Определение вероятностей различных событий
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го — 0.85. Найти вероятность того, что в течении часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего Решение Имеем Р (А) = 0,9; Р (В) = 0,8; Р© = 0,85. ОТК проверяет изделия… Читать ещё >
Определение вероятностей различных событий (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»
Центр дистанционного образования Контрольная работа по дисциплине: Теория вероятностей по теме: вариант № 1
Екатеринбург 2013г
Контрольная работа № 1
1. Какова вероятность выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?
Решение Так как угадано 6 номеров, то число элементарных событий, благоприятных событию А, равно 6, т. е. m = 6 и общее число номеров n = 49, то вероятность выиграть главный приз в спортлото равна Р (А) = = = 0,122
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го — 0.85. Найти вероятность того, что в течении часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего Решение Имеем Р (А) = 0,9; Р (В) = 0,8; Р© = 0,85
1) Р (АВС) = Р (А)• Р (В)• Р© = 0,9• 0,8•0,85 = 0,612.
2) Р = 1 — 0,9 = 0,1 (вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение часа);
Р = 1 — 0,8 = 0,2 (вероятность того, что второй станок потребует внимания рабочего в течение часа);
Р = 1 — 0,85 = 0,15 (вероятность того, что третий станок потребует внимания рабочего в течение часа).
Тогда Р — вероятность того, что одновременно внимания рабочего в течение часа потребуют все 3 станка — определится следующим образом:
Р = Р• Р• Р = 0,1• 0,2•0,15 = 0,003.
Но событием, противоположным событию, является событие, что по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего в течение часа. Следовательно, искомая вероятность найдется по формуле:
Р = 1 — Р = 1 — 0,003 = 0,997.
Ответ: 1) 0,612; 2) 0,997.
3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0.09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3-х человек в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере, один из них будет жив Решение Имеем схему Бернулли с параметрами р = 0,009 (вероятность того, что человек умрет), n = 3 (количество человек), k (число «успехов», живых людей). Будем использовать формулу Бернулли:
Получаем:
1) = 0,729 — вероятность того, что из 3-х человек все трое будут живы через год.
2) = 1 — = 1 — = 1 — = 0,246 429 — вероятность того, что по крайней мере один человек будет жить (нашли через вероятность противоположного события).
Ответ: 1) 0,729; 2) 0,246 429.
4. Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта — 9%, третьего сорта — 14%, четвертого сорта — 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта — 0,08, для пшеницы третьего сорта — 0,04, для четвертого сорта — 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен Решение Пусть событие, А состоит в том, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. Возможны четыре гипотезы:
Н1 — колос вырастет из зерна первого сорта;
Н2 — колос вырастет из зерна второго сорта;
Н3 — колос вырастет из зерна третьего сорта;
Н4 — колос вырастет из зерна четвертого сорта;
Вероятности:
Р (Н1) = 12% = 0,12; Р (Н2) = 9% = 0,09; Р (Н3) = 14% = 0,14;
Р (Н4) = 65% = 0,65.
Условные вероятности:
Р (АН1) = 0,25; Р (АН2) = 0,08; Р (АН3) = 0,04; Р (АН1) = 0.
Тогда вероятность события, А найдем по формуле полной вероятности:
Р (А) = (АН1) • Р (Н1) + (АН2) • Р (Н2) + (АН3) • Р (Н3) + (АН4) • Р (Н4) =
= 0,25•0,12+ 0,08•0,09 + 0,04•0,14 + 0•0,65 = 0,0428
Ответ: 0,0428.
5. Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0.8, для остальных — 0.4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?
Решение Пусть событие, А состоит в том, что студент не решил задачу на экзамены.
Возможны две гипотезы:
Н1 — студент успешно написал контрольную работу;
Н2 — студент не написал контрольную работу.
Вероятности:
Р (Н1) = 30% = 0,3; Р (Н2) = 1 — Р (Н1) = 1−0,3 = 0,7.
Условные вероятности:
Р (АН1) = 0,8; Р (АН2) = 0,4.
Найдем сначала вероятность события, А по формуле полной вероятности:
Р (А) = (АН1) • Р (Н1) + (АН2) • Р (Н2) = 0,8•0,3 + 0,4•0,7 = 0,52.
Теперь найдем апостериорные вероятности того, что если студент не решил задачу на экзамене, то он не написал контрольную, по формуле Байеса:
Р (Н1А) = = = 0,4615;
Р (Н2А) = = = 0,5385.
Таким образом, вероятность того, что студент не написал контрольную работу, равна 0,5385.
Ответ: 0,5385
вероятность дискретный дисперсия случайный
Контрольная работа № 2
Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х — числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Решение Пусть Х — число стандартных изделий среди 20 проверенных. Она распределена по биномиальному закону с параметрами n = 20, p = 0,7. Веорятности найдем по формуле Бернулли:
P (X=k) = Pn(k) = = =
= ,
где k = 0, 1, 2, …, 20.
Получим ряд распределения
xi | pi | |
0,0 | ||
0,0 | ||
0,0 | ||
0,0 | ||
0,1 | ||
0,4 | ||
0,22 | ||
0,102 | ||
0,386 | ||
0,1 201 | ||
0,3 082 | ||
0,6 537 | ||
0,11 440 | ||
0,16 426 | ||
0,19 164 | ||
0,17 886 | ||
0,13 042 | ||
0,7 160 | ||
0,2 785 | ||
0,684 | ||
0,80 | ||
Расчеты произведены правильно, так как сумма = 1
Математическое ожидание:
mx = n•p = 20•0,7 = 14.
Дисперсия:
Dx = n•p•(1-p) = 20•0,7•0,3 = 4,2
Среднеквадратическое отклонение:
= .
Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F (X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (. Построить графики функций F (X) и f (X).
F (x) =
Решение
1. Найдем плотность вероятности, как производную от функции распределения:
f (x) = F?(x) =
2. Найдем математическое ожидание:
М =
М = = = =
3. Находим дисперсию:
D = •
D=•= = = 2•- + = =
4. Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (:
(= (-1; 0,5)
р () = F (
р () = F (= - 0 = 0,25
5. Построим графики функций F (X) и f (X):
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей, М., Наука, 1969
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1975
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М., Высшая школа, 1972