Многочлены Чебышева и их свойства

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Кафедра прикладной математики и информатики

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по курсу

" МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Тула 2011 г.

• 1. Введение
• 2. Определение многочленов Чебышева
• 3. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1]
• 4. Случай произвольного отрезка
• 5. Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева
• 6. Программная реализация
• 9. Заключение
• Список используемых источников
• Приложение

1. Введение

Многочлены Чебышева Т_{п (}х) являются одним из наиболее замечательных семейств многочленов. Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий. Мы обсудим некоторые наиболее простые, но весьма важные свойства многочленов Чебышева.

2. Определение многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева — две последовательности ортогональных многочленов T_n (x) и U_n (x), n = {0,1,2…}, названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.

Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода — T_n (x) — характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n ? 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [? 1,1]. Впервые были рассмотрены самим Чебышёвым.

Способы определения:

1. Рекурсивное определение

Многочлены Чебышева первого рода — T_n (x) — могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышева второго рода — U_n (x) — могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

2. Явные формулы

Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

3. Тригонометрическое определение. Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

3. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1]

В ряде вопросов численного анализа, связанных с проблемой минимизации погрешности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.

многочлен чебышев программная реализация Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен Tn (х), для которого величина является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, называется многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [ - 1, 1] или многочленом Чебышева. Ниже будет показано, что функція является многочленом Чебышева (см. графики в разделе «Приложения»).

Рассмотрим сначала функцію которая отличается от Тn (х) только постоянным множителем. Проводя преобразование убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение Кроме того, согласно имеем. Отсюда и из по индукции легко доказать, что Pn (x) — многочлен степени n со старшим коэффициентом Следовательно, Tn (x) — многочлен степени n со старшим коэффициентом 1.

4. Случай произвольного отрезка

Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке [a, b] среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены

переводящий отрезок в отрезок. При такой замене многочлен Чебышева

преобразуется к виду

причем коэффициент при оказывается равным. Следовательно, многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на [a, b], среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 является многочлен

Корни этого многочлена расположены в точках

а его максимальное отклонение от нуля равно

5. Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева возникают как решения некоторых типов дифференциальных уравнений и при разложении функций в ряды.

Многочлен является решением дифференциального уравнения

.

Уравнение называется уравнением Чебышева. Заменив аргумент по формуле, получим уравнение

6. Программная реализация

Для N значений независимой переменной, равномерно распределенных на отрезке [a. b], построить таблицу значений многочлена Чебышева первого рода целого порядка, используя его представление в виде рекуррентного соотношения.

Значения N, a, b ввести с клавиатуры.

На экран вывести таблицу следующей структуры: «аргумент функции — значение функции» .

Математическая постановка задачи.

В рамках данной работы поставлена задача вычисления значений многочлена Чебышева первого рода. Нахождение значений будем производить с помощью рекуррентного соотношения

Данная формула определяет при последовательность функций, начинающуюся с, , рекуррентно; при этом нужно иметь в виду, что .

Подставляя в заданные начальные члены последовательности, найдем несколько ее последующих членов:

;

;

;

и т.д.

Описание структуры и работа программы.

При решении задачи была создана подпрограмма:

Function shag (a, b: real; c: integer): real — подпрограмма, вычисляющая расстояние между двумя делениями (разбиениями), то есть высчитывающая шаг для последующей операции. Эта подпрограмма, с другой стороны, находит значения x, которые потом используются при вычислении значений многочлена.

Для изучаемых многочленов п должно быть больше нуля, тогда реализуется условие, в котором в циклах и вычисляется значение многочлена Чебышева с помощью рекуррентного соотношения. С помощью команд readln (…) левая и правая границы, кол-во разбиений задаются с клавиатуры в ручную.

Текст программы.

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

Uses SysUtils;

Var

n, i, j, c: integer;

a, b, l, m: real;

T: array [0.100] of real;

Arr_X: array [1.100] of real;

Function shag (a, b: real; c: integer): real;

begin

shag: = (b-a) /c;

end;

BEGIN

write ('vvedite levuu granicu: ');

readln (a);

write ('vvedite pravuu granicu: ');

readln (b);

write ('chislo razbienii: ');

readln (c);

m: =a;

for i: =1 to c+1 do

begin

Arr_X [i]: =m;

m: =m+shag (a, b, c);

end;

for i: =1 to c+1 do

write (Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln;

write ('vvedite n: ');

readln (n);

if n>1 then

begin

for i: =1 to c+1 do

begin

for j: =2 to n do

begin

T [0]: =1;

T [1]: =Arr_X [i];

T [j]: =2*Arr_X [i] *T [j-1] - T [j-2];

end;

write ('x=', Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [', n,'] =', T [n]: 8: 2);

end;

end;

if n=0 then

for i: =1 to c+1 do

begin

write ('x=', Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [', n,'] =', 1);

end;

if n=1 then

for i: =1 to c+1 do

begin

write ('x=', Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [', n,'] =', Arr_X [i]: 8: 2);

end;

readln;

end.

9. Заключение

В процессе работы мы познакомились с многочленами Чебышева 1-ого. На конкретных примерах рассмотрели применение исследуемых многочленов, а именно, интерполирования различных функций. Привели графики функций многочлена, рассмотрели случай произвольного отрезка, реализовали компьютерную программу по вычислению значений, определили вид дифференциального уравнения для многочлена Чебышева.

Исследуемые многочлены часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий, поэтому изучение вида и свойств многочленов Чебышева очень важно на данном этапе изучения математического анализа.

Список используемых источников

1. П. Л. Чебышев «Избранные труды» том 2, издательство академии наук СССР, Москва 1955;

2. Чебышев П. Л. «Научное наследие П. Л. Чебышева. Математика.» Выпуск 1 (1945).

3. С. Л. Табачников «Многочлены», издание второе пересмотренное, Фазис Москва 2000г

4. А. А. Самарский, А. В. Гулин «Численные методы»; Москва «Наука» главная редакция физико-математической литературы 1989 год

5. Вержбицкий В. М. «Численные методы» (М., «Высшая школа», 2001)

6. Прасолов В. В. «Многочлены» (М., «Просвещение», 2000)

Приложение

Рис. - График многочлена Чебышева 1-ого рода