Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.

Гомель 2005

• Перечень условных обозначений
• Введение
• 1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
• 2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
• 3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
• 4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
• Заключение
• Литература

Перечень условных обозначений В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

— пустое множество;

— множество всех для которых выполняется условие ;

— множество всех натуральных чисел;

— множество всех простых чисел;

— некоторое множество простых чисел, т. е. ;

— дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число — любое число вида ;

Пусть — группа. Тогда:

— порядок группы ;

— порядок элемента группы ;

— единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

— множество всех простых делителей порядка группы ;

— множество всех различных простых делителей натурального числа ;

— группа — группа, для которой ;

— группа — группа, для которой ;

— подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

— подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

— наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа группы ;

— коммутант группы, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

— -ый коммутант группы ;

— наибольшая нормальнаяподгруппа группы ;

— -холловская подгруппа группы ;

— силовскаяподгруппа группы ;

— дополнение к силовскойподгруппе в группе, т. е. -холловская подгруппа группы ;

— группа всех автоморфизмов группы ;

— является подгруппой группы ;

— является собственной подгруппой группы ;

— является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;

— является нормальной подгруппой группы ;

— подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;

— индекс подгруппы в группе ;

;

— централизатор подгруппы в группе ;

— нормализатор подгруппы в группе ;

— центр группы ;

— циклическая группа порядка ;

— ядро подгруппы в группе, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .

Если и — подгруппы группы, то:

— прямое произведение подгрупп и ;

— полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

— и изоморфны.

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

— подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .

где .

Группу называют:

— замкнутой, если силовскаяподгруппа группы нормальна в ;

— нильпотентной, еслихолловская подгруппа группы нормальна в ;

— разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либогруппы, либогруппы;

— сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либогруппой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.

разрешимой, если существует номер такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из, что .

Минимальная нормальная подгруппа группы — неединичная нормальная подгруппа группы, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

— цоколь группы .

Экспонента группы — это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого ;

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

— класс всех групп;

— класс всех абелевых групп;

— класс всех нильпотентных групп;

— класс всех разрешимых групп;

— класс всехгрупп;

— класс всех сверхразрешимых групп;

— класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации — это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть — некоторый класс групп и — группа, тогда:

— -корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если — формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если — формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .

Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Произведение формаций и состоит из всех групп, для которых, т. е. .

Пусть — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называетсяабнормальной, если .

Подгруппы и группы называются перестановочными, если .

Пусть, -подгруппы группы и. Тогда называется:

(1) -перестановочной с, если в имеется такой элемент, что ;

(2) наследственноперестановочной с, если в имеется такой элемент, что .

Пусть — максимальная подгруппа группы. Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора, где и, и обозначают символом .

Подгруппа группы называетсямаксимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в, если в найдется такая максимальная подгруппа, в которой является максимальной подгруппой. Аналогично определяютмаксимальные (третьи максимальные) подгруппы, -максимальные подгруппы и т. д.

Введение

Подгруппы и группы называются перестановочными, если. Подгруппа группы называется перестановочной или квазинормальной в, если перестановочна с каждой подгруппой группы .

Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С. А. Чунихина. Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеляквазинормальными. В 60−70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы группы факторгруппа нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любаяквазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если порождается своимиэлементами иподгруппа группыквазинормальна в, то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы факторгруппа абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.

Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э. М. Пальчик исследовал свойстваквазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы. Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если — квазинормальная подгруппа конечной группы, то факторгруппа содержится в гиперцентре факторгруппы, где — ядро подгруппы. Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.

Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960;1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны с силовскими подгруппами из, и группа разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа и такое ее дополнение, что перестановочна со всеми максимальными подгруппами из. Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы при условии, что, где все подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из. Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .

В работе Го Вэньбиня, Шама и А. Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы и называютсяперестановочными, где, если в имеется такой элемент, что. Используя понятиеперестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иныхперестановочных подгрупп для подходящих. Согласно, группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппыперестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминахперестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом. Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовскихподгрупп не превосходит 2 и теорема О. Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.

По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применениямаксимальных, -максимальных и т. д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строениемаксимальных, -максимальных и т. д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем, а в работе Л. А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая еемаксимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .

