Теоретическая модель системы задач, обеспечивающая реализацию внутрипредметных связей посредством метода аналогии

В данном параграфе мы проводим анализ логико-математических и логико-методических связей между задачами (теоремами) школьного курса геометрии, устанавливаемых посредством аналогии.

Анализ работ по методике преподавания математики, связанных с применением аналогии в обучении школьников^[1], показал, что через большинство из них проходит проблема этапов процесса применения аналогии. В геометрии классификации этапов, предлагаемых различными авторами, в той или иной мере отличаются друг от друга, хотя в общем виде все они схожи и их можно представить в виде следующей последов ательности:

• 1) принятие исходного объекта;
• 2) выбор объекта, аналогичного исходному;
• 3) сравнение исходного и аналогичного объектов;
• 4) формулировка предположительного вывода по аналогии;
• 5) доказательство или опровержение этого вывода;
• 6) исследования по дальнейшему применению аналогии.

Вполне естественно, что разные авторы уделяют больше внимания различным этапам, и это оправдано рядом причин: содержанием материала и целями применения аналогии, видами используемой аналогии и собственными разработками авторов, способностями и возрастом школьников и др.

Так, например, М. Н. Сизова говорит о возможности использования аналогии при обучении математике учащихся начальных и 5—6 классов. Большую роль автор отводит формированию операций сопоставления и противопоставления объектов, для этого выделяет упражнения: «на определение основания сравнения; на определение признаков, по которым из трех объектов одна пара сходна, а другая различна; на конструирование трех объектов по известному основанию сравнения и известным признакам сходства и различия»^[2].

А. Л. Жохов, занимаясь проблемой систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся основной школы, выявил систему подготовительных, реализующих, контролирующих и транслирующих действий по применению аналогии в обучении^[3]. Автор рассматривает формирование понятия «отношение порядка» в 4—5 классах и решение задач на построение в 4—8 классах.

Результатом подготовительных действий является представление учащихся об оригинале и цели его исследования, о возможных моделях оригинала, об аналогии между моделями и оригиналом. Основная цель реализующих действий состоит в переносе достоверной информации о модели на оригинал в виде гипотезы. Основное назначение контролирующих действий — сделать сведения, полученные как результат вывода по аналогии, достоверными знаниями об оригинале.

А. Л. Жохов отмечает, что логически целесообразным продолжением действий и упражнений всех предыдущих видов являются транслирующие: повторное применение аналогии в условиях той же учебной ситуации и переход к другой учебной ситуации, в чем-либо аналогичной первой. А это, в свою очередь, является предпосылкой для нахождения новых связей и отношений между геометрическими объектами.

Отметим, что система, состоящая из действий четырех обозначенных выше видов, соответствует общепринятым в методике преподавания математики четырем основным этапам процесса решения учебных задач: осмысление условия задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, изучение найденного решения.

Как видно, этапы решения задач и порядок действий по применению аналогии в обучении во многом сходны. Это объясняется тем, что оба процесса являются по своей природе интеллектуальной деятельностью и, следовательно, «характеризуются тем же строением, что и любой другой интеллектуальный акт, а именно: наличием мотива, плана (замысла, программы), исполнением (реализацией) и контролем»^[4].

В своей работе мы делаем акцент на организацию деятельности учащихся по переносу метода решения одних задач на другие и деятельности по составлению аналогичных задач.

Такая деятельность обусловлена аналогией в задачах. Однако, прежде чем говорить об аналогии в задачах, следует определить, что мы будем понимать под понятием «задача», поскольку оно трактуется различными авторами неоднозначно. Ряд ученых (А. А. Столяр, Р. С. Черкасов, Н. В. Метельский) рассматривают это понятие как неопределяемое и в самом широком смысле означающее то, что требует исполнения, в этом случае термин «задача» употребляется для обозначения объекта, на который направляются действия субъекта. Согласно А. Н. Леонтьеву, под задачей можно понимать цель, данную в определенных условиях (в конкретной ситуации)^[5].

Другой подход характеризует задачу прежде всего как ситуацию достижения цели в определенных условиях (Л. Л. Гурова, Ю. М. Колягин, Ю. Н. Кулюткин, П. М. Эрдниев и др.). Л. М. Фридман связывает понятие «задача» со словесной формулировкой такой ситуации. Г. А. Балл^[6] выделяет три возможных подхода к характеристике понятия «задача»:

• 1) задача представляет собой определенную ситуацию, которая требует от субъекта некоторого действия;
• 2) задача есть определенная ситуация действия, направленного на нахождение неизвестного посредством его существующей связи с известным;
• 3) задача есть такая ситуация, в которой от субъекта требуется отыскать действие, направленное на установление связи неизвестного с известным, но в тех условиях, когда субъект не владеет способом этого действия.

