Тестирование модели для заморененных участков ледника Джанкуат

Тестирование модели проводится для заморененных участков ледника Джанкуат. Ледник Джанкуат на Центральном Кавказе (рис.1) является уникальным природным объектом. Это один из немногих горных ледников в мире, где непрерывные масс-балансовые наблюдения продолжаются на протяжении последних пятидесяти лет. Его площадь — 2,7 км², площадь поверхностной морены (рис.2) на нем по данным 2010 г. — чуть больше 0,3 км² [4]. Средняя площадь долинных и карово-долинных ледников, составляющих основную массу оледенения Центрального Кавказа, составляет, соответственно, 3,6 и 1,6 км² при средней площади морены 0,3 и 0,1 км² [4]. Другими словами, Джанкуат является репрезентативным, во всяком случае, типичным ледником в регионе.

а б Рисунок 1 — Расположение ледника Джанкуат (а) и вид них из космоса. Цифровая модель рельефа ледника и его окрестностей (б). Область, покрытая льдом, выделена серым цветом.

Энергетический баланс на заморененной поверхности

Формализация энергетического баланса на поверхности льда, свободной от моренного материала, рассмотрена в [8, 9]. Механизмы, определяющие энергетический баланс на заморененных участках, существенно от него отличаются. В первую очередь, это связано со свойствами самого моренного материала, значительно отличающихся от свойств льда. Речь, прежде всего, идет об альбедо поверхности, характерные значения которого у материала, слагающего моренный чехол в несколько раз ниже, чем альбедо льда. Это приводит к повышенному, по сравнению со льдом, количеству поглощенной коротковолновой солнечной радиации. Большую роль играют также большая плотность, наличие пористости и т. д. В схематической форме потоки тепла на чистом и заморененных участках ледника показаны на рис. 2.

Рисунок 2 — Потоки тепла на поверхности ледника, покрытой моренным чехлом.

Формально энергетический баланс на поверхности моренного чехла, E, записывается как.

. (1).

Первый член в правой части в (1) представляет собой поглощенную коротковолновую радиацию, второй — излучение поверхности с учетом противоизлучения атмосферы, третий — поток явного турбулентного тепла, четвертый — поток скрытого турбулентного тепла. Поток коротковолновой радиации определяется в зависимости от широты местности, времени суток, прозрачности атмосферы, наклона поверхности. Эффективное излучение (баланс длинноволновой радиации — сумма длинноволнового излучения земной поверхности и противоизлучения атмосферы на рис.2) рассчитывается по формуле Брента с учетом влияния облачности:

где T_S — температура поверхности моренного чехла (K), n — балл облачности, который в настоящей работе выступает настраиваемым параметром, e — парциальное давление водяного пара в приземном слое воздуха (Н м^-2).

В ур. (1) не принимаются во внимание крайне незначительные по своему вкладу в тепловой баланс потоки тепла, например, поток тепла, который несет просачивающаяся дождевая вода.

Значения констант в ур.2 и в последующих собраны в табл.1.

Турбулентные потоки явного и скрытого тепла (SHF и LHF в ур.1) рассчитываются по аэродинамическим (bulk) формулам, следуя, в целом, методике, изложенной в [14]. Сначала оценивается динамическая устойчивость приземного слоя и рассчитывается объемное число Ричардсона:

где — средняя температура воздуха в приземном слое. Далее R_b используется для определения безразмерных функций устойчивости для момента, тепла и влаги (соответственно Ф_m, Ф_h и Ф_v). В случае устойчивого приземного слоя,.

. (4).

Если слой неустойчивый,, то.

. (5).

Далее, значения турбулентного потока явного тепла определяются в соответствии со следующими формулами:

где теплоемкость , — плотность воздуха, — давление воздуха на высоте z. Поток скрытого тепла рассчитывается как.

где u — скорость приземного ветра, мс^-1, q_a и q_S — удельная влажность на высоте z_a и на поверхности (настраиваемые параметры), значения параметров шероховатости условно считаются равными z_0m. Поток скрытого тепла (7) отличен от нуля только в случае 100% - ной относительной влажности на поверхности моренного чехла [14]. Этот специальный случай не обсуждается в настоящей работе (его предполагается рассмотреть в дальнейшем), и, таким образом, LHF фактически не влияет на величину энергетического баланса.

