Дифференциальные уравнения движения навесного погрузочного манипулятора

Представлена расчётная схема навесного погрузочного манипулятора, а также последовательность вывода уравнений движения навесного погрузочного манипулятора вокруг ребра опрокидывания с использованием уравнений Лагранжа. В результате получена математическая модель навесного погрузочно-го манипулятора с тремя степенями свободы, представляющая собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ключевые слова: математическая модель навесного погрузочного манипулятора, навесной погрузочный манипулятор, расчетная схема, уравнений движения Рассмотрим расчётную схему навесного погрузочного манипулятора (рис. 1). Существенной особенностью данной схемы является то, что механизм манипулятора агрегатируется с базовой машиной посредством трёхточечной навесной системы, обладающей определённой жёсткостью С₃ в плоскости хoy /1/.

а) б) Рисунок 1 Схема навесного погрузочного манипулятора: а) условная; б) расчетная Известно, что положение точек системы с голономными связями определяется числом независимых величин, равных числу степеней свободы системы. Реальные гидродинамические системы обладают значительным числом степеней свободы вследствие деформируемости их элементов. Однако можно с достаточной степенью точности вводить в расчётную схему ограниченное число деформируемых элементов.

К наиболее деформируемым элементам относятся опорные элементы НПМ, а также элементы грузонесущего оборудования, например: стрела, рукоять, система трубопроводов, рабочая жидкость гидросистемы.

Кроме того, на характер протекания динамических процессов оказывают влияние диссипативные силы, которые необходимо учитывать при составлении математической модели.

Для вывода уравнений движения навесного погрузочного манипулятора вокруг ребра опрокидывания были использованы уравнения Лагранжа. Наиболее общая запись этих уравнений имеет вид:

(1).

где обобщённые координаты механической системы;

— обобщённые скорости;

Ткинетическая энергия системы;

П-потенциальная энергия системы;

Р_i— обобщённые движущие силы системы, соответствующие обобщённым координатам.

Поместим центр О неподвижной системы координат хоу в центр шарнира О₁, который является одной из точек ребра опрокидывания. Ориентируем её таким образом, чтобы ось Ох была параллельна опорной поверхности.

Наиболее важным вопросом при изучении движения НПМ является выбор обобщённых координат, которые в значительной степени влияют на сложность уравнений, описывающих механическую систему. За основные координаты определяющие положение несущей рамы манипулятора и остова базовой машины целесообразно выбрать углы их поворота, вокруг соответствующих шарниров ц₁ и ц₂, а положение грузозахватного органа с грузом определится линейной координатой у.

Без существенного снижения точности математической модели, можно положить, что масса груза и приведенная к ней масса грузонесущего оборудования сосредоточены в точке m, также как и распределённая масса несущей рамы манипулятора в точке m₁ и базовой машины в точке m_2.

Таким образом можно сформировать основные допущения, принятые при составлении расчётной схемы и математической модели исследуемого НПМ: Колебания в горизонтальной плоскости незначительны.

Упругие звенья системы, вокруг которых происходит движение, заменяются жёсткими шарнирами.

Распределённые массы сосредоточены в точках m, m₁, m₂.

Жёсткости упругих звеньев линейны.

Внешнее воздействие учитывается выражением:

Общий вид системы дифференциальных уравнений движения механической системы может быть представлен в следующем виде:

(2).

Введём условные обозначения в расчётной схеме:

момент инерции несущей рамы манипулятора, относительно ребра опрокидывания, кг с² м.;

момент инерции остова трактора относительно ребра опрокидывания, кг с² м ;

m — приведённая масса груза, кг;

m₁— масса несущей рамы, кг;

m₂— масса трактора, кг;

— расстояние между опорами несущей рамы, м; колея задних колёс трактора, м;

Lвылет стрелы, м;

Сприведённая жёсткость грузового подвеса, Н/м;

С₁-жёсткость опорных элементов несущей рамы манипулятора, Н/м;

С₂, С₅-жёсткость опорных элементов трактора, Н/м;

С₃-жёсткость трехточечной навесной системы трактора, Н/м;

к, к₁, к₂, к₅-коэффициенты вязкого трения опорных элементов и гидроцилиндра манипулятора, кг с/м. Вычислим потенциальную энергию исследуемой системы:

(3).

где П₁ — потенциальная энергия массы перемещаемого груза;

П₂ — потенциальная энергия массы несущей рамы манипулятора;

П₃ — потенциальная энергия массы трактора;

П₄ — потенциальная энергия деформации опорных элементов и навесной системы.

Нулевое положение системы будем считать при статическом нагружении. Тогда выражение отдельных составляющих запишутся так:

;

где деформация звеньев от статической нагрузки.

Потенциальная энергия всей системы:

В положении равновесия при у=0, ц₁=0 и ц₂=0 должны выполняться следующие равенства:

Тогда,.

;

Учитывая полученные условия, выражение для потенциальной энергии примет вид:

;

Кинетическая энергия системы может быть представлена в следующем виде:

где Т₁ — кинетическая энергия массы груза;

Т₂ — кинетическая энергия несущей рамы манипулятора;

Т₃ — кинетическая энергия трактора.

Перемещаемый груз представлен в виде единичной массы, кинетическая энергия которой имеет вид:

Кинетическая энергия несущей рамы и трактора выражается соответственно:

погрузочный навесной манипулятор опрокидывание Сложив полученные выражения, получим зависимость, определяющую кинетическую энергию системы:

(4).

Пользуясь полученными значениями П и Т, вычислим соответствующие производные:

Определим обобщённую силу Р_у, соответствующую возмущающей силе Р:

где дуприращение обобщённой координаты;

Рдуработа силы Р на элементарном перемещении, соответствующем приращению у обобщённой координаты.

Аналогично определим обобщённый момент Мц₁, соответствующий возмущающей силе Р:

Мц₁=РLдц₁/дц₁=РL;

где дц₁-приращение обобщённой координаты;

РLдц₁-работа момента от силы Р на элементарном перемещении, соответствующем приращению дц₁ обобщённой координаты.

Определим функцию рассеивания энергии системы, принимая во внимание, что для малых углов справедливо равенство:

Тогда.

(5).

Соответственно:

Кроме того, на систему действуют моменты от сил трения, приведённые к шарнирам О₁ и О₂. Направление действия моментов от сил трения навстречу движению системы, следовательно, будет справедлива следующая запись:

М_т1=-М₁sign ₁;

М_тц2=-М₂sign ₂;

Используя полученные выражения, запишем дифференциальные уравнения движения исследуемой системы в окончательном виде:

Таким образом, математическая модель навесного погрузочного манипулятора с тремя степенями свободы представлена системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Значения этих коэффициентов определены на основании исходных данных расчётным путём, а также в процессе экспериментальных исследований.

Библиографический список

1. Удовкин А. И. Устойчивость погрузочного гидроманипулятора на основе пространственного исполнительного механизма, агрегатируемого с трактором посредством трехточечной навесной системы: диссертация … кандидата технических наук: 05.20.01 / Волгогр. с.-х. ин-т. Волгоград, 1988. 157 с.: ил.