Мы склонны понимать под задачей такую ситуацию, описанную словесно, из которой ясно, что требуется получить, исходя из заданных условий, посредством выполнения некоторых действий (умозаключений, вычислений, построений).

В литературе, как правило, определение понятия «аналогичные задачи» не встречается. Причину этого мы видим в том, что употребление термина «аналогия» применительно к геометрическим задачам всегда связано с определенным признаком, по которому устанавливается аналогия в задачах. И тогда следует говорить о задачах, аналогичных в каком-либо признаке, а в тех случаях, когда автор его явно не указывает, этот признак ясно определяется из контекста.

Вместе с тем встречаются попытки дать определение понятию «аналогичные задачи». Так, Э. А. Ясиновский под аналогичными задачами понимает такие две задачи, которые в определенном смысле сходны, хотя в целом они и выражают различное содержание^[7]. В дальнейшем мы будем придерживаться такого толкования понятия «аналогичные задачи», однако, если это не следует из контекста, будем уточнять, относительно чего задачи считаем аналогичными.

К вопросу об аналогии в задачах подойдем с опорой на существующие классификации задач. Известно, что любая классификация всегда ведется по какому-либо основанию и в зависимости от него выделяются различные группы сходных между собой классифицируемых объектов. Задачи здесь не являются исключением, и в случае их классификации можно говорить о задачах, аналогичных в каких-либо признаках.

В педагогической литературе существуют различные подходы к классификации задач. В соответствии с ними можно выделить различные группы аналогичных между собой задач, укажем некоторые из них.

• 1. Задачи, аналогичные по количеству неизвестных в их структуре. Ю. М. Колягин выделяет обучающие, поисковые и проблемные задачи^[8].
• 2. Задачи, аналогичные по характеру объектов. Л. М. Фридман различает задачи практические и математические^[9]. В данной работе мы выделяем задачи планиметрические и стереометрические, задачи с аналогичными фигурами, величинами, отношениями.
• 3. Задачи, аналогичные по отношению к теории, которые можно разделить на стандартные и нестандартные. Например, такое деление имеет место у Ю. Н. Кулюткина: «В психологии можно встретить деление учебных задач на стереотипные и нестереотипные»^[10].
• 4. Задачи, аналогичные по функциям в процессе обучения. Разные авторы выделяют различные функции учебных задач:
  • • дидактические, познавательные и развивающие задачи;
  • • обучающие, воспитывающие, развивающие и контролирующие задачи^[11];
  • • познавательные, тренировочные и развивающие задачи;
  • • задачи предварительные, дидактические, познавательные, последующие дидактические, с развивающими функциями, с прикладными функциями^[12].
• 5. Задачи, аналогичные по своему математическому содержанию, соответствующему специфике той или иной математической дисциплины. Их подразделяют на арифметические, алгебраические, аналитические и геометрические.
• 6. Задачи, аналогичные по числу решений. Если задача имеет бесконечное множество решений, то Д. С. Людмилов относит ее к классу неопределенных задач, если же число решений конечно, то задача попадает в класс определенных задач; в том случае, если задача не имеет решений, она относится к числу неопределяемых задач.
• 7. Задачи, аналогичные по характеру требований: задачи на вычисление, задачи на построение, задачи на доказательство, задачи текстовые, задачи комбинированного характера.

В первую очередь нас будут интересовать задачи, аналогичные по структуре, ввиду того что такая аналогия позволяет учащимся составлять задачи самостоятельно и находить способы, идеи решения геометрических задач. Поэтому рассмотрим геометрические задачи с позиции выделения их структурных элементов.

Учебные задачи можно представить схематично, так что их логическая структура будет иметь следующий вид: А => В, где А — условие задачи; В — ее заключение; => — метод, способ доказательства или решения задачи. Такое представление задачи можно встретить у Э. А. Страчевского^[13]. Как правило, задача состоит в том, что неизвестны один или два структурных элемента, которые требуется восстановить. Если их обозначить знаком «?», то схематично задачи можно представить так:

Чаще всего в школьных учебниках присутствуют задачи первых трех указанных типов, т. е. задачи, в которых или неизвестен способ решения, или требуется сделать заключение, или задачи, в которых необходимо сделать заключение и обосновать его.

