Математическое ожидание остаточной суммы квадратов

В точках t_k, k = 1, 2, …, n, имеются исходные значения зависимой переменной x_k и восстановленные значения y*(t_k). Рассмотрим остаточную сумму квадратов При отсутствии периодической составляющей используют [2] состоятельные оценки среднего квадратического отклонения случайных погрешностей, построенные на основе остаточной суммы квадратов.

или .

Однако при наличии периодической составляющей так делать нельзя. Приходится использовать «обходный путь» .

В соответствии с формулами (4) и (5) при справедливости условий (7).

.

Найдем математическое ожидание каждого из слагаемых:

.

Поскольку E_k независимы, одинаково распределены и имеют нулевое математическое ожидание, то.

.

Далее,.

.

Наконец,.

.

На основе трех последних равенств можно показать, что при выполнении условия асимптотической нормальности (6).

.

Следовательно,.

. (10).

В правой части (10) первое слагаемое соответствует вкладу случайной составляющей, второе — вкладу периодической составляющей.

В некоторых случаях второе слагаемое в правой части (10) может быть известно из предыдущего опыта или же оценено экспертами, однако в большинстве ситуаций целесообразно исходить из оценки периодической составляющей.