Безразмерные параметры в уравнениях и краевых условиях и их физический смысл

В работе [13] нами был осуществлен переход к безразмерному виду в краевой задаче, соответствующей модели [1] с использованием, указанных выше, характерных размерных величин и были введены в рассмотрение следующие безразмерные параметры:

1) Длина

.

заметим, что безразмерная длина является параметром;

2) Число Пекле

являющееся отношением конвективного переноса к молекулярному переносу;

3) Число Рейнольдса.

являющееся отношением силы инерции к силе вязкого трения.

;

4) Безразмерные числа.

и .

Для того, чтобы выяснить физический смысл параметров и, необходимо ввести в рассмотрение характерное значение электрической силы. Для этого используем приближенное решение краевой задачи для системы одномерных уравнений НПП (Нернста — Планка и Пуассона) для раствора хлористого натрия [23].

В одномерном случае для плотности электрической силы имеем:

.

или, с учетом.

.

получаем:

(1).

Из асимптотического решения краевой задачи для одномерной системы уравнений НПП [23] имеем приближенное значение для напряженности в области пространственного заряд, за исключением квазиравновесной части двойного слоя:

(2).

где.

.

Исключение из рассмотрения квазиравновесной части двойного слоя обосновано, т.к. в качестве граничных условий для скорости используется условие прилипания.

Дифференцируя (2), получаем:

.

Откуда, с учетом (1), имеем:

.

Таким образом, плотность электрической силы зависит лишь от плотности тока .

Характерным значением плотности тока служить предельная плотность тока, следовательно, характерным значением плотности электрической силы служит выражение:

.

С учетом формулы для предельной плотности тока.

получаем следующую формулу для характерного значения плотности электрической силы в одномерном случае:

. (3).

При переходе к двумерному случаю формулу (3) нужно трактовать как давление электрической силы на площадку с длиной и шириной 1, поэтому если в формуле (3) взять, то мы получим, что давление электрической силы на площадку с единичной площадью имеет вид Кстати, величина, согласно закону Вант-Гоффа, является осмотическим давлением раствора с концентрацией С₀.:

(4).

Из (4) следует, что характерным значением пространственной электрической силы в двумерном случае, действующей на квадрат с характерной стороной является:

(5).

С использованием формулы (5) можно дать различные физические интерпретации параметров и .

• 4. Физический смысл величины
• 1. Классическая трактовка параметра

Этот параметр, впервые введен в работах [25, 26], где дана следующая его интерпретация. Преобразуем формулу для в виде:

.

Где.

— Дебаевская длина.

Таким образом — это отношение квадрата толщины области равновесного пространственного заряда (удвоенная дебаевская длина) к квадрату межмембранного расстояния; либо отношение дебаевской длины к половине межмембранного расстояния. Суть: это отношение (квадрата) толщин заряженной и незаряженной областей раствора.

2. Выражение параметра через характерную электрическую силу Умножим числитель и знаменатель выражения для на, тогда имеем.

.

Где.

— физическая постоянная величина, имеющая размерность силы. Таким образом:

Или.

(6).

где — безразмерная характерная электрическая сила.

Таким образом, безразмерный малый параметр характеризует величину обратную к характерной безразмерной электрической силе.

Поэтому она может быть названа обратным числом электрической силы.

• 5. Физический смысл величины
• 1. Выражение как отношение характерных давлений

В гидродинамике давление играет определяющую роль, поскольку оно является причиной любого движения раствора. Для движения раствора со средней скоростью величина является характерным давлением. Эта величина называется также скоростным напором или динамическим давлением. В аэрои гидродинамике она обычно служит в качестве характерного масштаба гидродинамического давления и используется при определении аэродинамических коэффициентов.

Характерным давлением электрической силы, как было показано выше, является величина.

.

Таким образом:

.

Следовательно, можно считать, что — это отношение характерного давления, вызванного действием электрической силы, к характерному гидродинамическому давлению.

2. Выражение через характерные силы Преобразуем формулу для следующим образом:

(7).

Где.

— характерная электрическая сила,.

— сила инерции.

Таким образом, это отношение электрической силы к силе инерции.

3. Выражение как отношение механической и электрической энергий Постоянная может быть выражена и через отношения механической (кинетической) и потенциальной электрической энергиями.

Действительно, величина есть кинетическая энергия единицы объема жидкости. Перепишем параметр в виде:

.

где есть потенциальная энергия электрического поля (она равна работе, которую может совершить электрическая сила, перемещая единичный заряд на расстояние .

Замечание 2. Поскольку трактовка 6.2 аналогична трактовке числа Рейнольдса, то из соображения однообразия, именно такая трактовка будет в дальнейшем использоваться и число будем называть критериальным числом относительной электрической силы.

5. Общее критериальное число электроконвекции.

Определяется как коэффициент при безразмерной электрической силе, ответственной за электроконвекцию, т. е. в виде:

(8).

откуда следует его выражения через размерные параметры:

(9).

Из определения числа электроконвекции следует существование такого его критического значения, что при, электроконвекция возникает везде в канале.

Оценка безразмерных параметров показывает, что для характерных значений размерных величин для электродиализа, числа Пекле и Рейнольдса имеют порядок,. Число можно считать малым параметром, поскольку он меняется от до. Число имеет порядок. Число имеет порядок .

6. Введем в рассмотрение также безразмерные параметры, входящие в краевые условия [13]:

, ,, ,.

имеющие смысл, соответственно, общего значения, начального значения и темпа прироста потенциала, а также граничных значений концентраций на анионообменной и катионообменной мембранах. Кроме того, важным параметром является отношение длины к ширине, равное безразмерной длине. В рамках модели мы считаем одинаковыми начальную концентрацию в канале и концентрацию на входе в канал, хотя могут быть эксперименты, когда они разные. В ряде численных экспериментов ниже для простоты расчетов, принято .

электроконвекция мембранный обессоливание подобие.