Устойчивость по отношению к временным характеристикам (моменту начала реализации проекта, горизонту планирования)

Перейдем к применению математических методов исследования для модернизации управления предприятиями и организациями. Для решения задач управления используют экономико-математические методы и модели. В качестве первого примера рассмотрим математические задачи, решенные для обоснования стратегического планирования.

При разработке стратегии развития промышленного предприятия одна из основных проблем — целеполагание. Поскольку естественных целей обычно несколько, то при построении формализованных экономико-математических моделей приходим к задачам многокритериальной оптимизации. Поскольку одновременно по нескольким критериям оптимизировать невозможно (например, невозможно добиться максимальной прибыли при минимуме затрат), то для адекватного применения экономико-математических методов и моделей необходимо тем или иным образом перейти к однокритериальной постановке (либо, выделив множество оптимальных по Парето альтернатив, применить экспертные технологии выбора). При выборе вида единого критерия целесообразно использовать следующую полученную нами характеризацию моделей с дисконтированием.

Пусть динамику развития рассматриваемой экономической системы можно описать последовательностью, где переменные x_j, j = 1, 2, …, m, лежат в некотором пространстве Х, возможно, достаточно сложной природы. Положение экономической системы в следующий момент не может быть произвольным, оно связано с положением в предыдущий момент. Проще всего принять, что существует некоторое множество К такое, что. Результат экономической деятельности за j-й период описывается величиной. Зависимость не только от начального и конечного положения, но и от номера периода объясняется тем, что через номер периода осуществляется связь с общей (внешней) экономической ситуацией. Желая максимизировать суммарные результаты экономической деятельности, приходим к постановке стандартной задачи динамического программирования:

. (1).

При обычных математических предположениях максимум достигается.

Часто применяются модели, приводящие к частному случаю задачи (1):

.(2).

Это — модели с дисконтированием (- дисконт-фактор). Естественно выяснить, какими «внутренними» свойствами выделяются задачи типа (2) из всех задач типа (1).

Представляет интерес изучение и сравнение между собой планов возможного экономического поведения на k шагов и. Естественно сравнение проводить с помощью описывающих результаты экономической деятельности функций, участвующих в задачах (1) и (2): план Х₁ лучше плана Х₂ при реализации с момента i, если.

(3).

Будем писать Х₁R(i)Х₂, если выполнено неравенство (3), где R(i) — бинарное отношение на множестве планов, задающее упорядочение планов отношением «лучше при реализации с момента i».

Ясно, что упорядоченность планов на k шагов, определяемая с помощью бинарного отношения R(i), может зависеть от i, т. е. «хорошесть» плана зависит от того, с какого момента i он начинает осуществляться. С точки зрения реальной экономики это вполне понятно. Например, планы действий, вполне рациональные для периода стабильного развития, нецелесообразно применять в период гиперинфляции. И наоборот, приемлемые в период гиперинфляции операции, не принесут эффекта в стабильной обстановке.

Однако, как легко видеть, в моделях с дисконтированием (2) все упорядочения R(i) совпадают, i = 1,2, …, m-k. Оказывается, верно и обратное: если упорядочения совпадают, то мы имеем дело с задачей (2) — с задачей с дисконтированием, причем достаточно совпадения только при k = 1,2. Сформулируем более подробно предположения об устойчивости упорядочения планов.

• (I). Пусть. Верно одно из двух: либо для всех, либо для всех .
• (II). Пусть. Верно одно из двух: либо для всех, либо для всех .

Нами установлено [6], что из условий устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) следует существование констант и, таких, что. Поскольку прибавление константы не меняет точки, в которой функция достигает максимума, то последнее соотношение означает, что условия устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) характеризуют (другими словами, однозначно выделяют) модели с дисконтированием среди всех моделей динамического программирования. Другими словами, устойчивость хозяйственных решений во времени эквивалентна использованию моделей с дисконтированием; применяя модели с дисконтированием, предполагаем, что экономическая среда стабильна; если прогнозируем существенное изменение взаимоотношений хозяйствующих субъектов, то вынуждены отказаться от использования моделей типа (2).

Перейдем к проблеме горизонта планирования. Только задав интервал времени, можно на основе экономико-математических методов и моделей принять оптимальные решения и рассчитать ожидаемую прибыль. Проблема «горизонта планирования» состоит в том, что оптимальное поведение зависит от того, на какое время вперед планируют, а выбор этого горизонта зачастую не имеет рационального обоснования. Однако от него зависят принимаемые решения и соответствующие этим решениям экономические результаты. Например, при коротком периоде планирования целесообразны лишь инвестиции (капиталовложения) в оборотные фонды предприятия, и лишь при достаточно длительном периоде — в основные фонды. Однозначный выбор горизонта планирования обычно не может быть обоснован, это — нечисловая экономическая величина. Предлагаем справиться с противоречием путем использования асимптотически оптимальных планов.

Рассмотрим модель (2) с, т. е. модель без дисконтирования При каждом m существует оптимальный план, при котором достигает максимума оптимизируемая функция. Поскольку выбор горизонта планирования, как правило, нельзя рационально обосновать, хотелось бы построить план действий, близкий к оптимальному плану при различных горизонтах планирования. Это значит, что целью является построение бесконечной последовательности такой, что ее начальный отрезок длины m, т. е., дает примерно такое же значение оптимизируемого функционала, как и значение для оптимального плана. Бесконечную последовательность с указанным свойством назовем асимптотически оптимальным планом.

Выясним, можно ли использовать для построения асимптотически оптимального плана непосредственно оптимальный план. Зафиксируем k и рассмотрим последовательность, m = 1, 2, …. Примеры показывают, что, во-первых, элементы в этой последовательности будут меняться; во-вторых, они могут не иметь пределов. Следовательно, оптимальные планы могут вести себя крайне нерегулярно, а потому в таких случаях их нельзя использовать для построения асимптотически оптимальных планов.

Нами установлено [6, 11] существование асимптотически оптимальных планов: можно указать такие бесконечные последовательности, что С помощью такого подхода решается проблема горизонта планирования — надо использовать асимптотически оптимальные планы, не зависящие от горизонта планирования. Оптимальная траектория движения состоит из трех участков — начального, конечного и основного, а основной участок — это движение по магистрали (аналогия с типовым движением автотранспорта).