Метрический тензор в 5-мерном пространстве и классические поля

Выше не сделано никаких предположений о виде. Заметим, что этот тензор имеет физический смысл не только в связи с метрическим тензором ОТО и векторным потенциалом электромагнитного поля, согласно уравнениям (2), но и как метрический тензор пятимерной теории гравитации с источником в виде материальных полей /6, 10/.

Например, в работе /12/ был рассмотрен вариант пятимерной гравитации, с источником в виде нелинейного спинорного поля. В этом частном случае тензор имеет диагональную форму, а квадрат интервала задается в виде /12/.

(5).

Здесь — пятая координата. В общем же случае тензор определяется как решение уравнений Эйнштейна в 5-мерном пространстве /6/. Поскольку ни источник, ни распределение материи в 5-мерном пространстве заранее неизвестны, можно лишь опираться на интуитивные представления о такого рода гравитации, рассматривая классические поля, как результат действия сил более высокой размерности /1/. В частности, можно предположить, что вблизи массивного центра гравитации метрический тензор в 5-мерном пространстве представляется в виде ряда по степеням расстояния до источника,, следовательно.

(6).

Здесь параметром k задается масштаб области применения модели (6), а точкой обозначено дифференцирование по безразмерному параметру. Рассмотрим вид тензора (6), возникающего при удержании первых трех членов разложения для случая метрики в поле центральных сил с гравитационным потенциалом в форме Ньютона.

Положим, в этих обозначениях имеем для квадрата интервала в 4-мерном пространстве (см., например, /13/):

(7).

Здесь — гравитационная постоянная, М — масса центрального тела. Предположим, что коэффициенты метрики в 5-мерном пространстве характеризуется некоторым параметром. Тогда, полагая, что, приходим к выражению интервала в зависимости от параметров метрики в 5-мерном пространстве:

(8).

Далее заметим, что в этом случае метрический тензор в четырехмерном пространстве является диагональным с компонентами.

(9).

Зададим векторный потенциал источника, связанного с центром гравитации в виде.

(10).

Здесь — некоторый вектор в трехмерном пространстве, который определим ниже. Отсюда находим скалярный и векторный потенциал электромагнитного поля.

(10').

Полагая в первом выражении (2) и вычисляя метрический тензор в 5-мерном пространстве, с учетом (9)-(10), находим, что в этом случае выражение (6) содержит в правой части только три члена ряда разложения по степеням параметра.

(11).

Отметим, что нулевой член разложения (11), описывающий плоское пространство, зависит от наличия заряда. В метрике (7) всякое массивное тело может иметь положительный или отрицательный электрический заряд. Поскольку же заряд квантуется, можно определить массу, порождающую электрон или протон, из соотношений: q=e, M=m, следовательно,. Отсюда находим выражение неизвестного параметра теории.

(12).

Заметим, что это выражение соответствует закону Кулона в форме (11) в Гауссовой системе единиц. В системе СИ правую часть (12) следует умножить на, где — диэлектрическая проницаемость вакуума. Численное значение параметра (12), имеющего размерность обратной длины, составляет в случае электрона около 1,7^.10^-28 м^-1, а в случае протона приблизительно 1,05^.10^-18 м^-1. Интересно, что соответствующий масштаб в случае электрона превосходит размер наблюдаемой Вселенной, тогда как для протонов этот масштаб составляет около 100 световых лет.

Этот результат показывает, что для описания движения в четырехмерных мирах с учетом сил гравитации и электромагнетизма требуется лишь конечное число членов ряда (6) в разложении метрического тензора в 5-мерном пространстве.

Рассмотрим вопрос о нижнем пределе применимости развиваемой модели. Для этого сравним нулевой и второй члены разложения (6). Предполагая, что эти слагаемые имеют один порядок,, находим соответствующий минимальный радиус,, который в случае электрона совпадает с его классическим радиусом — таблица 1. На этом масштабе электростатическое поле существенно влияет на метрику 5-мерного пространства, как буде показано ниже. Отметим, что минимальный размер в случае протона совпадает с радиусом действия слабого взаимодействия.

Таблица 1.

Параметры разложения метрического тензора.

Далее заметим, что учет эффектов, обусловленных вращением тел, не приводит к увеличению числа членов в разложении метрического тензора в 5-мерном пространстве в форме (6). Действительно, в метрике 4-мерного пространства вращающееся тело порождает гравитомагнитное поле, векторный потенциал которого определяется согласно /13, 14/.