Оказалось, что группы, у которых всемаксимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В. А. Белоноговым. Группы, у которых всемаксимальные подгруппы абелевы, были описаны Я. Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В. Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все ихмаксимальные подгруппы сверхразрешимы.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов омаксимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего, в которых на языкемаксимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется одно из двух условий или. В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такаямаксимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси отмаксимальных подгрупп их силовских подгрупп.

Пусть и — подгруппы группы. Тогда подгруппа называетсяперестановочной с, если в найдется такой элемент, что. В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условияперестановочности длямаксимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .

Пусть — набор всехмаксимальных подгрупп группы .

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из, существенно определяют строение основной группы. В работе Л. Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех, где. В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы сперестановочнымимаксимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу. Пусть — произвольная максимальная в подгруппа и — произвольнаямаксимальная подгруппа. Тогда максимальна в имаксимальна в, а значит, по условию подгруппаперестановочна с подгруппой. Но тогда, согласно лемме, подгруппаперестановочна с подгруппой. Итак, условие теоремы выполняется в. Но и поэтому согласно выбора группы, мы имеем (1).

(2) - разрешимая группа.

Если в группе существует единичнаямаксимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе всемаксимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы группы,. Пусть — максимальная подгруппа группы. Тогда по условию для каждого, мы имеем. Ввиду леммы, и, следовательно,. Значит,. Поскольку, то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что — разрешимая группа. Это означает, что разрешима, и следовательно, — разрешимая группа.

(3) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и - максимальная в подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму), то — единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. В силу (2), является элементарной абелевойгруппой для некоторого простого. Пусть — максимальная подгруппа в такая, что. Пусть. Ясно, что. Так как, мы видим, что. Это показывает, что и, следовательно,. Ясно, что и поэтому по выбору группы, не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе имеется максимальная подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в. Поскольку для любого , — максимальная в подгруппа и — максимальная подгруппа в, то — -максимальная в подгруппа. Если — нормальная подгруппа в, то. Значит, не является нормальной подгруппой в. Покажем, что — максимальная подгруппа группы. Пусть. Пусть — такая максимальная подгруппа группы, что. Тогда. Значит, или. Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно,. Так как, то — максимальная в подгруппа. Тогда для любого, -перестановочна с. Поскольку, то ввиду леммы (6), перестановочна с. Из максимальности подгруппы следует, что или. Если, то ввиду леммы,. Полученное противоречие показывает, что. Тогда для любого и поэтому. Следовательно,. Это означает, что — нормальная подгруппа в, противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с любой максимальной подгруппой в тогда и только тогда, когда либо нильпотентна, либо - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа группы не нормальна в , а максимальная подгруппа группы нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы следует из теоремы. Предположим теперь, что не является нильпотентной группой. Пусть — максимальная подгруппа группы, которая не является нормальной в. Пусть и — максимальная подгруппа группы. Рассуждая как выше видим, что. Следовательно,, и — циклическая примарная группа. Пусть. Покажем, что. Допустим, что. Пусть — силовскаяподгруппа группы и — максимальная подгруппа группы. Тогда — -максимальная подгруппа группы и, следовательно, по условию — подгруппа группы, что противоречит максимальности подгруппы. Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) - разрешимая группа.

Действительно, если, то каждаямаксимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы. Тогда по следствию, каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, — разрешимая группа.

Пусть теперь. Так как условие теоремы справедливо для группы, то группа разрешима и поэтому — разрешимая группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и ,

где - такая максимальная в подгруппа, что , и .

Так как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа. Из леммы вытекает, что, где — такая максимальная в подгруппа, что и. Покажем, что делит. Если не делит, то — -группа, и поэтому, что противоречит выбору группы. Итак, делит. Допустим, что. Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов. Так как группа абелева, то — сверхразрешимая группа, и поэтому. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть — -максимальная подгруппа группы и — максимальная подгруппа группы. Тогда и. Пусть — максимальная подгруппа группы такая, что является максимальной подгруппой группы. Покажем, что — максимальная подгруппы группы и — максимальная подгруппа группы. Так как, то — собственная подгруппа группы. Предположим, что в существует подгруппа такая, что. Тогда из того, что — максимальная подгруппа группы, следует, что-либо, либо. Если, то, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что. Следовательно, — максимальная подгруппа в. Рассуждая как выше, мы видим, что и — максимальные подгруппы группы. Отсюда следует, что — -максимальная подгруппа группы и — -максимальная подгруппа группы. По условию существует элемент такой, что. Следовательно,

