Скалярные волны в электродинамике Максвелла-Лоренца

Система уравнений электродинамики Максвелла [2] может быть сведена к теории потенциала путем применения калибровки Лоренца [3].

(1).

(2).

(3).

Здесь обозначено — скорость света, плотность электрического заряда и вектор плотности электрического тока соответственно; - скалярный и векторный потенциалы.

Для уравнений (1)-(3) известны решения в форме запаздывающих потенциалов, частным случаем которых являются потенциалы Лиенара-Вихерта, описывающие поле точечного заряда [3, 7]. Запаздывающие потенциалы являются основой классической теории излучения электромагнитных волн, хотя существует альтернативная формулировка классической электродинамики, в которой учитываются опережающие потенциалы [8−9].

Известно, что решение в форме потенциалов Лиенара-Вихерта приводит к необходимости введения силы радиационного трения типа Абрагама-Лоренца [3, 7] или Лоренца-Дирака [10−11], учитывающей потери заряженной частицы на излучение. В свое время эта сила явилась значительным препятствием на пути создания планетарной модели атома, что привело к созданию квантовой механики Бора-Зоммерфельда [7], в которой электрон не излучает на некоторых разрешенных орбитах, определяемых из условия квантования Бора-Зоммерфельда.

Определение: решение уравнений (1)-(2) называется скалярной волной, если на этих решениях электрическое поле и индукция магнитного поля тождественно обращаются в ноль.

Используя определение электрического и магнитного поля, находим, что для скалярных волн справедливы следующие два уравнения:

(4).

Уравнения (4) выполняются при условии, что векторный потенциал является градиентом некоторой функции, тогда имеем.

(5).

Здесь — произвольная функция времени. Предположим, что плотность тока в правой части уравнения (2) также является градиентом некоторой функции, т. е.

(6).

В этих предположениях система уравнений (1)-(3) принимает вид.

(7).

(8).

(9).

Здесь — произвольная функция времени. Используя условие калибровки Лоренца (9) и уравнения для скалярных функций (7)-(8), находим, что для совместности системы (4)-(9) необходимо потребовать, чтобы выполнялись два условия.

(10).

Тогда задача о нахождении решений системы уравнений (1)-(3) в форме скалярных волн сводится к решению волнового уравнения для скалярного потенциала:

(11).

Покажем, что модель (11) является аналогичной модели распространения акустических возмущений в идеальной сжимаемой жидкости. Действительно, соответствующая модель, сформулированная для сжатия и скорости потока, имеет вид [12]:

(12).

Здесь — сжатие среды, — скорость течения, — скорость звука. Легко видеть, что первые два уравнения (12) аналогичны уравнениям (4), а треть уравнение (12) аналогично условию калибровки Лоренца (3). Таким образом, мы установили аналогию распространения акустических колебаний в модели идеальной сжимаемой жидкости (12) и скалярных волн в электродинамике Максвелла-Лоренца (1)-(3).

Продолжая эту аналогию, можно сказать, что электрическое и магнитное поле описывают вихревые возмущения электромагнитного поля, аналогичные вихрям в течениях жидкости [13]. Отметим, что в нашей работе [14] была установлена аналогия медленных течений вязкой жидкости и диффузии векторного потенциала в проводящей среде. Отмеченная аналогия, очевидно, является следствием механической аналогии, использованной Максвеллам при построении теории электромагнитного поля, в которой большую роль играли представления о течении флюида сквозь пористое пространство [2].