§ 0.1. Краткие исторические сведения.
Диссертация посвящена исследованию граничного поведения интеграла типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой. Эти вопросы вызывают большой интерес в комплексном анализе, в том числе, в связи с решением краевых задач для голоморфных функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [1], [2]). В этой области имеется огромное количество различных достижений. Однако для понимания результатов необходимо процитировать некоторые из них. Пусть Г есть простая спрямляемая кривая на комплексной плоскости. Тогда для любой заданной на Г непрерывной функции f{t) интеграл типа Коши f ««> существует и представляет собой голоморфную в СГ функцию. Обозначим через.
С+(Г, /- t) = lim С (Г, /- z), С" (Г, /- t) = lim С (Г, /- г) z—bt Z—bt пределы, получающиеся при стремлении точки 2 к точке t Е Г слева и справа соответственно.
Хорошо известно, что интеграл (0.1) по замкнутой кусочно-гладкой кривой Г имеет непрерывные граничные значения на Г, если его плотность f (t) удовлетворяет условию Гельдера с каким-либо показателем и G (0,1].
Как отмечается в книге [2], этот факт был известен еще Гарнаку, Морера и Сохоцкому. Ниже через Ни (Г) будем обозначать пространство Гельдера, т. е. множество всех заданных на Г функций, удовлетворяющих условию (0.2). Теорема Гарнака-Морера-Сохоцкого была в дальнейшем уточнена И. И. Приваловым [3]. Он установил, что при условии / G НДГ),^ < 1, граничные значения интеграла типа Ко-ши по кусочно-гладкой кривой Г не только непрерывны, но и сами принадлежат классу Н"{Г). Если дуга Г не замкнутая, то для непрерывности интеграла типа (0.1) на ее концах необходимо дополнительно потребовать, чтобы плотность / не обращалась в нуль в концевых точках Гв остальном формулировка теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого и теоремы Привалова для разомкнутых дуг не отличается от их формулировки для замкнутых кривых. Почти сразу после доказательства теоремы И. И. Привалова начали появляться разные ее обобщения для негладких кривых. Первые результаты в этой области были получены Н. А. Давыдовым [4], а одним из наиболее важных достижений последнего времени является теорема, доказанная в 1979 году Е. М. Дынькиным [5] и независимо от него Т. Салимовым [6]. Эта теорема дает оценку для модуля непрерывности интеграла (0.1) по спрямляемой (вообще говоря, негладкой) кривой Г через модуль непрерывности его плотности / и некоторые величины, характеризующие метрические свойства Г. Простейшие следствия этой оценки таковы: а) если / G Н^Т) при и > ½, то граничные значения С±(Г, fz) существуют и непрерывны без дополнительных ограничений на спрямляемую кривую. Этот результат вместе с утверждением о его неулучшаемости (см. ниже) может рассматриваться как решение вопроса о возможности перенесения теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого на произвольные негладкие спрямляемые кривыеб) если кривая Г удовлетворяет условию ©-г (^) ~ т, где ©-г (г) есть максимальная (по (G Г) суммарная длина дуг Г, лежащих в круге z — < г, то граничные значения (0.1) с плотностью / 6 ^(Г) существуют при каком-либо г/ 6 (0,1], причем при г/ < 1 справедливы включения С±(Г, fz) 6 это прямое обобщение теоремы И. И. Привалова.
