Математическое моделирование процесса прессования древесины

Введение

Известно, что из древесины малоценных пород путем уплотнения и тепловых воздействий можно получить композиционный материал, обладающий большей, чем натуральная древесина, прочностью, имеющий хорошие антифрикционные и демпфирующие свойства [1].

Древесина представляет собой анизотропную трехфазную среду со сложной капиллярно-пористой структурой, сформированной на основе комплекса природных полимеров, обладающих способностью к набуханию и усушке при сорбции паров воды. Такие свойства материала определяют трудности теоретического исследования процессов его прессования.

Цель работы — создание и исследование математической модели интенсивного уплотнения древесины в пресс-форме. Методологической основой исследования является механика многофазных систем, предполагающая построение континуальные уравнений усреднением микроуравнений для макроскопических параметров каждой фазы по объему этой фазы [2]. Такой подход позволяет учесть большой комплекс структурных и механических особенностей материала, поверхностно-капиллярные эффекты и эффекты взаимодействия фаз.

Реологическая модель древесины. Для реологического описания поведения древесных материалов известны модели, учитывающие различным образом их упругие, вязкие и пластичные свойства, как правило, при одноосном механическом нагружении небольшой интенсивности и в стационарных однородных температурно-влажностных условиях при стабильном состоянии структурного каркаса [3−8]. Использование таких уравнений для моделирования процесса прессования ограничено, в частности, из-за непрерывного и существенного изменения древесной структуры. Например, при уплотнении древесины березы от естественного состояния с плотностью ~560 кг/м³ до плотности 1100 кг/м³ объемное содержание полостей сосудов и волокон либриформа уменьшается в образце от ~63% до 28% [8].

Указанные проблемы преодолены в оригинальной реологической модели древесины, параметрами которой являются не только материальные константы и функции, постоянные для данной породы при нагружении, но и текущие значения влажности, пористости древесины, изменение которых при механических или других воздействиях также влияет на напряженно-деформированное состояние древесины [9−10].

Полный тензор напряжений рассматриваемой гетерогенной системы можно представить как сумму усредненных напряжений в фазах [2].

,(1).

где, V_i? объемная концентрация и объем i-фазы, i=1,2,3 (1 — газообразная фаза, 2? жидкость, 3? твердая фаза); (штрих) относится к параметрам, являющихся средними в пределах микрообъема dV<< a³, а — характерный размер пор.

Полагая, что газ является идеальным, и что вязкость жидкости достаточно учитывать только при межфазных взаимодействиях, имеем.

и .

Здесь p — давление, — единичный тензор.

Если деформации микрообъемов малы, тензор микродеформаций в твердой фазе, можно записать в виде:

(2).

где — тензор макродеформаций твердой фазы, определяемый градиентами средних смещений материала, — фиктивный или эффективный тензор деформаций, характеризующий смещения элементов структурного каркаса [2]. То есть, наблюдаемые макродеформации твердой фазы складываются из деформаций материала древесинного вещества и из деформаций древесного скелета, приводящих к перестройке системы пор.

Следуя [2], приняты макроскопические гипотезы о реологическом поведении отдельно для материала твердой фазы и для структурного каркаса системы. Учитывая, что древесные клетки имеют полимерную основу, для описания напряженно деформированного состояния материала древесины принята одна из моделей наследственной анизотропной среды [12]:

.(3).

Здесь верхние индексы i, j, k, l используются для обозначения компонент тензоров, нижний индекс s относится к древесинному веществу, ^ijkl — тензор функций скорости ползучести; ^ij — тензор коэффициентов температурного расширения, K^-1; П^ijkl(0)? тензор мгновенных податливостей, Па^-1., t — время, с;? разность между текущей температурой и некоторым ее начальным значением, К.

Фиктивным деформациям должны соответствовать фиктивные напряжения. Тензор фиктивных напряжений в древесном скелете построен в представлении древесины, как среды с двойной пористостью — пористой матрицы (древесинное вещество, пронизанное микрокапиллярами) и распределенной в ней системой макропор (полостей сосудов или трахеид), обобщая работу Ю. А. Буевича [11] на случай ненасыщенной наследственной анизотропной среды:

(4).

,.

где нижние индексы относятся: f — к эффективным значениям (древесному скелету); п — к системе макропор; к — к системе капилляров; m_п — пористость, определяемая отношением объема макропор к объему материала; (i=1,2) — объемное содержание i-ой фазы в объеме капилляров и пор соответственно.