Более детально структура и основные компоненты математической задачи были исследованы в методике преподавания математики Ю. М. Колягиным. Он выделил в задаче следующие компоненты:

• • начальное состояние (У) характеризует условие конкретной задачи;
• • конечное состояние (3) характеризует заключение задачи;
• • решение задачи (Р) характеризует конкретный способ преобразования условия для получения требуемого результата;
• • базис решения (О) характеризует объем теоретических или практических знаний, необходимых для решения задачи.

И тогда символическая запись вышеуказанных компонентов может быть представлена как УОРЗ.

В. И. Крупич, опираясь на исследования Ю. М. Колягина, предлагает более детальную информационную структуру задачи^[14], которую он выражает в виде замкнутой системы S = {А, С, R, D, В}. Смысл каждого компонента этой системы состоит в следующем:

• • А — условие задачи, т. е. данные и отношения между ними;
• • С — базис решения задачи, т. е. теоретическая основа, необходимая для обоснования решения;
• • R — основные отношения между данными и искомыми;
• • D — способ, определяющий процесс решения задачи, т. е. способ действия по преобразованию условия задачи для нахождения искомого;
• • В — требования задачи, т. е. искомые и отношения между ними.

Решить математическую задачу — значит отыскать последовательность теоретических положений математики, применяя которые сначала к условию задачи, а затем и к их следствиям, мы даем ответ на вопрос задачи (в ряде случаев решением может быть и установление того, что такой последовательности в заданных условиях не существует).

Будем опираться на четырехкомпонентную структуру задачи, предложенную Ю. М. Колягиным.

Если в основу аналогии положить начальное или конечное состояние задачи, то можно выделить задачи, аналогичные по рассматриваемым в них объектам.

Если в основу аналогии положить базис решения или само решение задачи, то можно выделить задачи, аналогичные по методу решения. Следующая схема иллюстрирует такое деление (рис. 1.10).

Охарактеризуем задачи, аналогичные по рассматриваемым в них объектам. Если в условии или заключении задачи рассматриваются совпадающие или аналогичные фигуры, величины, отношения, то такие задачи можно назвать аналогичными по рассматриваемым в них геометрическим объектам.

Рис. 1.10.

Если рассматривать задачи с позиции выделения геометрических объектов и отношений между ними в их условии и заключении, то отличие задач от теорем несущественно, а поэтому все сказанное с такой позиции относительно задач, можно перенести и на теоремы.

Выделение задач, аналогичных по рассматриваемым в них объектам, привело нас к проблеме составления задач силами самих учащихся. Оказывается, как показали констатирующий и формирующий эксперименты, привлечение аналогии к этому процессу делает возможным составление задач не только сильными, но и слабыми учащимися.

Пусть имеется геометрическая задача. Тогда, заменяя в ее условии или заключении некоторые объекты на аналогичные им, получим задачу, аналогичную исходной по рассматриваемым в них объектам. Сделаем несколько замечаний.

• 1. В задачах, как правило, описываются комбинации нескольких объектов, поэтому в зависимости от числа изменяемых объектов получим задачи, более или менее сходные с исходной задачей; в зависимости от характера изменяемых объектов получим задачи, аналогичные по фигурам, величинам, отношениям и комбинациям этих объектов.
• 2. Наблюдения за учащимися, составляющими задачи, а также беседы с ними и учителями показывают, что наибольшие трудности у учащихся возникают при составлении первой задачи, аналогичной исходной; в том же случае, если такая задача уже составлена, то составление других задач, аналогичных исходной, вызывает у учащихся значительно меньшие затруднения. Поэтому, как правило, если ученик может указать один аналог какой-либо задаче, то он же может указать и несколько других аналогов.
• 3. А. Л. Жохов отмечает, что отношение аналогии не является транзитивным отношением, и поэтому не рассматривает аналогию между двумя объектами, аналогичными некоторому третьему. Однако следует заметить, что иногда такая аналогия существует, и при составлении серии аналогичных задач учащиеся могут идти таким путем: составить задачу В, аналогичную задаче А, потом составить задачу С, аналогичную задаче В и т. д. Чаще всего аналогия между такими задачами существует, потому что, как правило, в ее основе лежит один и тот же признак, относительно которого школьники рассматривают различные объекты.
• 4. О возможности применения аналогии для составления новых свойств фигур говорится в исследовании В. В. Кочагина^[15]. Предварительно автор выделяет два вида аналогии фигур: аналогичных в определении и аналогичных в свойствах. При этом он указывает способ нахождения фигуры В, аналогичной фигуре А, который состоит в выборе направления поиска (рис. 1.11) и собственно выборе самой фигуры В.