и поэтому. Таким образом, каждаямаксимальная подгруппа группы перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы. Ввиду (2) и следствия, получаем, что, где силовскаяподгруппа нормальна в группе. Значит,, где и. Пусть — силовскаяподгруппа и — силовскаяподгруппа группы. Пусть — -максимальная подгруппа группы такая, что. Так как, то — неединичная подгруппа. Ясно, что — -максимальная подгруппа группы и — -максимальная подгруппа группы. Следовательно, по условию подгруппаперестановочна с, и поэтому для некоторого мы имеем — подгруппа группы. Поскольку, то — нормальная подгруппа в группе. Так как, то — нормальная подгруппа в группе. Получили противоречие с тем, что — минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

Если все максимальные подгруппы группы имеют простые порядки, то сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе всемаксимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа либо нильпотентна, либо, где — подгруппа простого порядка и — циклическаяподгруппа, которая не является нормальной в подгруппой (- различные простые числа). Предположим, что не является нильпотентной группой. Тогда. Поскольку, то — максимальная подгруппа группы и поэтому. Так как группа порядка разрешима, то группа разрешима. Значит, — нормальная в подгруппа и поэтому главные факторы группы имеют простые порядки. Следовательно, — сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе каждая максимальная подгруппа , индекс которой является степенью числа , нормальна в , то - -нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы факторгруппа -нильпотентна.

Пусть — максимальная подгруппа группы такая, что явяется степенью числа. Тогда — максимальная в подгруппа и является степенью числа. По условию, нормальна в, и поэтому нормальна в. Так как, то — -нильпотентная группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и - -подгруппа.

Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всехнильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и — единственная минимальная нормальная подгруппа группы. Предположим, что — -подгруппа. Тогда для некоторойхолловой подруппы группы. Поскольку ввиду (1), нормальна в, то — нормальная подгруппа в группе, противоречие. Следовательно, — элементарная абелеваподгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть — максимальная подгруппа группы, не содержащая. Поскольку абелева, то и поэтому. Это влечет. Следовательно, для некоторого. Значит, — нормальная в подгруппа и поэтому, противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть — контрпример минимального порядка.

(1) - непростая группа. Допустим, что. Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы, то по выбору группы, разрешима и поэтому — разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы перестановочна со всемимаксимальными подгруппами в .

Предположим, что всемаксимальные подгруппы группы единичны. Тогда порядок каждоймаксимальной подгруппа группы является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы либо нильпотентна (порядка или), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок. Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы, мы получаем, что разрешима. Это противоречие показывает, что в группе существует неединичнаямаксимальная подгруппа. Пусть — максимальная подгруппа группы, содержащая. Тогда для любого,. Если, то ввиду леммы,. Полученное противоречие показывает, что. Тогда, что влечет. Следовательно, — неединичная нормальная подгруппа в и поэтому группа непроста.

(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа разрешима (это прямо вытекает из леммы (3)).

(3) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где - такая максимальная в подгруппа, что .

Пусть — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как ввиду леммы, класс всех разрешимых групп cдлиной образует насыщенную формацию, то — единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. Пусть — максимальная подгруппа группы такая, что. Ясно, что. Поскольку — единственная минимальная нормальная подгруппа в, то .

(4) - разрешимая группа.

Допустим, что — неразрешимая группа. Тогда и по выбору группы мы заключаем, что — прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится средимаксимальных подгрупп группы .

Пусть — произвольнаямаксимальная подгруппа, содержащаяся в. Используя приведенные выше рассуждения, видим, что. Следовательно, порядок любоймаксимальной подгруппы группы, содержащейся в, равен простому числу. Ввиду леммы , — разрешимая группа. Пусть — максимальная подгруппа группы, содержащая. Так — простое число, то либо, либо. Пусть имеет место первый случай. Тогда, и поскольку — простое число, то — максимальная подгруппа группы. Из того, что индекс равен простому числу, следует, что — максимальная подгруппа группы и поэтому — -максимальная подгруппа в. Так как — неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа. Понятно, что — -максимальная подгруппа в и поэтому по условию перестановочна с. В таком случае,. Но — собственная подгруппа в и поэтому. Это противоречие показывает, что. Следовательно,. Поскольку — простое число, то — максимальная подгруппа в. Из того, что группа есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в имеется неединичнаямаксимальная подгруппа. Тогдамаксимальна в и следовательно,. Таким образом. Это влечет. Полученное противоречие показывает, что — разрешимая группа.