Если 6 Г = 0(гА), О < Л < 1, то теорема Дынькина-Салимова дает нижнюю границу для тех показателей и, для которых из включения /? Н"(Г) следует существование граничных значений интеграла (0.1) и верхнюю границу для гельдеровских показателей этих граничных значений. Е. М. Дынькин [5] установил, что эти результаты неулучша-емы в терминах модулей непрерывности и используемых в этой работе метрических характеристик кривой Г. В частности, для произвольного фиксированного v 6 (0,½] он построил такую кривую Г и такую, заданную на ней функцию f" G HV{T), что интеграл (0,1) с Г = / / = f" теряет непрерывность в одной из точек интегрирования. Конструкция этой кривой и функции такова. Кривая Г состоит из двух частей: из лежащей в верхней полуплоскости и соединяющей точки 0 и 1 пилообразной ломаной, состоящей из бесконечного числа горизонтальных и вертикальных отрезков, сгущающихся к точке 0, и из соединяющих точки 0 и 1 гладкой дуги, лежащей в нижней полуплоскости, таким образом, часть этой кривой, расположенная вне любой окрестности нуля, состоит из конечного числа отрезков и гладких дуг. Далее, функция / в работе [5] определяются равенством fu (x 4- iy) = х + гу Е Г&bdquo-, где график заданной на вещественной оси функции /* также представляет собой ломаную с бесконечным числом звеньев, сгущающихся к точке нуль. Таким образом вне нуля эта функция удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1 (т.е. условию Липшица).
При надлежащем выборе обеих этих ломаных интеграл (0.1) теряет непрерывность в точке 0. Таким образом, теорема Дынькина-Салимова оказалась неулучшаемой даже в классе кривых и функций, негладкость которых сосредоточена в одной точке. Отметим, что условия существования граничных значений интеграла типа Коши и их свойства описываются в работах [5], [б] в терминах длин. То же относится ко всем другим известным нам работам в этой области. Несколько позднее Б. А. Кац исследовал интеграл типа Коши (0.1) на неспрямляемой кривой [7]. Он показал в каком классе и при каких условиях этот интеграл существует и доказал, что этот интеграл непрерывен вплоть до границы, если плотность f (t)? HV{T), v > а/2, а € [1,2), где, а — верхняя метрическая размерность кривой Г (или фрактальная размерностьсм. § 0.3).
Заметим, что результат Б. А. Каца, указанный выше, также неулучшаем по всему классу размерности, а в целом. В то же время, эти результаты не исключают существования негладких и неспрямляе-мых кривых, по которым интеграл типа Коши (0.1) с плотностью f (t) 6 ^(Г) имеет непрерывные предельные значения на кривой с обеих сторон, несмотря на то, что приведенные выше условия v > ½ и v > а/2 не выполняются.
Одной из классических областей приложения теории интеграла типа Коши является решение краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений.
Задача Римана является одной из классических краевых задач теории аналитических функций и имеет многочисленные приложения в различных областях математики и физики. История исследования этой задачи до середины 70-ых годов подробно освещена в монографиях Ф. Д. Гахова [1] и Н. И. Мусхелишвили [2]. Отметим, что основополагающий вклад в разработку теории краевой задачи Римана внесли советские математики, в первую очередь, авторы этих монографий, ими были получены вполне законченные результаты о картине разрешимости задачи Римана на конечном числе гладких кривых с гель-деровскими коэффициентами. Дальнейшее развитие краевой задачи Римана шло, в основном, по двум путям.
I. Ослабляются требования на коэффициенты задачи Римана: рассматриваются случаи, когда коэффициенты задачи принадлежат пространству Lp или имеют особенности в конечном числе точек (работы Хведелидзе Б. В. [12], Симоненко Н. Б. [16], [17], Говоров Н. В. [18], Данилюк И. И. [19] и др.).
И. Рассматриваются контуры более общего типа: негладкие, неспря-мляемые, состоящие из счетного множества кривых, сгущающихся к точке либо к континууму (работы Н. И. Ахиезера [20], Карцивадзе И. Н., Хведелидзе Б. В. [21], Фрейдкин С. А. [22], Пааташвили В. А. [23], Айзенштат А. В. [24]). Значительный вклад в исследование задачи Ри-мана на счетном множестве кривых внесла школа Л. И. Чибриковой [25], И. Г. Салехова [29], Кулагина М. Ф. [28] и др. В работе Б. А. Каца [10] по разрешимости задачи Римана на произвольной жордановой кривой был определен метод регуляризации квазирешения, который успешно применялся затем при решении многих краевых задач [30], [34], [35] и др.