Рис. 1.11

Свойства геометрических фигур, могут быть сформулированы и в виде задач, а поэтому для задач будут справедливы выводы, приведенные относительно свойств фигур. В. В. Кочагин формулирует следующее правило вывода по аналогии (правило 1):

• • укажите исследуемую фигуру А;
• • выделите в определении фигуры А ее свойства;
• • выберите среди ранее изученных фигур (в планиметрии или стереометрии) фигуру В, аналогичную фигуре А;
• • сформулируйте свойство фигуры В;
• • сформулируйте аналогичное свойство фигуры А;
• • докажите или опровергните сформулированное утверждение.

При формулировке свойства фигуры А, аналогичного свойству фигуры В, автор предлагает заменять элементы фигуры В на им аналогичные в А, сохранив отношения между фигурами и взаимосвязи между числовыми характеристиками. Между тем, если изменять отношения между фигурами и взаимосвязи между числовыми характеристиками, могут получиться не лишенные смысла утверждения.

При составлении вместе со школьниками задач и свойств фигур мы изменяли различные характеристики. Отметим, что в предельной аналогии, рассматриваемой нами, заложена возможность изменять отношения между фигурами. Это происходит за счет выделения различных предельных положений.

Описываемый В. В. Кочагиным процесс получения нового утверждения можно охарактеризовать как перенос свойств к исходной фигуре. И естественно, он важен и при изучении какой-либо геометрической фигуры, и при изучении метода аналогии. Поэтому в своем исследовании мы пользовались подобной схемой для получения новых задач и свойств фигур. Однако применение аналогии можно выделить и при переносе свойств к аналогичной фигуре (от исходной фигуры), что также важно при изучении метода аналогии. Укажем составленное нами еще одно правило вывода по аналогии (правило 2):

• • укажите исходную фигуру А;
• • выделите свойства фигуры А;
• • выберите среди ранее изученных фигур (в планиметрии или стереометрии) фигуру В, аналогичную фигуре А;
• • сформулируйте свойство фигуры А;
• • сформулируйте аналогичное свойство фигуры В;
• • докажите или опровергните сформулированное утверждение.

Итак, мы показали два направления в получении новых свойств и задач посредством применения аналогии. Оба направления применимы в практике изучения геометрии.

Напомним, что аналогию между задачами мы условились называть внутренней, если обе задачи изучаются либо в планиметрии, либо в стереометрии; внешней — если одна из задач является планиметрической, а другая — стереометрической. Приведем пример, когда к планиметрической задаче А составлена аналогичная стереометрическая задача В и аналогичная планиметрическая задача С.

Задача Л. Вписать в окружность радиуса R прямоугольник, имеющий наибольшую площадь.

Задача В. Вписать в сферу радиуса R правильную четырехугольную призму наибольшего объема.

Задача С. Вписать в окружность радиуса R равнобедренный треугольник, имеющий наибольшую площадь.

Данный пример интересен тем, что можно составить такую стереометрическую задачу D, которая будет аналогична задаче В и аналогична задаче С.

Задача D. Вписать в сферу радиуса R конус, имеющий наибольший объем.

Очевидно, что внутренняя аналогия существует между задачами А и С, В и D, а внешняя — между задачами А и В, С и D.

Данные четыре задачи можно описать следующей схемой (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

Выделение подобных четверок объектов, каждый из которых состоит во внутренней и внешней аналогии, представляет особый интерес при составлении аналогичных задач.

Заметим, что если составлена подобная четверка задач, то часто бывает, что ее можно расширить путем введения новых объектов, это особенно проявляется, если в задаче рассматривается комбинация геометрических фигур. В нашем случае дополнение четверки задач А, В, С и D возможно следующим образом.

Задача Е. В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что две смежные вершины прямоугольника лежат на стороне основания треугольника, а две другие принадлежат его боковым сторонам. Каким должен быть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей?

Задача F. Найдите отношение высоты правильной четырехугольной призмы к стороне ее основания, если призма имеет наибольший объем и вписана в конус следующим образом: четыре вершины призмы, принадлежащие одной грани, лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины принадлежат образующим конуса.