Если m_п<<1, то есть концентрация макропор мала,. В случае, когда при этом капилляры практически полностью заполнены влагой (_к1~0, _к2~1), т. е. тензор фиктивных напряжений, определяется также как для насыщенных трещиновато-пористых сред [11]. Частному случаю состояния древесины с малым содержанием жидкости в макропорах и парогазовой смеси в капиллярах (_п2~0, _к1~0) соответствуют фиктивные напряжения вида:

.(5).

Примем, следуя [2,11], что зависимость тензора фиктивных напряжений в твердой фазе от эффективного тензора деформаций аналогична реологическому уравнению для материала древесного скелета, тогда.

.(6).

В результате зависимость макродеформаций от тензора полных напряжений в древесине получена в виде:

; ;(7).

Для описания процесса деформирования могут быть использованы экспоненциальные функции влияния и слабо сингулярные ядра ползучести М. А. Колтунова [12]:

;; n=s, f;

где d,, , — параметры тензорных функций влияния.

В предельном случае при отсутствии пор и капилляров (_к2=0, _п2=0, m_п=0, ₃=1, ₂=0, ₁=0) из (7) получаем уравнение линейной вязкоупругой анизотропной гомогенной среды типа Больцмана-Вольтерра.

Реологическое уравнение древесины (7) содержит явным образом характеристики структуры — объемные концентрации фаз, пор и капилляров разного типа. При этом важно, что реологические параметры не предполагаются зависящими от каких-либо структурных параметров.

Давление жидкой фазы p₂, которое фигурирует в (7), и изменяется в процессе прессования, требует своего определения. При общем подходе к изучению процессов переноса в древесине необходимо определять не только объемное содержание воды б₂, но и объемное содержанием свободной воды б_2св, воды в тонких прослойках б_2 т.сл и в смачивающих пленках б_2 см [13]. Механизмы переноса всех типов воды качественно различны. Для микропараметра жидкой фазы p'₂, усредняемого по жидкому макрообъему dV₂ имеем:

.

Здесь нижние индексы «св», «см», «т.сл» — означают усреднение по объемам свободной воды, воды в смачивающих пленках и тонких слоях соответственно. Объемные концентрации воды разных типов определяются отношениями б_св=dV_2св/dV₂, б_т.сл=dV_2 т.сл/dV₂, б_см=dV_2 см/dV₂.

Введем параметры объемного содержания в образце свободной воды m_св=dV_2св/dV, воды в тонких капиллярах m_т.сл=dV_2 т.сл/dV и воды в смачивающих пленках m_см=dV_2 см/dV. Тогда.

.(8).

; .(9).

;; .(10).

В процессах прессования, и давление объемной воды, тогда как видно из (8). Будем полагать, что свободная вода преимущественно находится в порах, а связанная — в капиллярах. Если влажность материала ниже предела гигроскопичности и свободная вода отсутствует, то, и в₂=_к2. Если предполагать, что влага находится преимущественно в тонких слоях, то и тензор фиктивных напряжений можно получить в виде:

(11).

Таким образом, величина, входящая в реологическое уравнение состояния (7), определяется расклинивающим давлением тонких прослоек воды и объемным содержанием воды в капиллярной системе. При влажности материала большей предела гигроскопичности капилляры полностью заполнены водой,, а величина в₂= m_св/(1- m_п)+1.

Давление воды в тонкой прослойке отличается от давления p₀ в объемной жидкой фазе, равновесной с прослойкой, на величину расклинивающего давления P [14]:

.(12).

Соотношение (12) справедливо для давления в жидких пленках древесного образца только в равновесных условиях, когда в результате внешних воздействий твердые границы прослойки перемещаются с бесконечно малой скоростью или вообще не подвержены смещениям, т. е. структурный каркас пористой системы не деформируется. Вязкое сопротивление, сопровождающее втекание жидкости в расширяющийся зазор при растяжении капиллярно-пористой структуры, или ее вытекание из сжимающегося канала при сдавливании, обусловливает неравновесную составляющую расклинивающего давления жидкой фазы при деформировании насыщенных и ненасыщенных капиллярно-пористых тел [15]:

.(13).

Здесь р₂ — неравновесная составляющая расклинивающего давления, w — влажность, T — температура, I — первый инвариант тензора напряжений в гетерогенной системе, P — равновесное расклинивающее давление в прослойках воды, определяемое либо с помощью изотерм, либо с использованием теоретических подходов.

