Динамика частиц. 
Супергравитация в 112D

Заметим, что движение частиц в метрике (4) разделяется на радиальное движение и движение на сфере, которое в общем случае можно исследовать независимо от радиального движения. Будем предполагать, что существуют такие частицы, которые движутся в римановом пространстве в метрике (4) с числом углов. Возникает вопрос, как эти частицы могут быть идентифицированы в нашем пространстве? Для ответа на этот вопрос следует установить, какие углы из 110 принадлежать нашему миру и как много углов одновременно могут повлиять на два выбранных угла.

Как известно, движение массивных частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением.

(10).

— символы Кристоффеля второго рода.

Пронумеруем координаты метрики (4) следующим образом.

.

Рассмотрим, например, случай, что соответствует 10-мерному пространству теории супергравитации [11], тогда имеем выражения ненулевых коэффициентов аффинной связности Используя указанные выражения можно получить вид системы уравнений (10) в частном случае. В общем же случае система уравнений (10) для углов в метрике (4) имеет вид.

(11).

Начальные данные для системы уравнений (11) задаем в форме.

(12).

Здесь — псевдослучайное число из интервала .

И так, мы видим, что в силу уравнений (11) все углы связаны между собой. Поэтому движение вдоль каждого угла может влиять на динамику всей системы. Это влияние является особенно сильным в окрестности полюсов системы, где, при этом .

Однако система уравнений (11) зависит от начальных данных, поэтому если в начальный момент времени положить, например,, то во все последующие моменты времени имеем. Но тогда, согласно (11), угол выпадает из системы, а порядок системы понижается.

Используя это свойство системы уравнений (11) можно исследовать динамику некоторой подсистемы меньшего размера. В настоящей работе исследованы подсистемы с числом угловых координат, которые описывают взаимное влияние 2, 3, 13 и 24 миров соответственно.

Отметим, что из последнего уравнения (11) угол можно выразить через другие углы согласно.

(13).

Здесь и ниже полагаем, а координату времени в метрике (4) обозначим. Из выражения (13) следует, что угол монотонно возрастает или убывает в зависимость от знака производной. Все другие углы изменяются в ограниченном интервале, что согласуется с их определением как угловых координат на гиперсфере.

Система уравнений (11) с начальными данными (12) решалась численно. Результаты моделирования приведены на рис 1−6. Отметим, что при случайном выборе начальных данных результаты при заданном числе углов отличаются в каждой задаче. Поэтому приведенные данные носят иллюстративный характер.

В случае 5 угловых переменных данные моделирования приведены на рис. 1. Отметим, что в общем случае можно отобразить углы, пары и тройки углов, сочетания которых приведены в верхней части рисунков. Смысл такого отображения раскрывается при сравнении движения на гиперсфере с одномерным, плоским и трехмерным движением частиц в классической механике.

Рис. 1. Зависимости углов от параметра, траектории плоского и трехмерного движения на гиперсфере для N=5: сочетания углов указаны в верхней части рисунков.

Для N=5 движение на гиперсфере является достаточно гладким, а плоские кривые являются замкнутыми. На рис. 2. представлены данные моделирования движения для случая 8 углов. В этом случае движение также является гладким, а траектории трехмерного движения похожи на траектории заряженных частиц в магнитном поле.

Рис. 2. Зависимости углов от параметра, траектории плоского и трехмерного движения на гиперсфере для N=8.

В случае 38 углов наблюдаются нелинейные колебания, не имеющие классического аналога — рис. 3. Эти колебания порождают двумерные и трехмерные движения сложной формы — рис. 4−5.

Рис. 3. Зависимость углов от параметра для N=38

Рис. 4. Траектории плоского движения для N=38

Рис. 5. Траектории трехмерного движения для N=38

Полученные результаты демонстрируют необычное движение с точки зрения механики, однако не следует забывать, что траектории плоского и трехмерного движения отображают только часть возможных форм движения в многомерной системе.

При увеличении размерности пространства каких-либо новых форм движения, по сравнению с теми, что представлены на рис. 3−5 для системы с N=38, не возникает. Тем не менее, есть новый эффект, который обнаруживается, например, при N=71 — рис. 6. Как видно из данных, приведенных на рис. 6, гладкие траектории плоского движения возникают для больших номеров углов, тогда как для малых номеров наблюдаются угловатые формы.

При идентификации движения в нашем мире могут быть использованы любые два угла, а также угол. Гладкие траектории могут ассоциироваться с классическими формами движения, тогда как траектории с резкими изломами могут быть отнесены к квантовому движению. Действительно, в плоских формах движения есть траектории, которые распадаются на несколько траекторий, как это следует из анализа данных на рис. 4 и 6.

Такого типа распады можно рассматривать и как следствие распада частиц, хотя реально никакого распада в многомерном пространстве не происходит. Иллюзия распада связана с трактовкой треков элементарных частиц на основе механистических представлений о движении частиц в четырехмерном пространстве-времени. Если же предположить, что пространство имеет 112 измерений, то плоские движения будут иметь вид как на рис. 4 и 6, т. е. некоторые траектории будут содержать фрагменты, похожие на распады частиц.

Рис. 6. Траектории плоского движения для N=71

Заметим, что трехмерные траектории, типа приведенных на рис. 5, позволяют описать движение с «распадом» частиц как непрерывное, однако такое описание в современной физике не используется. Действительно, такое описание движения соответствует 5-мерному пространству-времени Калуцы [3−6], в котором гравитация и электромагнетизм выступают как части одной силы гравитации. Однако отсутствие каких-либо данных о пятой координате ограничивает применение такого рода теорий.

Модель движения на гиперсфере (11) можно сравнить с динамикой цвета в теории Янга-Миллса. В динамике цвета случай трех полей является выделенным в том смысле, что на соответствующих решениях можно построить трехмерную решетку, имитирующую кристаллическую структуру пространства [30−31]. В теории супергравитации в 112D можно также рассматривать динамику в трех углах, как имитирующую трехмерное движение частиц в полях различной природы — рис. 1−2, 5.

При таком подходе физические законы в каждом мире сводятся к описанию единого движения в 112D в проекции на удобные, с точки зрения наблюдателя координаты в каждом из миров. Отсюда получает объяснение антропный принцип, согласно которому наблюдатель соответствует своей Вселенной [32].

Наконец, заметим, что представленная здесь модель многомерного движения на гиперсфере может найти применение в интерпретации данных, полученных в космологии и в физике элементарных частиц [32−34]. Использованное нами допущение об отображении 37 трехмерных миров в едином римановом пространстве-времени не является существенным и может рассматриваться как вспомогательная конструкция, использованная при построении теории супергравитации в 112D.