Проверка на наличие гетероскедастичности Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. 
Множественная регрессия — М.: Диалектика, 2007

Один из статистических критериев для проверки наличия гетероскедастичности (то есть непостоянной дисперсии) случайных ошибок модели линейной регрессии — Критерий Бройша-Пагана. Применяется, если есть основания полагать, что дисперсия ошибок может зависеть от некоторой совокупности наблюдаемых переменных:

где .

Проверяемая гипотеза сформулирована следующим образом:

остатки гомоскедастичны;

Альтернативная гипотеза:

неверна (остатки гетероскедастичны).

Процедуру вычисления статистики можно описать следующими шагами.

• 1) Начальная модель оценивается стандартным методом наименьших квадратов (МНК), определяются остатки .
• 2) Предположив гомоскедастичность модели, дисперсия ее ошибки вычисляется как

.

• 3) Вычисляются стандартизированные остатки .
• 4) Производится построение дополнительной регрессия квадратов стандартизированных ошибок на начальные значения предикаторов:

.

5) ,.

где — коэффициент детерминации построенной на предыдущем этапе регрессии.

Если статистика критерия имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то гипотеза о гомоскедастичности остатков подтверждается.

Проверка качества модели

Проверка адекватности модели или, другими словами, тестирование значимости объясняющей переменной X проводится по критерию Фишера. Другими словами, проверяется, значимо ли влияние предикатора X влияет на значение объясняемой переменной Y.

Используя суммы квадратов отклонений, вычислим F-критерий Фишера по формуле:

При учете степеней свободы расчетная формула для вычисления критерия Фишера выглядит следующим образом:

где m, (n-m-1) — число степеней свободы числителя и знаменателя зависимости соответственно; n — количество наблюдений; m — количество предикаторов.

Тестирование значимости переменной X по критерию Фишера состоит из следующих этапов:

Формулируем нулевую гипотезу H: в1=0;

Принимаем вероятность ошибки (уровень значимости) б (5%);

Производим вычисления F-отношения;

Из таблицы F-распределения Фишера определяем величину F-критическое при заданном уровне значимости (или ошибки) и по степеням свободы f1 и f2;

Если Fфакт < Fтабл то гипотезу о незначимости предикатора отклоняем с 5%-ным риском ошибиться, где Fтабл — значение F при 5%-ном риске ошибки.

Значение Fтабл определяют по специальным таблицам в зависимости от степеней свободы f1 и f2: f1=(n-m-1), f2=(n-1).

Если неравенство Fфакт > Fтабл справедливо, то можно сделать заключение об адекватности построенной модели, следовательно линейная связь между предикатором и объясняемой переменной допустима.

Итоговое оценочное значение качества модели отражается в коэффициент детерминации RІ. Если регрессия является парной, коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции:

где uІi — разница между исходным значением Y и предсказанным значением с помощью построенной модели.

Коэффициент детерминации определяет долю разброса объясняемой переменной, которая определяется регрессией Y на X; дробное отношение определяет составляющую часть разброса объясняемой переменной, которая не определяется регрессией.

Для общего случая корректным является соотношение 0? RІ?1. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем сильнее линейная связь между X и Y. Чем связь слабее, тем RІ ближе к нулю.

Средняя ошибка аппроксимации — еще одно средство оценки уравнения регрессии является.

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, вычисленных по уравнению регрессии, т. е. y и yx. Чем меньше эта разность, тем теснее теоретические значения к эмпирическим данным, качество модели лучше.

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по следующей формуле:

Для качественно построенных моделей, величина этого показателя не должно превышать 10%.