Методы оптимальных решений

Министерство сельского хозяйства РФ ФГОУ ВПО «Воронежский аграрный университет имени императора Петра I»

Факультет бухгалтерского учёта и финансов Специальность бухгалтерский учёт, анализ и аудит Контрольная работа Методы оптимальных решений Выполнила: Жихарева Н.А.

Курс 2

Шифр 12 017

Проверил: доцент Слиденко А.М.

Воронеж 2014

1. Задание 7

На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов, А и В. Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют ед. соответственно, изделие типа, А дает прибыль ден. ед., а изделие типа В — ден. ед. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.

прибыль продукция потенциал план Решение:

Составим математическую модель задачи. Обозначим: — количество выпускаемых изделий типа А, количество выпускаемых изделий типа В. Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на и, учитывающие запасы сырья каждого вида:

(1)

По смыслу задачи

(2)

Прибыль F предприятия при плане, равна

(3)

Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения и, удовлетворяющие системе неравенств (1, 2), для которых функция (3) достигает наибольшего значения.

Решим полученную задачу с помощью программы Mathcad 13. Левые части ограничений системы (1) введем в матрицу А, а правые — в матрицу В. Коэффициенты целевой функции представим в виде вектора С. Искомые коэффициенты и будут находиться в векторе Х. Запишем систему ограничений в матричной форме и найдем значения Х, при которых целевая функция будет максимальна.

Листинг программы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Листинг программы для решения задачи

Ответ: для получения максимальной прибыли в количестве 48 ден. ед. предприятие должно выпустить 16 изделий типа В и не выпускать изделий типа А.

2. Задание 17

Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.

На трех базах имеется однородный груз в количествах условных единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления в количествах условных единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям указаны в матрице стоимостей С.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Пусть — объем перевозки от i-го поставщика к j-у потребителю.

Мощности всех поставщиков должны быть реализованы, следовательно, получаем систему уравнений:

(4)

Условия удовлетворения спросов всех потребителей имеют вид:

(5)

Очевидно,. Суммарные затраты на перевозку грузов:

(6)

Решим задачу с использованием Mathcad. Введем искомую матрицу Х и матрицу затрат С. Запишем суммарные затраты F. Запишем систему ограничений, а затем найдем минимум суммарных затрат при заданной системе ограничений с помощью функции Minimize.

Рис. 2. Листинг программы для решения задачи

Ответ: из 1-й базы необходимо направить во 2-й пункт потребления 40 ед. груза, в 3-ий пункт — 120 ед. и в 4-ый пункт — 110 ед. груза. Из 2-й базы необходимо 120 ед. груза направить в 1-ый магазин Из 3-й базы необходимо груз направить в 1-ый магазин в количестве 135 ед. и во второй магазин в количестве 75 ед. Минимальные затраты составят 800 ден. ед.

3. Задача 27

Предприятие перерабатывает сырье S в продукцию двух видов: А и В. На изготовление единицы продукции, А расходуется, а единиц сырья, а на единицу В — b единиц сырья S. Запасы сырья составляют R единиц. Цена на продукцию зависит от предложения и определяется формулами:

,

где — количество единиц продукции А, — количество единиц продукции В.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором сырье используется полностью, а прибыль от реализации продукции будет наибольшей. Значения всех параметров приведены в таблице.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть — количество единиц продукции А, запланированных к производству, — количество единиц продукции В, запланированных к производству. Тогда расход сырья определяется равенством:

.

Суммарная прибыль равна:

Получили задачу на условный экстремум. Решаем ее с помощью программы Mathcad 13. Вводим максимизируемую функцию и заданное ограничение.

Рис. 3. Листинг программы для решения задачи Ответ: прибыль от реализации продукции будет максимальной при выпуске 26 ед. продукции А. Максимальная прибыль составит 96.2 ден. ед.

4. Задача 37

Двум предприятиям выделено единиц средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения максимального дохода, если в первый год средства распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т. д., а также известно, что

— доход от единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;

— доход от единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;

— остаток средств к концу года на первом предприятии составляет ;

— остаток средств к концу года на втором предприятии составляет .

Решение:

Решим эту задачу методом динамического программирования.

Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить единиц средств. Обозначим через средства, выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через. Очевидно,

.

Остаток средств через год обозначим через. Очевидно,

.

Обозначим характеристику состояния (условный максимум целевой функции на k-м шаге) в начале года через, а условное оптимальное управление для этого состояния через. Тогда для (условный максимум целевой функции на последнем шаге)

.

Для справедливо рекуррентное соотношение:

.

Вводим эти данные в Mathcad для решения задачи динамического программирования.

Рис. 4. Листинг программы для решения задачи

Получили наибольший суммарный доход, который может быть получен при заданных условиях за 4 года. Он равен 7750 ден. ед. При этом средства следует распределять следующим образом: первые три года средства отдавать первому предприятию (), а последний год средства отдать второму предприятию ().

5. Задача 47

Найти оптимальные стратегии первого игрока, исходя из критериев максимина Вальда, максимакса, Гурвица, Сэвиджа и Лапласа в игре с полной неопределенностью относительно поведения второго игрока, заданной платежной матрицей Р.

Решение:

1. Максиминный критерий Вальда.

Вычисляем минимальное значение по строкам, а далее из них выбираем максимальное. Максимум достигается при применении «стратегии 4» .

2. Критерий максимакса.

Вычислим максимальные значения по строкам, а далее из них выберем максимальное. Оптимальной является «стратегия 3» .

3. Критерий Гурвица. Вычисляем максимальные и минимальные значения по строкам, а далее производим их взвешивание с коэффициентом 0.5.

Оптимальной стратегией первого игрока является «стратегия 4» .

4. Критерий Севиджа (критерий минимального риска).

Поострим матрицу рисков. Для этого сначала вычислим максимальные значения по столбцам, а далее непосредственно матрицу рисков. Далее вычисляем максимальные значения по строкам и из них выбираем строку с минимальным значением. Оптимальной является «стратегия 4» .

5. Критерий Лапласа. Вычислим средние арифметические по строкам:

Оптимальной для первого игрока является «стратегия 4» .

Таким образом, практически по всем критериям «стратегия 4» является наиболее оптимальной.

Листинг программы Mathcad для проведения вычислений представлен ниже. Для определения индекса минимального и максимального элементов написаны две функции GetMaxIndRow и GetMinIndRow.

Рис. 5. Листинг программы для решения задачи