Практически все достижения в решении краевой задачи Римана приводили к подтверждениям в исследовании сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. их история также отражена в выше упомянутых работах.
В настоящей работе накладываются условия на негладкую кривую Г совсем иного характера. Их можно трактовать как условия малости площадей или иных геометрических характеристик областей, заключенных между Г и некоторой гладкой дугой.
Основные результаты содержатся в следующих двух теоремах.
Теорема 6.3 Если функция f® непрерывна на гладкой кривой Г, то предел (4−3) существует и равен значению функции в каждой точке t Е Г за возможным исключением концов Гесли кривая разомкнута.
Теорема 6.4 Если функция f (t) интегрируема на гладкой кривой Г, то предел симметрической разности интеграла типа Коши при h —> 0 существует в каждой точке Лебега этой функции и равен значению функции в этой точке.
Для доказательства этих теорем понадобятся некоторые сведения из теории сингулярного интеграла в смысле Лебега ([13], гл. 10, § 1, в точке xq. Тогда для любого е > 0 существует > 0, что при всех х, таких, что неравенство |f (x) + iY{x) — f (x0 + гУ (а-0))| < е. При (5 < <5(е) имеем.
2). Отметим, что, в отличие от [13] мы рассматриваем не последовательности, а семейства функций, зависящие от вещественного положительного параметра h.
Определение 6.3. Семейство функций Ф/Дх, ?), h G R+, заданных на квадрате (0 < х < 1,0 <? < 1), называется ядром, если.
1) функция Ф/Дгг, ?) суммируема по х при произвольном фиксированном.
2) 2.
Km J ФЛ (х, 0^ = 1 (6.5) 1 для любых «1, «2-* О < с*1 <? < <*2 < 1.
Определение 6.4. Функция называется горбатой мажорантой функции Ф/^а-,^), если.
2) ?) при фиксированном? возрастает на [0, гг] и убывает на 1]. 1.
Интеграл вида f Фк (х,?)ф (х)с1х, где — ядро в смысле опрео деления 3, называют сингулярным интегралом по Лебегу (см., напр., [13], гл. 10, § 1). Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные применения. Эта теория устанавливает связь предельных значений интеграла Фh{x,£)g{x)dx J о со значением функции д (х) в точке т. е.
Km [ Фл (х, ?)g (x)dx = д (х), h—>-0+ J о где Фл (:г, С) — ядро. Это справедливо для точек непрерывности и точек Лебега интегрируемых функций. В дальнейшем используется следующая теорема.
Теорема Д. К. Фаддеева ([3], гл. 10, § 2). Если ядро Фл (я-,?) при каждом h имеет горбатую мажоранту такую, что 1.
J 4>h (x, Z) dx < < +оо, (6.6) о где В (£) зависит лишь от то для любой суммируемой функции д{х), имеющей точку х =? точкой Лебега, 1 fclim J ФнЫ) д (х) dx = д (£). (6.7) о.
Для упрощения вычислений без ограничения общности можно считать, что.
1) Г — разомкнутая гладкая кривая, и t — ее внутренняя точка;
2) кривая Г начинается в точке 0, а ее касательная в этой точке направлена вдоль положительного луча вещественной оси;
3) при обходе кривой Г ее касательная поворачивается на угол, меньший 7г/4. Можно представить такую кривую в виде.
Г = {(х,: х е [0,1], у = ЗГ (аг)}, 69 где Y (x) — дифференцируемая вещественная функция, У (0) = О, Г (0) = О, Y'(x) <к< 1, О < ж < 1.
Следующие результаты являются основными.
Семейство функций Ф/Дя, ?) строим следующим образом. Учитывая (6.1) и заменяя т = х + iY (x), 0 < х < 1, t =? + гУ (£), 0 <? < 1, в формуле (6.2) д фМ = 1 Г f^dT J Г f^dT = Л W 2ттг Уг т — (? -b hv) 2ттг Jr т — (t — hv) 1 ri f®T'(x)dx ~hw~iJo (r{x)-t)2(hv)-2 — 1' получим представление симметрической разности в виде 1.
