Умножение. 
Полукольцо натуральных чисел Умножение натуральных чисел

Определим аксиоматически умножение натуральных чисел. Структура этого определения такая же, как и для сложения. Первая аксиома умножения покажет, как произвольное натуральное число умножить на единицу, а вторая аксиома объяснит, как найти произведение т п , если известно произведение т п.

2.3.1. Определение. Умножением натуральных чисел называется бинарная операция •, определенная на множестве N, которая удовлетворяет следующим условиям (или аксиомам):

О т-1 = т для любого т € N;

D) т • п = т? п + т для любых m_yn е N.

В школе произведение т п трактуется как сумма п слагаемых, каждое из которых равно т *

Рассматривая наше определение умножения с этой точки зрения, можно сказать, что оно одновременно разъясняет, что следует понимать под суммой п слагаемых. По первой аксиоме произведение т • 1 (сумма одного слагаемого) — это т. По второй аксиоме произведение т• п равно произведению /и*я, сложенному с т (то есть сумма п слагаемых равна сумме п слагаемых, сложенной cm).

2.3.2. Теорема. Умножение натуральных чисел существует и единственно.

Доказательство. Сначала установим, что умножений натуральных чисел существует не более чем одно. Предположим, что существует умножение о, удовлетворяющее аналогичным условиям:

C,) то 1 = т для любого те N;

D,) то п' = топ+т для любых /77, /7 е N.

Индукцией по п легко доказать, что т-п — топ для любого /? при фиксированном т. Следовательно, умножения • и о совпадают.

Теперь докажем существование умножения. Индукцией по т докажем, что для любых натуральных чисел т и п существует ипритом только одно натуральное число, обозначаемое тп, такое, что выполняются условия С) и D). Для w = l и произвольного натурального числа п определим 1/7 = п. Тогда 11 = 1, то есть условие С) выполняется. Далее, пользуясь данным определением и аксиомой сложения А), получаем:

то есть условие D) также выполняется.

Пусть для натурального числа т и произвольного натурального числа /7 существует т п с условиями С) и D). Определим т • п = m• /7 + /7 для любого /7 eN. Проверим выполнимость условий С) и D). Имеем:

то есть условие С) для т' выполняется. Далее,.

го есть условие D) для т также выполняется. ?

Пример. Пусть дан натуральный ряд (N, ') с единицей 1. Обозначим Г = 2, 2' = 3, 3' = 4, 4'= 5, 5'= 6. Пользуясь введенными обозначениями и определениями умножения (2.3.1).

и сложения (2.2.1) натуральных чисел, находим:

Найдите аналогично произведение 2−3.

Иногда говорят: «это просто как дважды два — четыре». Теперь читатель знает, как доказать этот «символ простоты»: дорога к доказательству ведет от аксиом Пеано.

Для большей формализации доказательства теоремы 2.3.2 заметим, что умножение натуральных чисел представляет собой отображение множества NxN в N, которое при фиксированном первом сомножителе т определяет отображение g_m: N —" N. При этом аксиомы С) и D) превращаются в условия:

О g_mW = fn;

d_m) g," (n) = (/?) + m для любого «eiV.

Таким образом, доказательство существования и единственности умножения натуральных чисел сводится к доказательству существования и единственности отображения g_m для любого meN, удовлетворяющего условиям с_т) и d_m). Вначале доказывается, что любые два таких отображения совпадают, а затем индукцией по т устанавливается существование отображения g_m. Далее, отображение множества NxN в N> сопоставляющее всякой упорядоченной паре натуральных чисел (т, п) натуральное число g_m(n), обозначаемое через т п, удовлетворяет, как легко проверить, условиям С) и D), то есть является умножением натуральных чисел.