(5) Заключительное противоречие.

Из (3) и (4) следует, что — элементарная абелевагруппа для некоторого простого числа и поэтому. Покажем, что делит. Если не делит, то — -группа, и поэтому, что противоречит выбору группы. Итак, делит. Ввиду леммы, .

Пусть — произвольная максимальная в подгруппа с индексом, где и. Тогда, где — силовскаяподгруппа группы .

Предположим, что не является нормальной в подгруппой. Ясно, что — максимальная в подгруппа. Если — нормальная подгруппа в, то. Значит, не является нормальной подгруппой в. Пусть — произвольная максимальная подгруппа группы. Тогда — -максимальная в подгруппа и поэтому — -максимальная в подгруппа для любого. Поскольку по условиюперестановочна с подгруппой и, то перестановочна с подгруппой и поэтому. Ясно, что — -максимальная в подгруппа. Так как и не является нормальной подгруппой в, то и поэтому — нормальная погруппа в. Следовательно, — нормальная в подгруппа. Это влечет, что. Ввиду произвольного выбора, получаем, что каждая максимальная подгруппа группы нормальна в. Значит, — нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в нормальна в. Предположим, что. Поскольку и разрешима, то в группе существует минимальная нормальнаяподгруппа, где. Так как — максимальная в подгруппа, то. Это влечет, что. Следовательно, группа обладает главным рядом

и поэтому. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что. Пусть — такая максимальная подгруппа группы, что. Тогда. Это влечет, что противоречие тому, что .

Следовательно, — нормальная подгруппа в. Согласно лемме , — -нильпотентная группа и поэтому. Ввиду произвольного выбора, получаем, что для любого и. Ясно, что, что противоречит. Теорема доказана.

3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны смаксимальными подгруппами

Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всемимаксимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.

[3.1]. Пусть - группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы , когда группа имеет вид:

(1) — группа Миллера-Морено;

(2), где — группа кватернионов порядка , — группа порядка .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что — группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы. Докажем, что в этом случае, либо — группа Миллера-Морено, либо, где — группа кватернионов порядка и — группа порядка. Предположим, что это не так и пусть — контрпример минимального порядка.

Так как — группа Шмидта, то ввиду леммы (I),, где — силовскаяподгруппа в , — циклическаяподгруппа.

Покажем, что — группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе имеется собственная подгруппа простого порядка. Ввиду леммы (IV), и, следовательно, — нормальная подгруппа в группе и — группа Шмидта.

Понятно, что в группе каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Поскольку, то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что-либо — группа Миллера-Морено, либо, где — группа кватернионов порядка и — группа порядка .

В первом случае — абелева подгруппа и, следовательно, — группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что, где — группа кватернионов порядка и — группа порядка. Тогда, где — группа кватернионов порядка и — циклическая группа порядка. Пусть — такая максимальная подгруппа группы, что. Если, то. Поскольку — группа Шмидта, то нильпотентна, и поэтому. Это означает, что — нормальная подгруппа в группе. Полученное противоречие показывает, что. Следовательно, — максимальная подгруппа группы. Понятно, что — -максимальная подгруппа группы. Пусть — подгруппа группы с индексом. Ясно, что — -макимальная подгруппа группы. Так как по условию и перестановочны, то — подгруппа группы, индекс которой равен. Рассуждая как выше, видим, что — нормальная подгруппа группы. Полученное противоречие показывает, что — группа простого порядка.

Пусть — произвольная максимальная подгрупа в и — максимальная подгруппа в. Так как неабелева, то — неединичная подгруппа. Из того, что — максимальная подгруппа в, следует, что — 3-максимальная подгруппа в .

