Оптимизация систем управления, обладающих астатизмом из-за сервомотора путем использования цифрового регулятора с двойным дифференцированием

Многие системы управления используют сервомотор для перемещения регулирующего органа. При синтезе систем управления, оптимальных по определенным критериям, возникает вопрос, куда отнести сервомотор, к объекту или к регулятору? Если сервомотор отнести к объекту, то должна быть статическая ошибка при наличии возмущений, чего на практике не наблюдается. Кроме того, использование ПИ и ПИДзаконов регулирования приводит к тому, что система будет обладать астатизмом второго порядка, что отрицательно сказывается как на устойчивости, так и на динамике замкнутой системы.

Данная работа позволяет найти правильное решение задачи и обеспечить улучшение качества управления по сравнению со стандартными методами оптимизации по расширенным амплитудно-фазовым характеристикам (РАФХ). Кроме того, в работе показаны преимущества непрерывных систем управления по сравнению с цифровыми, а также цифровых систем перед непрерывными.

Рассмотрим методику решения задачи на конкретном примере.

Пусть объект и сервомотор описываются следующими передаточными функциями:

цифровой регулятор управление дифференцирование.

.

Отнесем сервомотор к объекту и проведем оптимизацию параметров промышленных регуляторов по расширенным амплитудно-фазовым характеристикам (РАФХ) [1].

Примем Ts =20 (ед. времени). Тогда передаточная функция объекта будет:

.

Обратная передаточная функция объекта:

.

Обратная РАФХ объекта:

.

.

.

Примем оптимальный коэффициент усиления П — регулятора .

.

.

.

Для ПИрегулятора:

Рисунок 1 График линии требуемой относительной степени затухания для ПИ регулятора Оптимальные параметры ПИрегулятора:

, ,.

,.

.

.

.

Для ПИДрегулятора:

.

Рисунок 2 График линии требуемой относительной степени затухания для ПИД регулятора Оптимальные параметры ПИД-регулятора:

, ,, .

.

.

.

Рисунок 3 Графики переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами регуляторов: П — Hzp (t), ПИ — Hzpi (t), ПИД — Hzpid (t).

Как следует из графиков, наилучшими свойствами обладает система с П — регулятором, что объясняется отрицательным влиянием астатизма второго порядка за счет интегральной составляющей ПИ и ПИД — регуляторов.

Попробуем сервомотор отнести к регулятору, тогда нет смысла производить расчет оптимального Кр для Прегулятора.

Аналогично предыдущему:

, ,,. ,.

Рисунок 4 График линии требуемой относительной степени затухания для ПИ регулятора Оптимальные параметры ПИ-регулятора:

, ,.

.

.

Оптимальные параметры ПИД — регулятора:

.

Рисунок 5 График линии требуемой относительной степени затухания для ПИД регулятора Оптимальные параметры ПИД-регулятора:

, ,, .

.

.

Рисунок 6 Графики переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами регуляторов, когда сервомотор отнесен к регулятору: ПИ — Hzpi (t), ПИД — Hzpid (t) и объекту: П — Hzp (t).

Выводы очевидны. Сервомотор следует отнести к регулятору, динамика существенно улучшается, длительность переходного процесса сократилась более, чем в 2 раза.

Для реализации оптимальных параметров регулятора следует произвести пересчет параметров ПИ — регулятора в параметры ПД — регулятора, а сервомотор отнести к объекту.

Параметры регулятора «ПД» .

, , .

.

, .

.

Параметры регулятора «ПДД» .

, ,.

.

.

.

, .,, .

.

.

.

Передаточные функции непрерывных замкнутых систем с ПИД и ПДД — регуляторами одинаковы, следовательно и их динамика будет одинаковой.

Период квантования найдем для самого быстрого переходного процесса с ПИД — регулятором.

Рисунок 7 График амплитудно-частотной характеристики замкнутой САУ с оптимальными параметрами ПИД — регулятора Частота среза замкнутой системы:

, .

Рекомендуемый [3] период квантования: Расчетный период квантования Topid =0,418, показатель колебательности M=1.

Примем Т=0,5, поскольку Тopid = 0, 418 — имеет двукратный запас по сравнению с рекомендациями В. А. Котельникова.

Реализовать вторую производную легко для цифровых систем, которые в настоящее время являются основными.