Параметры реологической модели, а также составляющие расклинивающего давления, входящие в выражение (13) могут быть получены для древесины любой породы путем обработки кривых ползучести, при сжатии в главных направлениях анизотропии при различных температурах, а также экспериментальных данных по набуханию и усушке для расчета деформаций набухания. Рассчитанные реологические коэффициенты структурного каркаса и древесинного вещества являются константами, а расклинивающее давление в тонких порах зависит от объемного содержания воды, пористости, уровня напряжений и температуры [9−10]. При этом реологические параметры для древесинного вещества одинаковы для всех пород, для структурного каркаса — для каждой породы — свои.

Постановка начально-краевых задач прессования древесины Процесс уплотнения древесины происходит в специальной пресс-форме с жесткими стенками после предварительного нагрева или пропаривания [16]. Направление усилия сжатия обычно перпендикулярно направлению годовых слоев в случае использования хвойных пород, а для рассеянно-сосудистых пород оно может быть также параллельным этому направлению. Степень прессования поперек волокон может достигать 50%.

На рис. 1 показана схема прессования. Предполагая, что размер длинной стороны образца во много раз превосходит его поперечные размеры, а также, что распределение нагрузки в зоне контакта передающей давление поверхности и образца вдоль этого направления практически равномерно, пренебрегая деформациями вдоль волокон древесины, можно считать, что имеет место состояние плоской деформации. Температурное поле и распределение влагосодержания в объеме заготовки в общем случае полагаем неоднородными.

Уравнения равновесия. Процесс деформирования образца можно рассматривать как квазиравновесный, так, что справедливы уравнения равновесия [2,17−18]:

;

; j=1,2,3.(14).

Здесь x₁, x₂ — декартовы координаты; ₃ — объемное содержание твердой фазы; (k, l=1,2,3) — тензор микронапряжений в древесинном веществе, усредненный по объему твердой фазы; - проекции сил сопротивления фильтрационному переносу жидкой и газообразной фаз в пористом материале. Символ «» (штрих) относится к параметрам, являющихся средними в пределах микрообъема среды dV<< a³, где, а — характерный размер неоднородностей.

Уравнения сохранения массы и соотношения Коши. Полагая деформации малыми, а плотность древесинного вещества постоянной, из уравнения сохранения массы твердой фазы можно получить, следуя [2]:

;(15).

;;. i, j=1,2.(16).

Здесь (k=1,2,3) — первый инвариант тензора деформаций твердой фазы в некоторый начальный и текущий момент времени, а? соответствующие концентрации третьей фазы; - усредненные смещения частиц твердой фазы.

Изменение объемного содержания жидкой фазы учитывается в связи с изменением объема заготовки с помощью соотношения, аналогичного (15). В случае уплотнения древесины высокой влажности в направлении поперек волокон возможно вытеснение свободной воды, осуществляемое преимущественно вдоль волокон через торцевые поверхности. В этом случае в расчетах учитывается уменьшение массы воды в образце мокрой древесины в пренебрежении сопротивлением вытеснению [19]. Уравнения (14−16) замыкаются реологическим уравнением состояния древесины (7).

Граничные условия. Для сформулированной системы уравнений в соответствие с технологическими задачами могут быть поставлены несколько основных комплексов граничных условий [20−22].

Если силами трения между формирующимся композитом и стенками пресс-формы, а также пуансоном можно пренебречь, то условие контактного взаимодействия верхней грани образца с нижней поверхностью жесткого пуансона представляет собой равенство нормальных компонент вектора перемещений по всей поверхности контакта:

.(17).

Y (t) — смещение поверхности контакта образца с пуансоном. Другие граничные условия задачи имеют вид:

;;; (18).

.(19).

Нормальные напряжения в зоне контакта удовлетворяют условию:

(20).

где у — полный тензор напряжений в древесине, Fрезультирующая сила, приложенная к плите пресса; b, с — размеры верхней грани образца.

При исследовании технологических режимов прессования результирующая сила F может быть задана, а искомым будет закон движения верхней границы уплотняемого образца Y (t), или, наоборот, по заданному уравнению подвижной грани определяется сила давления обеспечивающая это движение. При наличии внешнего трения на границах образца имеют место смешанные граничные условия. Кинематическая часть граничных условий выражает условия непроницаемости (18), а также совместного деформирования зоны контакта пуансона и уплотняемого композита (17).

Статическая часть граничных условий выражается законом трения Кулона на внешних поверхностях образца для полных напряжений материала. Нормальная и касательная компоненты вектора напряжений =+ на поверхности с нормалью связаны соотношением [23]:

.(21).