Ввиду леммы (II), — максимальная подгруппа в. Рассмотрим максимальную в подгруппу, такую что. Тогда

и — 2-максимальная подгруппа в. По условию подгруппы и перестановочны. Если, то используя лемму (V), имеем

Из того, что получаем, что порядок делит. Поскольку, то полученное противоречие показывает, что — собственная подгруппа группы. Следовательно, нильпотентна, и поэтому

Значит, либо — максимальная подгруппа в, либо. В первом случае получаем, что является единственной максимальной подгруппой в. Это означает, что — циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы. Следовательно, первый случай невозможен. Итак,. Ввиду произвольного выбора получаем, что — единственнаямаксимальная подгруппа в группе. Из теоремы следует, что — либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка. Так как первый случай очевидно невозможен, то — группа кватернионов порядка. Поскольку подгруппа изоморфна погруппе группы автоморфизмов, то. Полученное противоречие с выбором группы доказывает, что-либо — группа Миллера-Морена, либо, где — группа кватернионов порядка и — группа порядка .

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

. В ненильпотентной группе каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:

(1) — группа Миллера-Морена;

(2) — группа Шмидта, где — группа кватернионов порядка и — группа порядка ;

(3) и ,

где — группа простого порядка , — нециклическаягруппа и все ее максимальные подгруппы, отличные от, цикличны;

(4) ,

где — группа порядка , — группа простого порядка, отличного от ;

(5) ,

где — группа порядка, каждая подгруппа которой нормальна в группе , — циклическаягруппа и ;

(6) ,

где — примарная циклическая группа порядка , — группа простого порядка, где и ;

(7) ,

где и — группы простых порядков и (), — циклическаяподгруппа в (), которая не является нормальной в, но максимальная подгруппа которой нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Пусть — ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Если в группе все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .

I. .

Пусть — некоторая силовскаяподгруппа в и — некоторая силовскаяподгруппа в, где .

Предположим, что в группе нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа разрешима, то в существует нормальная подгруппа простого индекса, скажем индекса, и она не является нильпотентной группой. Действительно, если нильпотентна, то в ней нормальна силовскаяподгруппа. Так как, то — нормальная подгруппа в. Из того, что следует, что — нормальная силовскаяподгруппа в. Полученное противоречие показывает, что не является нильпотентной подгруппой.

Так как является максимальной подгруппой в, то по условию все 2-максимальные подгруппы группы перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы. Ввиду следствия, группа имеет вид, где — группа простого порядка и — циклическаяподгруппа.

Так как

и факторгруппа изоморфна подгруппе из, то больше .

Если — нильпотентная группа, то и поэтому согласно теореме Бернсайда, группанильпотентна. Но тогда. Полученное противоречие показывает, что является ненильпотентной группой. Так как — нормальная подгруппа в, то ввиду следствия, подгруппа имеет вид, где — циклическаяподгруппа, и, следовательно,. Полученное противоречие показывает, что в группе существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовскаяподгруппа группы. Пусть. Ясно, что .

Если в группе существует подгруппа Шмидта, индекс которой равен, то. Ввиду следствия , — группа порядка .

Пусь. Допустим, что — циклическая подгруппа. В этом случае, группа является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что — нециклическая подгруппа. Пусть — произвольная максимальная подгруппа группы, отличная от. Если — нильпотентная подгруппа, то группа нильпотентна, противоречие. Следовательно, — группа Шмидта, и поэтому — циклическая подгруппа. Таким образом, группа относится к типу (3).

Пусть. Тогда. Следовательно, — -максимальная подгруппа группы. Пусть — произвольная максимальная подгруппа группы. Если — нильпотентная подгруппа, то, и поэтому. Полученное противоречие показывает, что — группа Шмидта. Значит, — циклическая подгруппа. Пусть — произвольная максимальная подгруппа группы, отличная от. Так как, то — единственнаямаксимальная подгруппа группы. Следовательно,. Факторгруппа, где — элементарная абелева подгруппа порядка и. Так как — неприводимая абелева группа автоморфизмов группы, то — циклическая группа, и поэтому подгруппа циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе является степенью числа .

Так как в группе существуют собственные подгруппы Шмидта, то. Пусть — подгруппа Шмидта группы. Тогда для некоторого. Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому не теряя общности мы может полагать, что. Поскольку, то. Из того, что, следует, что .

Так как — максимальная подгруппа группы, то по условию 2-максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми максимальными подгруппами в. Используя следствие, мы видим, что — группа простого порядка и — циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы нормальны в. Следовательно, является максимальной подгруппой группы .