Тогда задачи Е и F дополнят приведенные выше четыре задачи А, В, С и D следующим образом (рис. 1.13).

Рис. 1.13.

Отметим, что процесс обучения школьников составлению задач не является самоцелью, а имеет дидактическую и методическую направленность. Любая задача состоит из условия и требования, ученик в процессе составления задачи устанавливает зависимости между известными и искомыми величинами, входящими как в условие, так и в требование задачи. Чтобы ответ на требование задачи был однозначен, школьник, подбирая эти известные и неизвестные величины и процессы, их описывающие, вынужден мысленно неоднократно ее решать, что в конечном счете приводит к задаче, в которой данных необходимо и достаточно для однозначного ответа.

Процесс составления задачи помогает учащимся довольно естественно подойти к освоению таких методически трудных вопросов, как анализ условия готовой задачи, поиск плана ее решения, контроль правильности решения, проверка наличия необходимых и достаточных условий для существования решения и многого другого.

В психолого-методической литературе в связи с изучением мыслительных процессов, протекающих при решении задач, обосновывается психолого-педагогическая ценность приемов составления задач учащимися, которая выражается главным образом в следующем: составление задач учащимися помогает им осознать структуру и механизмы решения задач; способствует формированию более глубокого интереса к решению задач и изучению учебного предмета; способствует развитию творчества учащихся; составление задач может быть использовано как средство осуществления связи обучения с жизнью.

Так, например, Л. М. Фридман отмечает, что самостоятельное составление учащимися различных математических задач является очень полезным видом учебных заданий. «Составление задач, — пишет он, — способствует лучшему уяснению самих задач, их структуры и механизма решения»^[16].

Охарактеризуем далее задачи, аналогичные по методу решения. Такие задачи нас будут интересовать в связи с тем, что в методике преподавания математики важное значение имеет исследование процесса решения задачи с позиций возможности переноса метода, приема, которым решалась задача, на решение других задач. Это необходимо, ибо, как было показано психологами, человек, столкнувшись с новой задачей, «пытается сначала использовать такие приемы деятельности, которыми он уже владеет. При этом он, разумеется, руководствуется задачей, перенося в процесс ее выполнения приемы, которые в его опыте применялись для решения аналогичных задач»^[17].

Отметим, что в этом случае различие между задачами и теоремами несущественно, поскольку один и тот же метод может использоваться как при решении задачи, так и при доказательстве теоремы. Любая же теорема может быть сформулирована как задача. Так, в учебнике^[18] многие теоремы сформулированы как задачи, и к ним даны решения. Например, теорема стереометрии представлена задачей: «Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна»^[19].

Возможность применения метода решения одной задачи для решения другой обусловлена как логико-математическими, так и логикометодическими связями курса геометрии. В работе В. В. Кочагина^[20] сформулировано следующее правило вывода по аналогии (правило 3):

• • сохранить последовательность этапов исходного доказательства;
• • соответствующие понятия в исходном доказательстве заменить на им аналогичные;
• • в новом доказательстве использовать либо аналогичные свойства, либо те же самые.

Однако данное правило вряд ли можно назвать универсальным, поскольку при построении стереометрического доказательства по аналогии с планиметрическим приходится учитывать трехмерность пространства и, следовательно, добавлять новые этапы в доказательство. Сам же автор отмечает, что такое предписание было предложено учащимся при изучении темы «Векторы в пространстве», поскольку «решение стереометрических задач векторным способом часто является аналогичным решению задач планиметрии»^[21].

Более общие положения получены Б. 3. Хынгом. Процесс обучения решению задач он описывает схемой, приведенной на рис. 1.14, и выделяет в нем три этапа^[22]:

• 1) выбор вспомогательной задачи;
• 2) анализ факта и способа решения этой задачи, рассмотрение возможности применения факта и способа для решения новой задачи;
• 3) изложение найденного решения.

Рис. 1.14

В обучении доказательству теорем Б. 3. Хынг также выделяет три этапа:

• 1) выбор вспомогательной теоремы, аналогичной изучаемой теореме, усвоение ее факта и способа доказательства;
• 2) рассмотрение возможности применения способа доказательства и использования факта вспомогательной теоремы для доказательства изучаемой теоремы;
• 3) изложение найденного доказательства изучаемой теоремы на основе результата второго этапа.