АьФМ = J 0/(® Но где.
ФЛ (Х о =(1 +мхм-1 (б 8).
М’т ([х —? + i{Y{x) — У (0]2(И" 2 — 1)' Лемма 6.1 Семейство функций (6.8) является ядром.
Доказательство. Фиксируем 0 < «i < аг < 1. Учитывая (6.8) и делая замену z = [х —? + i{Y{x) — в интеграле (6.5), получим, 1? dz 1, z-lZ2. ч qj z где Zj (h) = [aj — e + - i = 1,2.
Обозначим Wj (h) = -7. Дробно-линейная функция w = -—.
3K ' Zj (h) +1 z + l отображает плоскость с разрезом вдоль отрезка [—1,1] на плоскость с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. Обозначив через a, j = ocj — f, bj = Y{ctj) — Y (?), j = 1,2 получим.
Wj (h)="ф,(Л"==ехргв.
Тогда т* /ix сё+Щ-h2.
R ewj (h)= 3 3 aj + h cos в)2 + (bj + h sin в)21 * Л. a7- sin 0 — 6, — cos 9 lmwj (h) = -2h- 3 3 djb h cos 0)2 + (bj + h sin в)2' j = 1,2. Очевидно, что при h —>¦ 0 имеем Rem, (Л) 1, Imw^/i) —>¦ 0.
Тогда |wj (/i)| = yjReWj (h)2 + ЬпгиДА)2 —>¦ 1. Следовательно, In jjJJ- —>
О при h 0. arg^i (/i) —7Г, a, ig w2(h) —>• 7r при Л- —>• 0, т. е. разность argw2(A) — argw (h) —У 2тг. Тогда га 2 lim / ФЛ (х, ?)<*& =.
Л-«0+ yaii-: lim [In w2(h)/wi (h) + i (aigw2(h) — arg = 1.
Z7TI ft—>0+.
Лемма 6.1 доказана.
Теперь найдем горбатую мажоранту Фл (аг, ?) ядра Фд (:с,?). Очевидно, что (1-h А:2)½, где |У (а-)| <^<1,0<аг<1. Рассмотрим ядро (6.8).
1 + iY'(x).
— ht/ni^x +у (х) — Y (e))2(hv)-2 — 1)' (}.
Обозначив, а = х — b = Y (x) — У (£), запишем ядро в виде.
7гг (а + гб)^^2 71.
Оценим сверху модуль ядра. Очевидно, что |1 + iY'{x) < (1 + к2)1'2 < /2, v = | ехр (г'0)| = 1. По формуле Лагранжа существует х € такое, что Ь = Y (x)—= Y'(x)(x—?) = ка, где к = Y'{x). Введем обозначения: z = (а + ib)2h~2, Z2 = v2 и рассмотрим квадрат модуля знаменателя ядра zi — Z2I2 = zi2 + z22 — 2|zi||z2| cos = (a2 + b2)2h~4 + 1 + 2(a2 + b2) h~2{- cos cp) > (a2 + b2)2h~* + 1 — 2(a2 + b2) h~2^ = [{a2+b2)2h~2 — -bl/2 = [h-2{x-Q2{l+k2)-±]2 + l/2 [h~2(x — i)2 — + ½. Следовательно, л/2 h~l.
7 Г ([h-2(x02^]2 + l/2)l/2.
Обозначим правую часть последнего неравенства через.
Фл (*, е)| (6.12).
Лемма 6.2. Функция Ф^гт, ?) является горбатой мажорантой функции и удовлетворяет условию (6.6).
Доказательство. Очевидно, что функция Ф/Дх, ?) удовлетворяет всем условиям определения 6.4. Действительно:
1) |ФА (аг, 0|<�Фл (а, 0,.
2)Ф/1(х, при фиксированном? возрастает на [0, х] и убывает на [х, 1]. Сделав замену и = h~l (x — ?) в интеграле (6.6), получим Фл (х, fld* = ^ J——^—— < u1 yfl d < -1 1/Л+ФУ" < +0°' (6ЛЗ) где ui = — u2 = Д1(1 — ?), зависят только от? при каждом фиксированном Д. Таким образом, условие (6.6) выполнено, т.к. несобственный интеграл сходится по известному признаку сходимости.
Докажем сначала теорему 6.3. Пусть f (t) = /(£+гК (£)) непрерывна в точке? 6 (0,1). Чтобы доказать существование Ишд^о Д/гФ (Ои равенство его значений функции f (t) в каждой точке t € Г, рассмотрим разность гь — ДьФ (£) — f (t), t = f + Е Г. Учитывая, что сингулярный интеграл /0г Ф/Дгг, ?)f (x)dx, где Фл (х,?) — ядро в смысле определения (6.3), запишем разность тн = ДлФ (0 — /(*) = ДЛФ («) — /(f) [1 ФА (х, ОЛ: = о Г *h (x,?)(f (x + iY (x) -/K + «r (0)cfa. Jo.
Покажем, что —"• 0 при h —> 0. По определению непрерывности функции /(t) = /(? + iV (O) точке t =? + имеем: для любого > 0 существует J > 0 такое, что при х — f | < 5 будет.
Считая, что 0<ж — <5<а: + 5<1, разобьем интервал (0,1) на три интервала (0,х — 5), (х — 5, х Ч- 5) и (хЬ 6,1), соответственно введем обозначения = rj^ + rj^ + г^К В силу (6.12) и (6.13) имеем.
И>2)| < Г+б |ФЦх, ОП/(х + iY (x)) — /(? + iY (0)dx <
Jx—5 мажоранта ядра. Далее, учитывая (6.12) и (6.11), при х —? > <5|, получим при h «5 01 < *"(х,&euro-) = < уДh 7 г ([(?2 — h2/V2)}2 + ^2/2)½ •.
Тогда.
J о ~ J*~S I f{x + iY{x)) — /(? 4- < Ml W, где A{h) не зависит от h. Аналогично доказывается, что r^ < hA2(5), где А2{8) не зависит от h. При достаточно малом h «5 можно сделать h (Ai (5) + А2(5)) < 2е, т. е. г^ + г£3) < 2е. Итак, rh < Зг, т. е. ть —> 0 при h —У 0. Теорема 6.3 доказана.
Докажем теперь теорему 6.4. Простые вычисления показывают, что если t — точка Лебега функции f, TOX = Ret — точка Лебега функции g (x) = f (x-hiY (x)). В силу леммы 6.2 ядро Фь (х,?) имеет горбатую мажоранту, удовлетворяющую условиям теоремы Д. К. Фаддеева. Следовательно, соотношение (6.7) справедливо и теорема 6.4 доказана.
Если функция / непрерывна на гладкой кривой Г, то каждая точка кривой, за исключением концов, является ее точкой Лебега. Отсюда следует справедливость теоремы 6.3.
Следствие 6.1. Если функция f (t) непрерывна и в какой-то точке t 6 Г существует предельное значение по нормали к кривой Г интеграла типа Коши (6.1) с одной стороны, то существует предельное значение его по нормали к кривой и с другой стороны.
Имеет место и более сильный результат, когда функция f (t) интегрируема.
Следствие 6.2. Если функция д (х) интегрируема на кривой Г ив некоторой лебеговой точке х =? функции д (х) существует предельное значение по нормали к кривой Г интеграла типа Коши (6.1) с одной стороны, например, то и с другой стороны существует предельное значение Ф~(t) по нормали к кривой Г.
Отметим, что в книге [11] предлагается задача, близкая по формулировке теоремы 6.3, однако доказательство этого утверждения там не приводится. Что же касается теоремы 6.4, то она, насколько известно является новым результатом.
ГЛАВА II.