Выражение (21) справедливо при условии, в противном случае, когда,. Здесь f — коэффициент внешнего трения, — вектор скорости скольжения материала, — нормальная компонента вектора напряжения в рассматриваемой частице на площадке, перпендикулярной поверхности скольжения. Последнее условие относится к случаю, когда сдвигающее усилие оказывается меньше величины силы трения. Нормальные напряжения в зоне контакта удовлетворяют условию (20).

Задача (7, 14−16) с выбранным типом граничных условий является нелинейной даже для материалов с однородным распределением влажности и пористости, поскольку уровень напряжений зависит от изменяющегося в процессе прессования объемного содержания фаз. Поэтому исследование модели может быть выполнено только с использованием численных методов. Если в каждый момент времени заранее неизвестно положение нижней грани пуансона (функция Y (t)), то это делает синтезированную математическую модель еще более сложной для анализа.

Для проведения вычислительного эксперимента с целью изучения напряженно-деформированного состояния в древесном образце с изменяющейся пористой структурой построены конечно-разностные уравнения и разработан итерационный алгоритм их реализации [22]. На каждом временном шаге учитывается напряженно-деформированное состояние материала, имевшее место на предыдущем шаге по времени.

В качестве критерия прочности древесины выбран полиномиальный критерий 4 степени, предложенный Е. К. Ашкенази [24]. Этот критерий хорошо зарекомендовал себя для сильно анизотропных материалов, к которым относится, в частности, древесина хвойных пород.

Некоторые результаты расчетов, приведенные в данной работе, иллюстрируют возможности построенной математической модели. Они выполнены для образцов, поперечное сечение которых имеет первоначально форму квадрата, a=b. Отношение с/a=5. Начальное распределение объемного влагосодержания в общем случае неоднородно по сечению и задается в виде w₂₀=A₂₀+B₂₀^.sin (x₁/a)sin (x₂/b). Поскольку древесина обладает свойствами коллоидного тела, неоднородному содержанию жидкой фазы соответствует неоднородное распределение в материале и твердой фазы. Распределение влажности по сечению образца задано в диапазоне 1318% (A₂₀=13, B₂₀=5) и в диапазоне 1712% (A₂₀=17, B₂₀=5). В первом случае более увлажнена центральная зона, во втором — приграничная. В более сухих областях материал имеет большую концентрацию твердой фазы. Принято, что нагружение осуществляется мгновенно приложенной постоянной силой F=F₀ (среднее давление F₀/bc=20 MПа). Температура образца задается одинаковой во всех точках поперечного сечения. Величина p_xap=10⁸ Па, с₂=10³ кг/м³, с₃=1.54^.10³ кг/м³

Расчеты показывают, что максимальная степень уплотнения достигается за период времени близкий ко времени релаксации [17−18]. Мгновенная упругая деформация в направлении сжатия составляет менее 50% от деформации, установившейся после завершения процесса ползучести. Максимальная степень прессования древесины достигается при больших величинах влажности и температуры, что связано с монотонным падением расклинивающего давления при увеличении w и T. Разгружающий вклад давления жидкой фазы в значения напряжений в системе зависит в рамках рассматриваемой модели от двух факторов — расклинивающего давления (величина которого больше в более тонких пленках, т. е. при меньших влажностях) и объемного содержания воды в системе микрокапилляров, уменьшающегося с падением влажности.

Расчет поверхности прочности материала, проведенный для заданных условий, показывает, что неоднородные распределения влажности и температуры приводят к появлению зон разрушения. Появление зон частичного разрушения, обусловлено не только температурно-влажностной понижающей поправкой к значениям прочностных показателей, оцененной по [3, 19], но и сложным напряженным состоянием материала. Расположение этих зон соответствует областям наибольшей концентрации твердой фазы, наибольшего уровня деформаций объемного сжатия, максимальных касательных напряжений, а также полных сжимающих напряжений в направлении главных осей анизотропии.

Рис. 2 иллюстрирует развитие неравномерного поля концентраций твердой фазы в поперечном сечении образца древесины березы. Перераспределение твердой фазы связано с особенностями реологического поведения древесины при различных значениях температуры и влажности. Образец, более увлажненный в центральной зоне, имеет здесь первоначально меньшую концентрацию твердой фазы по сравнению с приграничной областью (рис. 2а). В результате прессования и большей деформативности древесины в более влажной области распределение объемного содержания твердой фазы изменяется на противоположное — происходит более интенсивное уплотнение центральной области (рис. 2б). Образец, имеющий большую влажность вблизи поверхности, первоначально имеет большие значения ₃ в центре поперечного сечения (рис. 2а'). Вследствие более интенсивного сжатия поверхностных зон формируется весьма неоднородное распределение объемной концентрация твердой фазы (рис. 2б'). Критерий прочности Ашкенази [24] указывает в этом случае на возможность разрушения поверхностных слоев образца. Рис. 2 В и 2в' иллюстрируют неравномерное распределение полного давления в материале, сопровождающее нарушение критерия прочности.