Проведем сравнительный анализ цифровых аналогов рассматриваемых систем.

Найдем дискретные передаточные функции приведенной непрерывной части для случая принадлежности сервомотора к регулятору и объекту [2].

.

.

.

.

.

.

, , .

.

Рисунок 8 Графики переходных функций замкнутых САУ с оптимальным коэффициентом усиления Прегулятора, Hp (n) — цифровой и Hzp (t) — непрерывной систем, сервомотор отнесен к объекту Как следует из вида переходных функций, динамический заброс у цифровой системы немного больше, чем у непрерывной. Это связано с дискретностью измерений в цифровой системе.

Для цифровых систем с ПИ и ПД — регуляторами:

, , .

.

.

, .

, .

Пересчет параметров ПИ регулятора в параметры цифрового ПД — регулятора проведем с использованием физически реализуемых левых разностей.

.

.

.

.

.

.

Не приводя сложных выражений переходных функций, приведем их графики, изображенные на рисунке 9.

Рисунок 9 Графики переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами настройки ПИ и ПДрегуляторов, сервомотор отнесен к регуляторам Для цифровых систем с ПИД и ПДДрегуляторами:

Kp =1,7, Ti = 3,4, Td = 1,7, .

.

=.

., , .

.

Проведенный анализ устойчивости замкнутой цифровой системы с ПДД — законом управления по критерию Джури показал, что замкнутая цифровая система с ПДД — законом управления устойчива.

.

.

.

.

.

.

+.

Не приводя громоздких выражений переходных функций, приведем их графики на рисунке 10.

Рисунок 10 График переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами настройки ПИД и ПДДрегуляторов, сервомотор отнесен к регуляторам В рассматриваемом случае вторая производная ПДД — регулятора находится через конечные разности, принято большое отношение.

Td/Ti = 0,5. Как следует из графиков переходных функций, большое увеличение сигнала по производной в системах, когда сервомотор относится к регулятору приводит к увеличению динамического заброса и повышению колебательности. Поэтому следует уменьшать отношение Тd/Ti .

На рисунке 11 представлены переходные функции замкнутых цифровых систем, когда сервомотор отнесен к регуляторам, а Td/Ti =0,15.

Рисунок 11 Графики переходных функций замкнутых цифровых систем, когда сервомотор отнесен к регуляторам, а Td/Ti =0,15.

Как видно из графиков, использование цифрового ПДД — закона управления, не требующего рекуррентного способа расчета управляющего воздействия, обеспечивает управление не хуже цифрового ПИД — закона, реализуемого с учетом сервомотора, легко реализует вычисление второй производной сигнала ошибки управления.

Нерекуррентный алгоритм вычисления интегральной составляющей обеспечивает отсутствие накопления интегральной составляющей в управляющем воздействии, когда система работает на ограничении по управляющему воздействию (регулирующий орган полностью открыт).

Выводы

• 1 Интегрирующий сервомотор существенно ухудшает динамику замкнутых систем, поскольку астатические регуляторы даже с производной в законе регулирования, предназначенной для улучшения качества управления, не могут обеспечить его по сравнению с Пзаконом.
• 2 Для снижения порядка астатизма системы управления необходимо использовать сервомотор для реализации интегральной составляющей в законе регулирования управляющего устройства.
• 3 Оптимальные параметры ПИ и ПИДрегуляторов следует пересчитать в параметры ПД или ПДД, что позволяет существенно улучшить динамику замкнутых САУ, снизить динамический заброс и вдвое уменьшить длительность переходного процесса.
• 4 Реализация управляющего сигнала по первой и второй производным легко реализуется в цифровых управляющих устройствах путем применения левых физически реализуемых конечных разностей. При этом для уменьшения динамического заброса и снижения колебательности замкнутых систем следует осторожно вводить сигнал по производной.

• 1 Пугачев В. И. Теория автоматического управления, раздел «Использование Mathcad при анализе и синтезе систем управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. — Краснодар. 2006 — 140 c.
• 2 Пугачев В. И. Теория автоматического управления, раздел «Цифровые системы управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. — Краснодар. 2005 — 100 c.
• 3 Пугачев В. И., Петриченко В. Г. Особенности синтеза цифровых систем стабилизации регулируемой величины. Научный журнал КубГАУ № 86(02), 2013 г.