Предположим, что. Пусть — максимальная подгруппа группы. Тогда. Из того, что, следует, что — нильпотентная максимальная подгруппа в. Значит, — нормальная подгруппа в. Поскольку нормальна в, то — нормальная подгруппа группы. Так как, то в группе существует 2-максимальная подгруппа такая, что. Тогда — -максимальная подгруппа в, и следовательно, — -максимальная подгруппа в. Поскольку по условию перестановочна с, то

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы. Следовательно, .

Предположим теперь, что. Допустим, что. Пусть — произвольная максимальная подгруппа группы и — произвольнаямаксимальная подгруппа группы. Рассуждая как выше видим, что — нормальная подгруппа в группе и поэтому — подгруппа группы. Используя приведенные выше рассуждения видим, что. Полученное противоречие с максимальностью подгруппы показывает, что. Пусть — максимальная подгруппа группы, такая что. Так как, то — абелева и поэтому. Следовательно,. Так как, то. Из того, что

получаем, что, и поэтому — нормальная подгруппа в группе .

Предположим, что в группе существует подгруппа порядка, отличная от. Из того, что порядок следует, что — максимальная подгруппа группы. Отсюда следует, что — -максимальная подгруппа группы. Так как по условию подгруппы и перестановочны, то мы имеем

Следовательно, — подгруппа группы, и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе существует единственная подгруппа порядка. Ввиду теоремы, группа является либо группой кватернионов порядка, либо является циклической группой порядка. В первом случае, подгруппа порядка группы содержится в центре группы, и поэтому подгруппа не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, — циклическая подгруппа порядка. Понятно, что. Если, то подгруппа нормальна в группе, и поэтому. Полученное противоречие показывает, что. Таким образом, — группа типа (6). Пусть теперь. Если порядок, то, и поэтому — группа типа (4). Предположим, что порядок. Пусть — максимальная подгруппа группы и — максимальная подгруппа группы. Из того, что, следует, что — неединичная подгруппа. Так как подгруппа нильпотентна, то. Но как мы уже знаем, — циклическая подгруппа и поэтому. Следовательно,. Пусть — произвольная подгруппа порядка группы. Ясно, что — -максимальная подгруппа группы и — -максимальная подгруппа группы. Значит, по условию подгруппы и перестановочны. Так как — абелева подгруппа, то — нормальная подгруппа в группе. Заметим, что поскольку, то

является нормальной подгруппой в и поэтому — нормальная подгруппа в группе. Это означает, что — группа типа (5).

II. .

Пусть — некоторая силовскаяподгруппа группы , — некоторая силовскаяподгруппа группы и — некоторая силовскаяподгруппа группы, где — различные простые делители порядка группы. Пусть — произвольная нормальная максимальная подгруппа группы. Так как — разрешимая группа, то индекс подгруппы в группе равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс равен. Ввиду следствия , — либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .

1. Предположим, что — нильпотентная подгруппа. Пусть — силовскаяподгруппа группы , — силовскаяподгруппа группы и — силовскаяподгруппа группы. Тогда. Так как и, то и — нормальные подгруппы в группе. Из того, что индекс подгруппы равен, следует, что и — силовские подгруппы группы и поэтому и. Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что. Следовательно,. Ясно, что не является нормальной подгруппой в группе .

Если подгруппы и нильпотентны, то и, и поэтому — нормальная подгруппа в группе. Значит, подгруппы и не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а) и — группы Шмидта.

Так как, то ввиду следствия , — подгруппа простого порядка и — циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе, но максимальная подгруппа группы нормальна в. Аналогично видим, что — подгруппа простого порядка и — нормальная подгруппа в. Отсюда следует, что — нормальная подгруппа в, и поэтому является группой типа (7).

б) Одна из подгрупп, является нильпотентной, а другая — группой Шмидта.

Пусть например, — группа Шмидта и — нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что — группа простого порядка , — циклическая группа и максимальная подгруппа из нормальна в. Так как — нильпотентная группа, то. Из того, что следует, что — нормальная подгруппа в группе. Значит, ввиду леммы , — нормальная максимальная подгруппа в группе и поэтому. Следовательно, — группа простого порядка .

