Определитель матрицы

• Задача 1
• Задача 2
• Задача 3
• Задача 4
• Задача 5

Задача 1

Вычислить определитель 4-го порядка.

Решение:

Определитель 4-го порядка находится по формуле:

где

a_ij — элемент матрицы;

М_ij — минора элемента a_ij. Минора элемента a_ij матрицы, А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы, А строк и столбцов, которые содержат элемент a_ij

Задача 2

Решить систему матричным способом.

Решение:

1. Введем обозначения:

Тогда в матричной форме система имеет вид, т. е.

А^-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица, А невырожденная, т. е.

2. Найдем определитель матрицы по формуле:

Так как, то матрица, А — невырожденная и обратная матрица А^-1 существует и единственная.

3. Найдем обратную матрицу по формуле:

где

— присоеденненая матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы, и затем транспонированная.

a. найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:

Получается матрица

b. транспонируем матрицу (т.е. матрица A^T, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)

c. обратная матрица равна:

4. Находим значение переменных х₁, х₂, х₃:

Х₁=-27, Х₂=36, Х₃=-9

Задача 3

Решить систему методом Крамера

Решение:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

1. Данную систему представим в виде матрицы:

2. Найдем определители:

(, т. е. можно применить метод Крамера)

;

.

3. Найдем значение x, y:

Задача 4

Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:

Решение:

Данную систему представим в виде матрицы:

Шаг 1.

В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а₁₁=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а₁₁. Разрешающие переменную х₁ следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Шаг 2.

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а₂₂=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а₁₁ берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

; ;

; ;

;

Шаг 3.

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а₃₃=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а₁₁=1 и а₂₂=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

;

;

;

Шаг 4.

Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:

Предполагаем, что х₄ — это любое число С, тогда

Х₁=3,8−3,4С; Х₂=23,6−7,8С; Х₃=-33+С

Задача 5

Даны векторы.

Найти:

Решение:

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой, А и конечной точкой В.

Из данных уравнений выделим координаты векторов:

где координатами являются (x, y, z)

т.е. координатами вектора являются (18,2,1), а координатами вектора являются (1,-2,17).

1. Скалярное произведение векторов находится по формуле:

2. Длина вектора определяется по формуле: