме.

Дальнейшее развитие теории строится на определении тензора кривизны и тензора Риччи в соответствии с выражениями (2). Заметим, что в общей теории относительности предполагается, что тензор энергии импульса материи связан с тензором Эйнштейна уравнением Эйнштейна [26].

Второй тип законов вытекает из равенства нулю ковариантной производной скорости,.

Отметим, что совокупность законов физики в форме (3)-(4) при заданных функциях полностью описывает динамику полей и частиц в многомерных пространствах.

В работах [22−23] представлена модель гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой.

(5).

Здесь — углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (5) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации. Например, 3-х сфера используется для представления симметрии; 5-сфера описывает и т. п. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, которую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния. эйнштейн буссенеска плотность Уравнения поля в метрике (5) сводятся к одному уравнению второго порядка [22−23].

(6).

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем.

(7).

Заметим, что движение частиц в метрике (5) разделяется на радиальное движение и движение на гиперсфере, которое в общем случае можно исследовать независимо от радиального движения. Будем предполагать, что существуют такие частицы, которые движутся в метрике (5) на гиперсфере с числом углов. Как известно, движение массивных частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением (4). Пронумеруем координаты метрики (5) следующим образом .

Система уравнений (4) в метрике (5) имеет вид [27−29].

(8).

Отметим, что в силу уравнений (8) все углы связаны между собой. Поэтому движение вдоль каждого угла может влиять на динамику всей системы. Это влияние является особенно сильным в окрестности полюсов системы, где, при этом. Согласно системе уравнений (8) число таких полюсов равно.

Покажем, что логарифмический потенциал, используемый в теории кварков [1−5], является следствием движения на гиперсфере. Для доказательства перепишем уравнение (8) в виде.

(8,a).

Отсюда следует, что в особых точках решение системы (8,a) зависит от логарифмических потенциалов, которые, как будет показано ниже, могут быть связаны с наличием центров гравитации или зарядов.

На рис. 1 представлены результаты моделирования динамики частиц на гиперсфере в случае 35 углов. Отметим, что проекции траектории частиц в трехмерном пространстве образуют своеобразные фигуры в форме коридоров, аналогичные тем, которые были получены нами в теории Янга-Миллса [30].