Устойчивость к изменению распределений данных

До сих пор в книгах и статьях часто рассматривают различные параметрические семейства распределений числовых случайных величин. А именно — изучают семейства нормальных распределений, логарифмически нормальных, экспоненциальных, гамма-распределений, распределений Вейбулла — Гнеденко и др. Все они зависят от одного, двух или трех параметров. Поэтому для полного описания распределения достаточно знать или оценить одно, два или три числа. Широко развита и представлена в литературе параметрическая теория математической статистики, в которой предполагается, что распределения результатов наблюдений принадлежат тем или иным параметрическим семействам.

К сожалению, параметрические семейства существуют лишь в моделях, созданных исследователями. Анализ конкретных данных показывает, что погрешности наблюдений (измерений, испытаний, анализов, опытов) в большинстве случаев имеют распределения, отличные от нормальных и от распределений из других параметрических семейств. Так, в научной школе метролога проф. П. В. Новицкого проведены исследования законов распределения различного рода погрешностей измерения. Изучены распределения погрешностей электромеханических приборов на кернах, электронных приборов для измерения температур и усилий, цифровых приборов с ручным уравновешиванием. Объем выборок экспериментальных данных для каждого экземпляра составлял 100−400 отсчетов. Оказалось, что 46 из 47 распределений значимо отличались от нормального. Исследована форма распределения погрешностей у 25 экземпляров цифровых вольтметров Щ-1411 в 10 точках диапазона. Результаты аналогичны. Дальнейшие сведения содержатся в [18]. В лаборатории прикладной математики Тартуского государственного университета проанализировано 2500 выборок из архива реальных статистических данных. В 92% случаев гипотезу нормальности пришлось отвергнуть [19].

Анализ, проведенный в [7, 19], показал, что распределения реальных данных почти всегда отличаются от тех, которые включены в параметрические семейства. Отличия могут быть большими или меньшими, но они всегда есть. Каково влияние этих отличий на свойства процедур анализа данных? Иногда оно исчезает при росте объемов данных, как для доверительного оценивания математического ожидания, иногда является заметным (как при оценивании высших моментов), иногда делает процедуру полностью необоснованной (как для отбраковки выбросов) [7]. Следовательно, надо либо использовать непараметрические процедуры (в которых на функции распределения наложены лишь внутриматематические условия регулярности, например, условие непрерывности), в частности, при решении задач прогнозирования [20], либо изучать устойчивость основанных на параметрических моделях процедур по отношению к отклонениям распределений результатов наблюдений от предпосылок модели. Как говорят, изучать робастность статистических процедур (от robust (англ.) — крепкий, грубый) с использованием моделей и методов, приведенных в [6, 21 — 25] и др. Статистику интервальных данных ([7, гл.12], [8], [14, гл.4]) также можно отнести к робастной статистике.