Таким образом, при поиске решения задачи, доказательства теоремы происходит перенос фактов и способов решения одних задач на другие. Перенос же следует рассматривать как активный процесс, который на основе сопоставления, сравнения, анализа изучаемого материала приводит к обобщению тех знаний и способов деятельности учащихся, которые переносятся. Перенос знаний, т. е. их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников представления о внутрипредметных связях геометрии и представление о математике как единой науке.

В данном пособии мы опираемся на результаты исследований Е. Н. Кабановой-Меллер^[23], которая рассматривает «использование усвоенных приемов (а также умений и навыков) в новых условиях — при решении новых задач, усвоении нового навыка и т. д.»^[24] и выделяет четыре основных способа переноса метода решения задач, которые характеризуются особенностями сопоставляемых задач и характером отношений между ними.

Например, имеем задачу А, метод решения которой мы хотим использовать при решении задачи В, тогда возможны следующие случаи:

• • переносится метод в том же виде, в каком он был использован в задаче А;
• • переносится метод в таком же виде, как и в задаче А, но при этом требуются дополнительные действия с задачей В;
• • задача В остается без изменения, а метод используют, выполняя с ним дополнительные действия;
• • выполняются дополнительные действия как над задачей В, так и над используемым методом.

Отметим, что указанные способы переноса метода решения задач имеют разную сложность, поэтому их можно принять за уровни развития учащихся, что и было положено нами в основу анализа с целью установления наличия или отсутствия позитивных изменений в умственной деятельности учащихся.

С учетом перечисленных методов переноса схема решения задачи, предложенная Б. 3. Хынгом, дополнится следующим образом (рис. 1.15).

Рис. 1.15.

В заключение этой главы приведем слова польского математика С. Банаха, который в разговоре с другим математиком — Г. Штейнгаузом — сказал: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств; более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»^[25].

• [1] Жохов А. Л. Указ, соч.; Кочагин В. В. Методические особенности применения аналогии в систематическом курсе стереометрии: автореф. дис. … канд. пед. наук. М., 1999;Сизова М. Н. Указ, соч.; Хынг Б. 3. Указ. соч.
• [2] Сизова М. Н. Указ. соч. С. 14.
• [3] Жохов А. Л. Указ. соч.
• [4] Зимняя И. А. Педагогическая психология: учеб, пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 1997. С. 256.
• [5] Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1977.
• [6] Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990.
• [7] Ясиновский Э. А. Задачи, составленные по аналогии с другими задачами // Математика в школе. 1974. № 1. С. 56.
• [8] Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. 1. Математические задачикак средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977; Его же. Задачив обучении математике. Ч. 2. Обучение математике через задачи и обучение решениюзадач. М.: Просвещение, 1977; Методика преподавания математики в средней школе.
• [9] Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М. :Педагогика, 1977.
• [10] Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: Педагогика, 1970. С. 29.
• [11] Методика преподавания математики в средней школе.
• [12] Рузин Н. К. Задача как цель и средство обучения математике // Математикав школе. 1980. № 4. С. 13—15.
• [13] Страчевский Э. А. Составление задач по математике как средство активизациимыслительной деятельности учащихся 7—10 классов: автореф. дис. … канд. пед. наук. Петрозаводск, 1972.
• [14] Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК. М.: Изд-во МГПИим. В. И. Ленина, 1985.
• [15] Кочагин В. В. Указ. соч.
• [16] Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие дляучителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. М.: Московскийпсихолого-социальный институт; Флинта, 1998. С. 111.
• [17] Общая психология / под ред. А. В. Петровского. 2-е изд. М.: Просвещение, 1976. С. 173.
• [18] Геометрия: учебник для 10—11 классов средней школы.
• [19] Там же. С. 8.
• [20] Кочагин В. В. Указ. соч.
• [21] Кочагин В. В. Указ. соч. С. 15.
• [22] Хынг Б. 3. Указ. соч.
• [23] Кабанова-Меллер Е. Н. Роль обобщений в переносе // Вопросы психологии. 1972.№ 2. С. 55—66; Ее же. Формирование приемов умственной деятельности и умственноеразвитие учащихся. М.: Просвещение, 1968.
• [24] Кабанова-Меллер Е. Н. Роль обобщений в переносе. С. 55.
• [25] ЭмпахерА. Сила аналогий: пер. с польского Ф. Г. Хацянова / под ред. А. В. Шилейко.М.: Мир, 1965. С. 15.