Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами
Диссертация
Подходы, основанные на связи (парности, двойственности по терминологии А. С. Алексеева) прямых и обратных задач, в математической физике и теоретической геофизике известны. Во-первых, такой подход реализован в рамках конкретной задачи — двумерной обратной кинематической задачи сейсмики — в работе А. В. Белоносовой, А. С. Алексеева, где эта обратная задача преобразуется к задаче Коши для… Читать ещё >
Список литературы
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу дифференциальных уравнений J-[u, а] О с переменными коэффициентами (параметрами) а (ж): введение
- Перечисляются основные применяемые обозначения и термины группового анализа в рамках локальных групп Ли точечных преобразований и дается краткое описание задачи группового расслоения.
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу 37 § 1.
- Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой группы при групповом анализе дифференциальных уравнений J[u, а]— О с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) а (х): введение
- Групповая классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных с двзгмя независимыми переменными, полученная Ли [290] и Л. В. Овсянниковым [188]. В частности, это касается групповой классификации уравнений с нормальной гиперболической формой, уравнения Чаплыгина К{а)фдв+фист О (Л. В. Овсянников [188]) и одномерного линейного волнового уравнения Uu—c?ix)uxx О (G. W. Bluman, S. Kumei [269]).
- Групповая классификация нелинейных уравнений теплопроводности (Л. В. Овсянников [187]), уравнений газовой динамики (Л. В. Овсянников [189, 192, 196]).
- Примеры групповой классификации многих линейных и нелинейных уравнений математической физики, систематизированные, в частности, в книгах Л. В. Овсянникова [189, 192], в трехтомной монографии [281−283] под ред. Н. X. Ибрагимова, содержащиеся в трудах международных конференций MOGRAN по современному групповому анализу [295−297] и в других работах. Поясним также сказанное, используя результаты Л. В. Овсянникова [189, 192] и приложения 1-
- Общее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с искомой функцией и{х) независимых переменных х (х, х,…, ж"), если ввести обозначения для производных Щ -:г-7) ди дx JA: ди дх дх
- Рассмотрим волновое уравнение Т и, щ, Uyy 7 у utt 0. (1.1.8) Как показано в п. 1.2 приложения 1 (см. утверждение 1.2), из системы (1.1.3)-(1.1.6) следует, что в случае произвольно заданной функции с{х, у) уравнение (1.1.8), помимо группы Т преобразований В1ща (1.1.1), допускает в пространстве x, y, t, u и лищь группу переносов по t. Для того, чтобы уравнение (1.1.8) допускало более щирокую группу, необходимо, чтобы функция с{х, у) удовлетворяла системе дифференциальных уравнений
- Очевидно, что при произвольной гладкой функции c{x, y, z) уравнения (1.1.13) не выполняются, а могут выполняться только в частных случаях задания с (х, у, z), например, при с const. Например, как известно, уравнение (1.1.12) при с const допускает 16-параметрическую группу Gie с основной алгеброй Ли Li6, описанной в [192, с. 391- 282, с. 83]. П р и м е р 1.1.
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу Пример 1.1.
- Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание) 1.2.
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу 1.2.
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу 46 Равносильность представления (1.2.2) проявляется следующим образом. По любому решению (р системы RE можно найти решение AG-системы, которое является решением исходного уравнений Е. Обратно, для любого решения и е SE найдется функция ip, являющаяся решением системы RE, и с найденной у? данное решение и SE является решением AGсистемы. 1.
- Общая схема предлагаемого группового подхода и логическая структура диссертации в гл. 1-
- Обратная задача группового расслоения Приведем схему предлагаемого группового подхода и одновременно сопоставим ее с содержанием диссертации в
- Отыскание инвариантов J группы G сводится [196, с. 10- 192, с. 35, 230] к интегрировак нию системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно одной функции J J-(z) вида fc к XJ{z) 0 к к (для любого оператора X группы G). Число уравнений в системе равно г1 (рангу группы G), к ЧИСЛО независимых переменных Uk dimZfc. Определение векторов Л для операторов инвариантного дифференцированпя Ai носит аналогичный характер [192, с. 315, 324].
- Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу 49 уравнения математической физики, перечисленные в п. 2.5 гл.
- Причем всюду групповое расслоение выполнено в явном виде непосредственно в исходных переменных х, и, без введение
- Рассматриваемая группа G и ее свойства. Построение группового расслоения (в явном виде) для широкого класса дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом (параметром) и{х, у) Содержание
- Основные результаты главы 2 сформулированы в теоремах 2.1.1, 2.3.1, 2.4.1, 2.4.2, леммах 2.2.1, 2.2.2, 2.4.2. 2.
- Здесь вводится в рассмотрение конкретная группа G точечных преобразований пространства переменных х, у, t, и, и. Именно эта группа G рассматривается далее всюду в
- Устанавливаются важные для дальнейшего тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Они используются далее для доказательства теоремы о базисе (п. 2.3), для построения группового расслоения (п. 2.4), а также для получения и применения нового дифференциального тождества (в гл. 3, 4). 2.
- Доказывается важная теорема о (конечном) базисе дифференциальных инвариантов группы G. Сзтцествование этого базиса для произвольной группы Ли следует из обшей теоремы Тресса Овсянникова [192, 24- 309]. Доказанная теорема 2.3.1 о базисе определяет, какие именно инварианты группы G образуют ее (конечный) базис дифференциальных инвариантов. На теорему 2.3.1 о базисе приходится основной объем доказательств в данной главе. Она является центральной при построении группового расслоения. 2.
- Формулируется некоторый обший достаточный признак автоморфности системы дифференциальных уравнений относительно допускаемой группы. С помощью этого признака на основе доказанной в п. 2.3 теоремы о базисе построено групповое расслоение относительно группы G для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным
- Рассматриваемая группа G нее свойства 55 Т е о р е м, а 2.1.
- Инварианты второго порядка можно вычислить аналогично, определяя все функционально независимые решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, получаемой при приравнивании нулю коэфф1Щиентов при различных производственных (с учетом равенств (2.1.2)) от Ф, Ф в выражении X J{z) 0.
- Поскольку dimZ2 23, Г2 8, то 2 23 8 15, и набор J2 содержит 15 (не более) скалярных функционально независимых инвариантов. Теорема 2.1.1 доказана. 2.
- Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией 2.2.
- Основные тождества Действие операторов полного дифференцирования D, Dy, Dt на функцию
- Связь с дифференциальной геометрией Обозначим через G и G" сужение группы G соответственно на пространство х, у, и, v? и ГС, у, и. Группы G и G" имеют то же выражение для инфинитезимальных операторов X вида (2.1.1), что и группа G. Из формулы и 1 Д1пи2 теоремы 2.1.1 и из известной формулы [90, с. ИЗ- 200, с. 159] дифференциальной геометрии для гауссовой кривизны получаем
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 60 Следствие 2.2.
- Гауссова кривизна К{х, у) поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с линейным элементом (римановой метрикой) dr n{x, y){dx dy"), определяемая по формуле К{х, у) 1 Д1пп (х, у) Yi является дифференциальным инвариантом группы G, G и G" (при этом и? (п) п") и выражается через другие инварианты группы G и G{J, J, J, J) no формуле (2.2.11). 2.
- Теорема о базисе дифференциальных инвариантов группы G Формулы леммы 2.2.2 наводят на мысль о том, что базис дифференциальных инвариантов группы G может быть образован двумя инвариантами J t, J и. Следующая теорема утверждает, что это действительно так. Она играет в дальнейшем главную роль при построении автоморфной ЛС-системы группового расслоения и несет основную для наших целей информацию о свойствах группы G. Теорема 2.3.
- Имеет место Л е м м, а 2.3.