(13).

Здесь — вектор механического момента вращения тела. В приближении, в котором справедливо выражение интервала (7), потенциал гравитомагнитного поля связан с компонентами метрического тензора соотношением, где индекс 1 относится к временной координате. Но тогда из выражения (11) следует, что гравитомагнитное поле в пятимерном пространстве не зависит от расстояния до источника, но зависит от угла, поскольку .

Векторный потенциал магнитного диполя описывается выражением, аналогичным (13), но дает вклад в метрический тензор в 5-мерном пространстве в виде комбинации, что могло бы приводить к появлению в правой части (6) слагаемых, пропорциональных, как это следует из выражения (11). Тем самым аналитичность метрического тензора в окрестности начала координат могла бы нарушиться. Чтобы избежать этого, будем рассматривать векторный потенциал магнитного диполя как суперпозицию векторных потенциалов (10'), исключив тем самым слагаемые, пропорциональные из разложения метрического тензора (6). В свою очередь, чтобы векторный потенциал (10) приводил к появлению в разложении метрического тензора слагаемых только с нулевой степенью, достаточно наложить на вектор условие.

(14).

Здесь — постоянные векторы. Из выражений (10') и (14) следует, что в рассматриваемом случае всякое массивное тело порождает не только гравитационное и гравитомагнитное поле, но и статическое электрическое и магнитное поле.

Электрический заряд нашей планеты, вычисленный согласно (10), составляет около 4,1^.10⁸ Кулон в случае электронов и 9,57^.10⁶ Кулон в случае протонов. Для планет-гигантов эти величины возрастают пропорционально корню квадратному из их массы, поскольку. Следовательно, небесные тела Солнечной системы обладают большими электрическими зарядами, что было установлено в работе /15/ на основе анализа вариаций магнитного поля Земли.

Таким образом, мы показали, что разложение метрического тензора в 5-мерном пространстве по степеням малого параметра в виде (6) с точностью до членов второго порядка равносильно описанию гравитационного поля тяготеющих масс в рамках ОТО с гравитационным потенциалом в форме Ньютона. Установлено, что всякое массивное тело порождает статическое гравитационное, электрическое и магнитное поле (элементарные частицы, обладающие массой покоя, но не обладающие зарядом, рассматриваются ниже). Отметим, что модель взаимосвязи магнитного поля с гравитацией массивных тел впервые предложил Эйнштейн в работе «Об эфире» (см. /5/, стр. 154) для описания магнитного поля Земли и Солнца.

Разумеется, что одних выражений (10') недостаточно для описания электромагнитного поля небесного тела. Векторный потенциал (10') можно рассматривать как постоянный источник, возбуждающий токи, как внутри самого тела, так и в окружающем его пространстве, чем объясняются, например, наблюдаемые вариации магнитного поля Земли /15/.

Рассмотрим вопрос о том, какое преобразование координат при повороте в плоскости времени и пятой координаты дает в результате коэффициенты тензора (11). Для этого используем общие уравнения с тремя параметрами, включающие растяжение осей, поворот на заданный угол и изменение взаимной ориентации осей, имеем.

(15).

Вычисляя интервал, находим.

(16).

При преобразование координат (15) сводится к растяжению и повороту, в этом случае коэффициент, следовательно, в такой системе электростатический потенциал равен нулю.

При преобразование (15) сводится к растяжению и изменению взаимной ориентации осей, т. е. к переходу от прямоугольной системы координат к косоугольной (аффинной) системе. В этом случае находим, что. Следовательно, электростатическое поле возникает при таких деформациях пространства, при которых изменяется взаимная ориентация осей времени и пятой координаты. Полученное соотношение позволяет найти предельное значение электростатического потенциала в виде, что с учетом первого уравнения (15) дает известное ограничение на потенциал.

(17).

В квантовой электродинамике это ограничение связано с рождением пар частиц — электронов и позитронов, тогда как в данной теории оно является следствием геометрических соотношений в 5-мерном пространстве.

Наконец, заметим, что использованное выше соотношение, выражающее связь заряда и массы, является следствием аналогичного соотношения, полученного в классической электродинамике для электрона. В общем же случае можно отказаться от этой связи, рассматривая метрику, зависящую и от массы, и от заряда.