Задание 2. Проверка статистических гипотез

1. По результатам задания 1 по виду гистограммы и полигона частостей, а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделать предварительный выбор закона распределения.

СВ Х и У.

• 2. Найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать для него функцию плотности вероятности f (x) (f (y)) и функцию распределения F (x) (F (y)).
• 3. Найти теоретические частоты нормального распределения. Проверить согласие эмпирической функции распределения с теоретической, используя критерий согласия Пирсона для СВ Х и У. Построить эмпирические и теоретические кривые распределения.

Т, а б л и ц, а 7. Вычисление числовых характеристик СВ У.

Интервалы наблюденных значений СВ У.	Середины интервалов. yi.	Частоты. mi.
0,39−0,61.	0,50.			— 0,429.	— 6,006.	2,5760.	— 1,1051.	0,4732.
0,61−0,83.	0,72.		18,72.	— 0,209.	— 5,434.	1,1362.	— 0,2374.	0,0494.
0,83−1,05.	0,94.		27,26.	0,011.	0,319.	0,0029.	0,0000.	0,0000.
1,05−1,27.	1,16.		20,88.	0,231.	4,158.	0,9612.	0,2214.	0,0504.
1,27−1,49.	1,38.		12,42.	0,451.	4,059.	1,8306.	0,8253.	0,3726.
1,49−1,71.	1,60.		4,8.	0,671.	2,013.	1,3506.	0,9060.	0,6078.
1,71−1,93.	1,82.		1,82.	0,891.	0,891.	0,7939.	0,7074.	0,6303.
Сумма.		92,9.		8,6514.	1,3176.	2,1837.

4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения (доверительную вероятность принять 1-=0,95).

Решение типового варианта Методику выполнения этого задания покажем на результатах задания 1.

• 1. По виду гистограммы и полигона частостей (напоминают нормальную кривую), а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса (Аs (X)=0,749,, они близки к нулю), предполагая, что СВ Х — стоимость основных производственных фондов изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе влияния, можно выдвинуть гипотезу о том, что закон распределения СВ Х является нормальным.
• 2. Плотность вероятности нормального закона распределения имеет вид, или

Точечными оценками параметров, а и нормального закона распределения служат средняя выборочная и среднее выборочное квадратическое отклонение, вычисленные ранее, т. е., =0,251. Следовательно, плотность вероятности предполагаемого нормального закона распределения имеет вид.

или.

.

Функция распределения предполагаемого нормального закона.

.

Используя нормированную функцию Лапласа, функцию распределения нормального закона записывают в виде, в нашем случае эта функция есть, ее называют теоретической функцией распределения.

3. Проведем проверку гипотезы о нормальном законе распределения СВ Х, используя критерий согласия Пирсона. Для удобства вычислений интервалы наблюденных значений нормируют, т. е. выражают их в единицах среднего квадратического отклонения: , причем наименьшее значение ui полагают равным, а наибольшее —, эта замена производится для того, чтобы сумма теоретических частот была равной объему выборки. Далее вычисляют вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и, в частичные интервалы по формуле.

После того как будут найдены находим теоретические частоты для каждого частичного интервала по формуле, где — теоретическая частота i-го интервала. Между теоретическими и эмпирическими частотами могут быть расхождения. Замену эмпирических частот теоретическими называют выравниванием частот статистического ряда.

Составим табл. 8 для вычисления теоретических частот СВ Х.

Для примера вычислений найдем вероятность того, что СВ Х попадет в первый частичный интервал, эта вероятность равна.

. Аналогично находим.

и т.д. Для вычисления значений функции Ф использовано приложение 1. После этого вычисляют теоретические частоты, например, и т. д. Сумма теоретических частот должно быть равна объему выборки, т. е.. Далее находим значение выборочной статистики или это есть наблюдаемое значение критерия. Затем по таблицам квантилей распределения, по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы (где k — число частичных интервалов, r — число параметров предполагаемого закона распределения СВ X) находят критическое значение, удовлетворяющее условию. При использовании критерия необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если же число элементов менее 5, рекомендуется соседние интервалы объединять в один (как это сделано в табл.9). Уменьшенное число частичных интервалов учитывается при нахождении числа степеней свободы .

Составим табл. 9 для вычисления .

Т, а б л и ц, а 9. Вычисление выборочной статистики CВ Х.

Т, а б л и ц, а 8. Вычисление теоретических частот СВ Х.

Интервалы наблюденных значений. СВ Х.	Частоты. mi.	Начало интервала.	Конец интервала.		Теоретические частоты.
0,465−0,675.		0,465.	0,675.	;	— 1,67.	— 0,5.	— 0,4525.	0,0475.	4,75.
0,675−0,885.		0,675.	0,885.	— 1,67.	— 0,83.	— 0,4525.	— 0,2967.	0,1558.	15,58.
0,885−1,095.		0,885.	1,095.	— 0,83.	0,01.	— 0,2967.	— 0,0040.	0,3007.	30,07.
1,095−1,305.		1,095.	1,305.	0,01.	0,84.	0,0040.	0,2995.	0,2955.	29,55.
1,305−1,515.		1,305.	1,515.	0,84.	1,68.	0,2995.	0,4535.	0,1540.	15,40.
1,515−1,725.		1,515.	1,725.	1,68.	2,52.	0,4535.	0,4941.	0,0406.	4,06.
1,725−1,935.		1,725.	1,935.	2,52.		0,4941.	0,5.	0,0059.	0,59.
Сумма.

Число степеней свободы По таблице квантилей (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическое значение Так как-то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном законе распределения СВХ. Другими словами расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами являются незначительными, т. е. случайными и предположение о распределении СВ Х по нормальному закону вполне согласуется с эмпирическим распределением выборки.

На рис. 5 построены нормальная кривая по найденным теоретическим частотам и полигон эмпирических (наблюдаемых) частот.

4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, (при n30) находят по формуле.

где квантили нормального распределения находят по таблицам функции Лапласа (приложение 1) из условия — доверительная вероятность, в нашем случае или и Точность оценки математического ожидания (предельная погрешность) есть. Вычислим предельную погрешность Искомый доверительный интервал, накрывающий математическое ожидания СВ Х, равен.

Смысл полученного результата таков: если будет произведено достаточно большое число выборок по 100 значений СВ Х — стоимости основных производственных фондов, то в 95% из них доверительный интервал накроет математическое ожидание СВ Х и только в 5% случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Аналогичным образом выполним это задание для СВ У — стоимость валовой продукции (у. е /га).

• 1. По виду гистограммы и полигона частостей, а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса (выдвигаем гипотезу о том, что закон распределения СВ У является нормальным.
• 2. Плотность вероятности предполагаемого нормального закона распределения имеет вид

Функция распределения нормального закона для СВ У есть.

3. Вычислим теоретические частоты нормального распределения СВ У для проверки согласия эмпирической функции распределения с теоретической (табл.10).

Далее составим табл. 11 для нахождения выборочной статистики СВ У.

Число степеней свободы. По таблице (приложение 2) по уровню значимости находим критическое значение. Так, как, то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном законе распределения СВ У.

На рис. 6 построены эмпирическая и теоретическая кривые распределения.

4. Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания СВ У вычислим предельную погрешность, тогда доверительный интервал равен или .

Т, а б л и ц, а 11. Вычисление выборочной статистики СВ У.