- Рассматриваемая грзшпа G и ее свойства 65 где V у и ранг этой м, а т р и ц ы равен dim Y Поэтому в силу известной т е о р е м ы матек+1 матического анализа [244, т 1, с. 480] среди инвариантов J {X D) J существует ровно fe+i fc dim Y функционально независимых инвариантов J, а остальные инварианты в ы р, а ж, а ю т ся через них с помощью функциональных операций. Лемма 2.3.1 доказана. Лемма 2.3.1 содержит индукцию по к, поэтому справедливо Следствие 2.3.
- Пусть выполнены условия леммы 2.3.
- Тогда из набора инвариантов J с помощью операторов инвариантного дифференцирования {Х-D) моокно построить к ровно dimy функционально независимых инвариантов группы G любого порядка fi к. Сформулируем вторую вспомогательную лемму. Л е м м, а 2.3.
- Кроме того, набор J имеет свойство Pk+ifc+i
- Пусть выполнены условия леммы 2.3.
- Тогда с помощью операторов инвариантного дифференцирования Ai (А- D) из набора J можно получить ровно к d i m l 7) функционально независимых инвариантов группы G любого порядка ц к. Продолжим доказательство теоремы 2.3.
- Итак, все условия леммы 2.3.1 для нашего набора J вида (2.3.7) выполнены. Поэтому для любого, А 2 в силу следствия 2.3.1 из набора J можно получить ровно dim Ul dim и функционально независимых скалярных инвариантов группе G порядка к с к помощью операторов инвариантного дифференцирования Л". По известным [192, с. 48, 311] формулам для dimZfc и dimYit можно найти, что dimUl dimZ dim_ Cf+fc Сз1 Cl+fc.i (имеем в этих формулах m 1, п 3). Используем лемму 2.3.
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 70 где многоточием обозначены слагаемые с производными порядка
- Рассматриваемая группа G и ее свойства так что det52-j u 2 2 V г д е д {ulf {ul)Поэтому матрицы Якоби dJvidJ 71 имеют ранг 8 dim С/3
- Кроме того, переменные v? xxyi хуз/) соответствующие исключаемым столбцам матрицы ду, J при получении 5 J, являются смешанными производными и отличны от их lyyj ttt Итак, набор J вида (2.3.8), состоящий из 8 инвариантов порядка 3 и принадлежащий множеству {(Л D) J}, удовлетворяет всем условиям леммы 2.3.2 при п 3, 1, fc 3, 7
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 2.
- Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным параметром и{х, у) 2.4.
- Условие 1 леммы 2.4.1 южнo заменить следующим условием: при к X набор инвариантов {J, (Л D) J где J универсальный инвариант к-то порядка, содержит универсальный 1швариант J группы G. Замечание 2.4.
- Доказательство леммы 2.4.1 содержит также следующие утверждение. Следствие 2.4,
- Пусть выполнены условия леммы 2.4-
- Тогда при любом к к автоморфная система AGk порядка к и ранга р имеет вид системы (2.4.4), (2.4.5), где вторая часть уравнений (2.4.5) представляет собой дифференциальные следствия уравнений первой части (2.4.4), т. е. следствия системы AG. 2.4.
- Автоморфная система второго порядка ранга 3 группы G Л е м м, а 2.4.
- Система дифференциальных уравнений относительно функций u{x, y, t) вида Jh{jjj), j+==Vi{Jjj), г 1,2,…, 11 u{x, y, t), (2.4.6) (2.4.7)
- Условия совместности уравнений системы AG Приведем их при условии и
- Аналогичньп/! образом условия совместности можно вывести и при и О, но нам они далее не потребуются. Л е м м, а 2.4.
- Условия совместности уравнений системы AG вида (2.4.8)-(2.4.16) при условии Uf О представляют собой объединение системы R квазилинейных уравнений первого порядка вида V3A2V2 {V4A3 V2A2) v3 V3A3V4 hv2V3j AiV2-A3Vi=0, (2.4.17) (2.4.18) (2.4.19) (2.4.20) ® A1V3 2i-4, V3{AiV4 A2V1) y vl,
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 77 З, а м е ч, а н и е 2.4.
