Модели и методы принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Курсовая работа Модели и методы принятия решений Выполнила: Токарева О.П.

Заочная форма обучения Курс V

Специальность 210 100

№ зачетной книжки 602 654

Проверил: Цыганов Ю.К.

Москва

Задание на курсовую работу по дисциплине «Модели и методы принятия решений»

Вариант 4

Задача 1.

Решить графоаналитическим методом.

min (X) = - 3×1 — 2x2

при 2×1 + x2 2

x1 + x2 3

— x1 + x2 1

X 0

Задача 2.

· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.

· Решение проиллюстрировать графически.

extr (X) = x12 + x22

при x12 + x22 — 9×2 + 4,25 = 0

Задача 3.

· Решить на основе условий Куна-Таккера.

· Решение проиллюстрировать графически.

extr (X) = x1x2

при 6×1 + 4×2 12

2x1 + 3×2 24

— 3×1 + 4×2 12

Задача 4.

· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

· Решить задачу средствами MS Excel.

· Решение проиллюстрировать графически.

max (X) = 2×1 + 4×2 — x12 — 2×22

при x1 + 2×2 8

2x1 — x2 12

X 0

Задача 1

Решить графоаналитическим методом.

min (X) = - 3×1 — 2x2

при 2×1 + x2 2

x1 + x2 3

— x1 + x2 1

X 0

Решение:

Построим линии ограничений:

Примем: 2×1+х2=2 (a)

х1+х2=3 (b)

— х1+х2=1 (c)

экстремум функция минимизация алгоритм Получаем три прямые a, b и c, которые пересекаются и образуют треугольник соответствующий области которая соответствует первым трем ограничениям, добавляя четвертое ограничение получаем четырехугольник ABCD — допустимая область значений, в которой надо искать минимум (на рисунке эта область не заштрихована).

Рис. 1

Примем целевую функцию равной нулю (красная линия d) тогда градиент имеет координаты (-3;-2). Для того, чтобы найти минимум целевой функции будем перемещать график линии d параллельно самой себе в направлении антиградиента до входа ее в область ограничений. Точка в которой область войдет в допустимую область и будет искомой точкой минимума целевой функции. Это точка В (0,33; 1,33). При этом целевая функция будет иметь значение:

Темно-синяя линия на рисунке (е).

Задача 2.

· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.

· Решение проиллюстрировать графически.

extr (X) = x12 + x22

при x12 + x22 — 9×2 + 4,25 = 0

Решение:

Составим функцию Лагранжа

h (X)=x12 + x22 — 9×2 + 4,25=0

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:

Решим данную систему уравнений:

Разложим на множители 1 уравнение системы:

Предположим, что, тогда. Подставим во второе уравнение:

2x2 — 2×2 + 9 = 0

9 = 0 не верно, следовательно принимаем, что

а

Подставляем в третье уравнение:

Решая это квадратное уравнение получаем, что Подставляем эти значения во второе уравнение:

1.Подставим первый корень, получаем

2. Подставим второй корень, получаем

— кривая a (окружность)

— кривая b (окружность) Задача 3

· Решить на основе условий Куна-Таккера.

· Решение проиллюстрировать графически.

extr (X) = x1x2

при 6×1 + 4×2 12

2x1 + 3×2 24

— 3×1 + 4×2 12

Решение:

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа:

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:

Решим данную систему уравнений:

1.Предположим, что, тогда из уравнения 5 получим:

Предположим, что, тогда из уравнения 1 получим:

Пусть, тогда из уравнения 2 получаем:

Это решение не удовлетворяет условиям задачи: (Х?0)

2.Предположим, что и, тогда из уравнения 1 получим:

Предположим, что, ,, выразим из второго уравнения :

Подставим в 3 уравнение:

Получаем, ,

В этой точке функция равна минимальному значению

3. Предположим, что, и, тогда из второго уравнения получим:

Предположим, что, и, тогда из второго уравнения следует:

Подставим в четвертое уравнение:

Получаем:, ,

В этой точке функция имеет максимальное значение:

Прямая, а соответствует графику функции 6×1+4×2=12

Прямая b — графику функции 2×1+3×2=24

Прямая с — графику функции -3×1+4×2=12

Прямая d — графику функции

Прямая е — графику функции Задача 4

· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

· Решить задачу средствами MS Excel.

· Решение проиллюстрировать графически.

max (X) = 2×1 + 4×2 — x12 — 2×22

при x1 + 2×2 8

2x1 — x2 12

X 0

Решение:

1. Найдем выражение вектор функции системы:

Составим функцию Лагранжа:

Вектор функция системы:

2. Составим матрицу Якоби

=