Определение реакции опор, расчет вала и балки на прочность, зубчатая передача

Задача 1

Определить реакции опор, А и В горизонтальной балки АВ, если на нее действует сосредоточенная сила F, пара сил с моментом m и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Исходные данные по 10 варианту приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Схема балки приведена на рисунке 1.

Рисунок 1.

Решение:

Под действием внешних сил в опорах возникают реакции RА, RВ и НВ (рисунок 2).

Рисунок 2.

Реакции опор RА, RВ определим из уравнений равновесия относительно опор, А и В.

Реакцию НА найдем, спроецировав все силы на ось Х:

Проверка:

Задача 2

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рисунок 2, 110). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов по длине вала;

2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность, полученные значения округлить;

3) построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала;

4) построить эпюру углов закручивания, приняв G0,4E. Для стали модуль упругости первого рода считать равным Е=2105 МН/м2.

Исходные данные по 10 варианту приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Схема вала с приложенными моментами приведена на рисунке 3.

Рисунок 3.

Решение Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки, затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения.

1) Для вала на рис. 3 крутящие моменты по участкам:

1-ый участок:

Т = Т4 = 1 кН•м.

2-ой участок:

Т = Т4 + Т3 = 3 кН· м.

3-ий участок:

Т = Т4 + Т3 + Т2 = 6 кН· м.

4-ый участок:

Т = Т4 + Т3 + Т2 — Т1 =0.

Полученные эпюры изображены на рисунке 4.

Рисунок 4.

2) Условие прочности вала:

где Т — максимальный крутящий момент в данном сечении;

Wx — полярный момент сопротивления сечения.

Следовательно:

Отсюда:

Окончательно принимаем d1 = 80 мм, d2 = 100 мм.

Наибольшие касательные напряжения на участках вала определяем по формуле:

Тогда напряжения кручения на отдельных участках вала равны:

По полученным значениям строим эпюру действительных напряжений кручения по длине вала (рисунок 4).

Предварительно определим полярные моменты инерции на отдельных участках вала:

Для построения эпюры углов закручивания цi достаточно вычислить перемещения сечений, являющихся границами участков.

Построение эпюры начинаем от заделки, т. е. от неподвижного сечения А, где цA = 0.

Угол поворота (закручивания) сечения В относительно сечения, А определим по формуле:

Угол поворота сечения С равен алгебраической сумме углов поворота сечения В (цВА) и сечения С относительно В (цСВ):

Аналогично определяется угол поворота сечения D:

Угол поворота сечения Е относительно сечения, А определяется в виде:

На каждом участке вала эпюра будет линейной. По полученным данным строим эпюру углов закручивания сечений вала (рисунок 4).

Задача 3

Для заданной схемы балки (рисунок 5) требуется написать в общем виде выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих в поперечных сечениях каждого участка балки, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать по таблице А1 приложения, А cтальную балку двутаврового поперечного сечения при []=160 МПа.

Исходные данные приведены в таблице 3.

Таблица 3.

Рисунок 5.

Решение Под действием внешних сил в опорах возникают реакции RА, НА и RВ (рисунок 6).

Рисунок 6.

Реакции опор RА, RВ определим из уравнений равновесия относительно опор, А и В.

Реакцию НА найдем, спроецировав все силы на ось Х:

Проверка:

Строим эпюру Q.

1-ый участок (0 < z < 3,8)

Q = q· z.

при z=0, Q=0,

при z=3,8, Q= - 49,4 кН.

2-ой участок (0 < z < 2,7)

Q = RB = 0,77 кН.

3-ий участок (0 < z < 2,5)

Q = RB + F = 0,77 + 10 = 10,77 кН.

Строим эпюру изгибающих моментов.

1-ый участок (0 < z < 3,8)

M=q· z2/2.

при z=0, M=0,

при z=3,8, M=93,86 кН· м.

2-ой участок (0 < z < 2,7)

M = RB· z.

при z=0 M=0

при z=2,7 M=2,079 кН· м.

3-ий участок (0 < z < 2,5)

M = RB· (z + 2,7) + Fz.

при z=0 M=2,079 кН· м, при z=2,5 M=29,004 кН· м.

4-ый участок (0 < z < 5)

M = RB· (z + 5,2) + F (z + 2,5) + М.

при z = 0 M = 40,004 кН· м, при z = 5 M = 93,86 кН· м.

Эпюры Q и М изображены на рисунке 7.

Рисунок 7.

На основании построенной эпюры М находим, что Мmax = 93,86 кН•м.

Допускаемое напряжение:

Отсюда:

По таблице А1 приложения, А выбираем cтальную балку двутаврового поперечного сечения № 33, с Wx = 597 см³.

Задача 4

На рисунке 8 показана схема зубчатой передачи. Входное колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость 1 и постоянное угловое ускорение 1, направленное против движения. Определить:

передаточное отношение между входным и выходным звеньями и его знак (если их оси вращения параллельны);

угловую скорость и угловое ускорение выходного звена, их направления показать на схеме передачи;

время, в течение которого угловая скорость уменьшится до нуля;

общий коэффициент полезного действия передачи.

Исходные данные к задаче приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Рисунок 8.

Решение Передаточное отношение рядной зубчатой передачи определяется по формуле:

Передаточное отношение планетарной ступени:

Передаточное отношение от колеса 6 к водилу Н при остановленном 4 звене:

u6H4 = 1 — u64H,

где

u64H = (Z5 • Z6)/(Z4 • Z5').

При Z4 = 20; Z5 = 21; Z5' = 20; Z6 = 21.

u64H = (21 • 21)/(20 • 20) = 1,1025

Отсюда:

u6H4 = 1 — u64H = - 0,1025.

Передаточное отношение планетарного механизма от водила к выходному звену при остановленном 4 звене:

uH64=1/(u644)=1/(-0,1025)=-9,76

Отрицательная величина передаточного отношения означает вращение колеса 6 в противоположном направлении относительно водила Н.

Общее передаточное отношение механизма:

КПД (учитывающий потери и в зацеплении, и в подшипниках):

для пары цилиндрических колес ц = 0,97;

для планетарной передачи с внешними зацеплениями ее колес п = 0,96.

Общий КПД передачи:

опора вал зубчатый передача

= ц4 • п = 0,974 • 0,96 = 0,849.

Угловая скорость и угловое ускорение выходного звена:

При равномерно замедленном движении угловая скорость определяется по формуле:

1. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. — М.: Наука, 1986.

2. Дарков А. В., Шапиро Г. С. Сопротивление материалов. Учебн. для вузов — изд. 4 — е перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1975. 654 с.: ил.

3. Артоболевский, И. И. Сборник задач по теории механизмов и машин / И. И. Артоболевский, Б. В. Эйдельман. — М.: Наука, 1975.