Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для гиперболического уравнения с оператором Бесселя

Теория краевых задач для вырождающихся и сингулярных гиперболических уравнений представляет собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется ее многочисленными приложениями в газовой динамике, теории оболочек, магнитной гидродинамике, а также других областях науки и техники.

Основы этой теории заложены в хорошо известных работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф. И. Франкля, А. Ф. Бицадзе, К.И. Ба-бенко и других отечественных и зарубежных авторов.

Известно, что уравнения вида.

Л л w-ABu = 0, где Дв = Да-' + ВХр, Ах> - оператор Лапласа, Ву = + ~ сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися гиперболическими уравнениями. Поэтому теория гиперболических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя Ву, тесно связана с теорией вырождающихся гиперболических уравнений.

Интерес к уравнениям гиперболического типа поддерживается не только необходимостью решения задач прикладного характера, связанных с различного рода волновыми и колебательными процессами, но и интенсивным развитием теории уравнений смешанного типа, которое тесно связано с изучением эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области.

В областях своей гиперболичности многие уравнения смешанного типа сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу: например, уравнение Кароля, обобщенное уравнение Трикоми и ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка. Практическая значимость уравнения Эйлера-Дарбу способствует развитию новых краевых задач, поставленных именно для этого уравнения. Работу в этом направлении вели такие авторы, как А. В. Бицадзе, А. А. Самарский, A.M. Нахушев, В. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев, А. А. Андреев, Р. С. Хайруллин и др.

Вырождающиеся и сингулярные гиперболические уравнения обладают той особенностью, что для них не всегда имеет место корректность задачи Коши. Задача Коши в обычной постановке может оказаться неразрешимой, если гиперболическое уравнение вырождается вдоль линии, являющейся одновременно характеристикой, или коэффициенты гиперболического уравнения при младших членах сингулярны.

В 80-х годах появились первые работы, в которых исследовалась корректность постановок задач Коши, Гурса и Дарбу для модельных вырождающихся систем гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Корректность классических задач Коши, Коши-Гурса рассматривалась в работах В. Л. Спицына и А. Ю. Сеницкого для частных и специальных случаев матричных параметров системы уравнений ЭПД.

С.А. Терсенев с помощью общего решения уравнения, ч д2 кди. установил, что задача Коши для этого уравнения с обычными начальными условиями поставлена некорректно и указал в зависимости от значений к некоторые виды начальных условий, с которыми задача Коши поставлена корректно.

В данной работе указан при 0 < к < 1 еще один вид начальных условий, с которыми задача Коши поставлена корректно.

Получению фундаментальных решений для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, начиная с исследований Н. Цейлона, посвящено большое количество работ. В. А. Боровиковым получено представление фундаментального решения для однородных операторов с постоянными коэффициентами довольно общего вида.

В работе И. А. Киприянова рассмотрены однородные В-гипер-болические операторы с постоянными коэффициентами, когда оператор Бесселя действует по временной переменной, где формулы для фундаментальных решений получены с помощью регуляризации соответствующих интегральных представлений, имеющихся в эллиптическом случае.

Результаты настоящей работы могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для В-гиперболичес-ких и сингулярных гиперболических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа, применяемых при решении многих вопросов прикладного характера.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т.1. — М.: Наука, 1973. — 296 с., шш.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т.2. — М.: Наука, 1974. 296 с., илл.

3. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.

4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. С. 40−84.

5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. 448 с.

6. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — Ч.1. М.: ИЛ, 1949.

7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.

8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

9. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. — Самара, 1994. -32с.

10. Волкодавов В. Ф., Николаев H. Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-ПуассонаДарбу. — Куйбышев, 1984. 80 с.

11. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

12. Гафурова С. М. О существовании единственного решения задачи Коши для одного В-гиперболического уравнения/ Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 10 с. — Библиогр.: 3 назв. — Деп. в ВИНИТИ 04.07.00, 1859 — В00.

13. Гафурова С. М. Осесимметричная задача Коши для волнового уравнения// Труды математич. центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10−3.10.2000)). — Т.5. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. С. 66−67.

14. Гафурова С. М. Решение задачи Коши для волнового уравнения с оператором Бесселя методом усреднения// Труды одиннадцатой межвузовской конференции. — Самара, 2001. С. 3941.

15. Гафурова С. М. Решение смешанной задачи для В-гиперболи-ческого уравнения в прямоугольнике методом Фурье// Трудыдвенадцатой межвузовской конференции. — Самара, 2002. С. 30−33.

16. Гафурова С. М. Решение смешанной задачи для В-гиперболи-ческого уравнения в полукруге методом Фурье// Труды Меж-дунар. науч. конференции. — Самара, 2002. С. 69−73.

17. Гафурова С. М., Мухлисов Ф. Г. Потенциалы для некоторых сингулярных волновых уравнений// Сборник научных трудов «Неклассические уравнения математической физики». — Новосибирск: Издательство Института математики СО АН РФ, 2002.

18. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений// Успехи матем. наук.1960. — Т.15. — 2. С. 97−154.

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М., 1961. 704 с.

20. Киприянов И. А., Иванов JI. А. Фундаментальные решения однородных В-гиперболических уравнений// Сибирский математический журнал. — 1980. — Т.21. — 4. С. 95−102.

21. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя// ДАН СССР. — 1966. — Т.170. — 2. С. 261−264.

22. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений// Дифференц. уравнения. — 1967.Т.З. — 1.-С. 114−129.

23. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. — М.: ФМ, 1962. 768 с.

24. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 712 е., илл.

25. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. — Казань: Изд-во Казанского унив-та, 1970. 248 с.

26. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. 832 с.

27. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. — Москва, 1953. 280 с.

28. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье// Успехи матем. наук. — 1951. — Т.6. — 2. -С. 102−143.

29. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы// Дифференциальные уравнения. — 1985. — Т.21. — 6. С.1020−1032.

30. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. 576 е., илл.

31. Мухлисов Ф. Г. Уравнения математической физики: Учебное пособие. — Казань: КГПУ, 2000. 91 с.

32. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка// Матем. сб. — I960. — Т.50. — Вып.З. С.335−368.

33. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

34. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — Т.З. — М., 1950.

35. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966. 292 с.

36. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — М.: Наука, 1964. 206 с.

37. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М., 1979. 416 с.

38. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе. — Новосибирск, 1973. 144 с.

39. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. 736 е., илл.

40. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т.З. — М., 1949. 784 с. 672 с.