G — тепло, поступающее вследствие контактного теплообмена в слой морены, или излучаемое им в атмосферу. Напомним, что в отличие от моренного слоя поверхностный слой льда (в том числе и под моренным чехлом) в нашей модели считается бесконечно тонким (т. н. скин-слой) [8]. Внутрь слоя морены (краевое условие на верхней границе) поступает тепло.

которое у его нижней поверхности определяется как.

. (9).

Распределение температуры внутри моренного слоя, T_d, описывается одномерным уравнением теплопроводности [1]:

. (10).

Теплоемкость, плотность и теплопроводность моренного материала рассчитываются, исходя из представления о моренном субстрате, как о смеси породы и воздуха (и, вообще говоря, воды) [1]:

. (11).

Поскольку вторые слагаемые в правых частях (11) малы по сравнению с тремя первыми, они могут быть опущены.

Уравнение (10) решается численно, безусловно, устойчивым методом прогонки. Краевое условие (8) в конечно-разностной форме запишется как.

где m — номер узла в конечно-разностном разбиении моренного слоя, m=1,…,M (рис.3). Поскольку температура поверхности T_S входит в уравнения (2) и (6) для расчета потоков тепла на поверхности моренного чехла, то для определения граничного условия необходимо применить итеративный подход. Для этого используется метод Ньютона-Рафсона:

где — значение температуры на итерации N+1, N=1,…,N_max; - это сумма функций в правой часть уравнения (1), а — соответственно ее производная.

Таблица 1 — Значения констант в уравнениях 1−12.

Параметр	Ед. измерения.	Наименование.	Значение.
a1	;	Параметр в ур. (2).	0,526.
b1	;	Параметр в ур. (2).	0,2 057.
	;	Параметр в ур. (2).	1,0.
cad	Дж•кг-1•K-1	Удельная теплоемкость сухого воздуха.
cg	Дж•кг-1•K-1	Теплоемкость морены.	1,25103
ci	Дж•кг-1•K-1	Теплоемкость льда.	1,88103
kd	Вт•м-1•K-1	Теплопроводность морены.	2,8.
kvk	;	Постоянная Кармана.	0,41.
g	м с-2	Ускорение свободного падения.	9,81.
Lm	Дж кг?1	Удельная теплота плавления.	3,35 105
Lv	Дж кг?1	Удельная теплота испарения.	2,476 106
Ma	кг моль?1	Молярная масса сухого воздуха.	0,0296.
Nmax	;	Максимальное число итераций при нахождении верхнего граничного условия в слое морены.
p0	Па.	Стандартное давление на уровне моря.
R	Дж моль-1 К-1	Универсальная газовая постоянная.	8,3145.
T0	K.	Температура замерзания пресной воды.	273,15.
za	м.	Условная толщина приземного слоя воздуха.	2,0.
z0m	м.	Шероховатость моренного чехла.	0.01.
g	;	Альбедо морены.	0,10.
	K м-1	Вертикальный градиент температуры воздуха.	0,0065.
	;	Постоянная в ур. Стефана-Больцмана.	0,98.
	;	Пористость морены.	0,43.
	C.	Точность расчетов температуры на верхней границе моренного чехла.	0,01.
a	кг м?3	Плотность приземного воздуха.	1,2754.
g	кг м?3	Плотность морены (гранит).
i	кг м?3	Плотность льда.
	Вт м?2 К?4	Постоянная Стефана-Больцмана.	5,6710-8

Значение температуры моренного субстрата в самом верхнем узле (N=1) является рассчитываемым граничным условием (). Для остановки расчетов используется условие. Если это условие не было достигнуто за заданное максимальное количество итераций N_max, то в качестве результата берется среднее значение последних двух итераций.

Рисунок 3 — Потоки тепла на верхней поверхности моренного в его тоще и на нижней границе (моренный чехол — лед).