Заключение

Сформулированная математическая модель процесса прессования древесины учитывает реологический и структурный факторы, эффект расклинивающего давления в тонких прослойках воды, анизотропию механических свойств, а также различные технологические параметры. Численные расчеты па разработанному алгоритму и комплексу программ дают возможность прогнозировать степень прессования и изменение пористой структуры по сечению образца. Определение поля тензора напряжений позволяет применять критерии прочности тензорного характера для оценки эффективности выбранного режима прессования древесных образцов с заданным распределением температуры и влажности.

Библиографический список

• 1. Шамаев В. А. Модификация древесины. М.: Экология, 1991. 128 с.
• 2. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.:Наука, 1978. 336 с.
• 3. Уголев Б. Н. Древесиноведение с основами лесного товароведения. М.: Лесная промышленность, 1986. 368 с.
• 4. Ржаницын А. Р. Теоретические предпосылки к построению методов расчета деревянных конструкций во времени // Исследования прочности и деформативности древесины. М.: Издательство литературы по строительству и архитектуре, 1956. С. 21−31.
• 5. Быковский В. И. Применение механики упруго-вязких тел к построению теории сопротивления древесины с учетом фактора времени. Там же, с.32−41.
• 6. Белянкин В. Ф., Яценко В. Ф. Деформативность и сопротивляемось древесины как упруго-вязкопластического тела. Киев: Издательство АН УССР, 1957. 200 с.
• 7. Огарков Б. И. Теория упругого последействия древесины // ЖТФ. 1957. Т. 27, № 5. С. 1118−1120.
• 8. Роценс К. А. Технологическое регулирование свойств древесины. Рига: Зинатне, 1979. 220 с.
• 9. Dornyak O. R. Modeling of the rheological behavior of wood in compression processes // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2003. V. 76, No. 3. P.648−654.
• 10. Дорняк О. Р., Свиридов Л. Т. Структурно-механические свойства и напряженно-деформированное состояние древесины в процессах прессования. Реологическое уравнение состояния // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. 2006. № 1. С. 50−57.
• 11. Буевич Ю. А. Структурно-механические свойства и фильтрация в упругом трещиновато-пористом материале // Инженерно-физический журнал, 1984. Т. 46, № 4, С. 593−600.
• 12. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.
• 13. Дорняк О. Р. Гидродинамическая задача для процессов модифицирования древесины // Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2005. В. 172. С. 143−150.
• 14. Вода в дисперсных системах/ Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев, Ф. Д. Овчаренко и др. М.: Химия, 1989. 288 с.
• 15. Дерягин Б. В., Кротова Н. А., Смилга В. П. Адгезия твердых тел. М.: Наука, 1973. 279 с.
• 16. Хухрянский П. Н. Прессование древесины. М.: Лесн. промышленность, 1964. 350 с.
• 17. Dornyak O. R. Mathematical modeling of the process compaction of wood // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2005. Т. 78. № 5. С. 899−906.
• 18. Дорняк О. Р., Свиридов Л. Т. Прогнозирование параметров структуры и прочности // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. 2006. № 1. С. 58−64.
• 19. Дорняк О. Р. Математическое моделирование процесса прессования увлажненного капиллярно-пористого ортотропного материала // Наука производству. 2005. № 3. С. 40−46.
• 20. Дорняк О. Р. Математическое моделирование процесса прессования древесины в различных направлениях механической анизотропии // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2005. Спец. выпуск «Композиционные материалы». С. 85−92.
• 21. Дорняк О. Р. Напряженно-деформированное состояние древесного образца при интенсивном уплотнении // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2006. № S6. С. 109−114.
• 22. Дорняк О. Р. Численное решение краевой задачи вязкоупругого деформирования при прессовании ортотропного капиллярно-пористого материала // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2005. № 2. С. 138−146.
• 23. Друянов Б. А., Непершин Р. И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение. 1990. 272 с.
• 24. Ашкенази Е. К. Анизотропия древесины и древесных материалов. М.: Лесная промышленность, 1978. 224 с.