Из того, что — нильпотентная подгруппа и — циклическая группа следует, что — нормальная подгруппа в. Следовательно, — нормальная подгруппа в группе, т. е. — группа типа (7).

2. Предположим теперь, что — ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что, где — группа простого порядка и — циклическая группа, которая не является нормальной в группе, но максимальная подгруппа из нормальна в. Так как — характеристическая подгруппа в и — нормальная подгруппа в, то — нормальная подгруппа в. Из того, что — нормальная максимальная подгруппа в группе, следует, что — группа простого порядка .

Покажем теперь, что — нормальная подгруппа в группе. Так как, то — -максимальная подгруппа группы. Пусть — -максимальная подгруппа группы. Тогда — -максимальная подгруппа группы для любого. По условию — подгруппа группы. Поскольку порядок

делит, то. Таким образом для любого, т. е.. Так как — нормальная подгруппа в группе, то, и поэтому. Отсюда получаем, что — нормальная подгруппа в группе. Поскольку — -максимальная подгруппа, то согласно следствия, — нильпотентная группа, и поэтому. Это означает, что — нормальная подгруппа в группе. Таким образом, группа является группой типа (7).

Итак, — группа одного из типов (1) — (7) теоремы.

Достаточность. Покажем, что в группе каждаямаксимальная подгруппа перестановочна со всемимаксимальными подгруппами группы .

Пусть — группа типа (1) или (2). Ввиду леммы, в группе каждаямаксимальная подгруппа перестановочна со всемимаксимальными подгруппами группы .

Пусть — группа типа (3). Тогда и, где — группа простого порядка , — нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от, цикличны. Пусть .

Так как, то, и поэтому в группе существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен. Пусть — произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы с индексом. Тогда. Так как — максимальная подгруппа группы, то — нормальная подгруппа в, и следовательно,

Значит, — единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен .

Пусть — произвольная максимальная подгруппа в и — максимальная подгруппа в. Пусть — произвольная максимальная подгруппа в , — максимальная подгруппа в , — максимальная подгруппа в .

1. Если и — нильпотентные подгруппы группы индекса, то. Так как — максимальная подгруппа группы, то — нормальная подгруппа в, и следовательно, перестановочна с .

2. Предположим, что является ненильпотентной подгруппой. Так как, то. Из того, что, следует, что — циклическая подгруппа. Так как, то — максимальная подгруппа группы, и поэтому — нормальная подгруппа в группе. Из того, что, следует, что. Следовательно, — нильпотентная максимальная подгруппа группы, индекс которой равен. Если — максимальная подгруппа группы такая, что, то — -подгруппа, и поэтому — нильпотентная подгруппа. Пусть — произвольная максимльная подгруппа группы, индекс которой равен. Так как, то. Следовательно, для некоторого мы имеем. Без ограничения общности можно полагать, что. Так как — максимальная подгруппа циклической группы, то, и поэтому — нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, — группа Шмидта. Значит, и поэтому, где — циклическаяподгруппа.

Если, то. Так как — подгруппа циклической группы, то. Из того, что — максимальная подгруппа группы, следует, что — нормальная подгруппа в. Отсюда следует, что — нормальная подгруппа в группе и поэтому. Это означает, что подгруппа перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

Если, то — подгруппа циклической группы и поэтому — нормальная подгруппа в. Так как группа нильпотентна, то — нормальная подгруппа в. Отсюда следует, что — нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

3. Предположим теперь, что — нильпотентная группа, такая что, и не является нильпотентнай подгруппой. Тогда. Рассуждая как выше видим, что — группа Шмидта. Так как, то имеет вид

где — циклическаягруппа.

Если, то. Но — подгруппа циклической группы и поэтому. Из того, что — максимальная подгруппа группы, следует, что — нормальная подгруппа в. Отсюда следует, что — нормальная подгруппа в группе и поэтому мы имеем, что влечет перестановочность подгруппы со всемимаксимальными подгруппами группы, в частности с .

Если, то подгруппа содержится в некоторой силовскойподгруппе группы. Так как — максимальная подгруппа группы, то и поэтому. Следовательно, — максимальная подгруппа группы. Значит, — нормальная подгруппа в. Так как — нильпотентная группа, такая что, то. Ясно, что — нормальная подгруппа группы. Если, то имеет вид. Так как, то имеет место и поэтому