- Ниже используем также уравнение первого порядка вида vlAih Уз{АзУ2 A2Vi) {V4A2 У2АЗ) УЗ hvVi, (2.4.38) являющееся дифференциальным следствием уравнений системы R. Для его вывода следует применить оператор Ai к уравнению (2.4.17), оператор Лг к уравнению (2.4.18) и ушожить *Это свойство аналогично тому, что для системы и f{x, y, u), Uy д[х, у, и) условие совместности /у /uff 5i 9uf [227, с. 59] представляет собой незамкнутую систему относительно двух функций д.
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 78 полученное равенство на з, оператор (—Лз) к (2.4.20) — затем все полученные равенства надо сложить и использовать тождества (2.2.2)-(2.2.4). Уравнение (2.4.38) можно получить также из равенства {ffAJ JAJ А2J") J 2 J, А з J JJJ которое следует из тождества (2.2.5) при J J uj. 2.4.
- Рассматриваемая rpjTina С и ее свойства 80 Таким образом, автоморфная система AG вида (2.4.41)-(2.4.49) получается из системы AG вида (2.4.8)-(2.4.16) заменой всюду символа uj J на J и уравнения (2.4.11) на уравнение (2.4.42). Соответственно роль леммы 2.4.3 теперь играет Л е м м, а 2.4.
- Автоморфная сист, ема группового расслоения уравнения (2.4.58) относительно группы G с операторами (2.1.1) имеет место тот же вид (2.4.8)-(2.4.15), что и для уравнения (2.4.39), а разрешающая система RE получается из разрешающей системы RE группового расслоения уравнения (2.4.39), определенной в теореме 2.4−1, заменой условия (2.4.40) на условие (2.4.59). Аналогичным образом получается групповое расслоение для уравнения любого порядка k>Z> х
- Аналогично с помощью леммы 2.4.4 и теоремы 2.4.2 получаем групповое расслоение уравнений порядка kZ при выборе J {J, J, J). 0. (2.4.59)
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 82 § 2.
- Уравнение эйконала Дополнительное условие: гз 1.
- Уравнение характеристик волнового уравнения х) y) 12 т7 т32 1 или J 1. и Щ| {и-У или J {jy Дополнительное условие: vz х.
- Линейное и нелинейное уравнение теплопроводности вида u] [t, u или J гр[Ы J (2.5.2) где (/р, некоторые функции. Различные уравнения этого вида возникают т, а к ж е в теории массопереноса и горения [201, гл. 2]. Дополнительное условие: (f{xi, X2, vz)h+i){xi, X2, V3) Хз (если J {J, J, J)) и ip{xi, Х2, хз)Н {xi, Х2, Хз) W (если J {J, J, J)).
- Уравнение Буссинеска щ —(uux) —(uuy) ОХ ay пли J jJ f, J 0
- Рассматриваемая группа (7 и ее свойства S3 (Ji О в силу и 1), возникающее в нелинейных задачах теории фильтрацрш и теплопроводности [201, гл. 2]. Это частный случай уравнения (2.5.2). Дополнительные условия: X2h из Хз, Vj 0.
- Уравнение Лапласа и Пуассона Аи 0 или J О (имеем и 1, J 0), или J Г]. т] const Дополнительное условие: /i О, и О и /i ту
- Уравнение Гельмгольца -еи Дополнительное условие: h (xl)X2. ипя J -{jfj
- Линейное волновое уравнение и, V? или J —J Дополнительное условие: h vi.
- Нелинейные волновые уравнения квантовой механики [133, с. 20, 52] u l {uy f (t, u, ul Hj Это частные случаи общего уравнения (2.5.3).
- Обобщенное уравнение минимальной поверхности J 2 J (l J)
- Дополнительное условие: h Л2г-з/(2(1 из)). Классическое уравнение минимальной поверхности вида [40, с. 58] (1 ul) Uxx 2Ua: UyUxy (1 u) Uyy О (2.5.4)
- Рассматриваемая группа G и ее свойства 84 также записывается в виде (2.5.4) и выделяется условием 1, отсюда J О, что приводит к еще одному дополнительному условию Vr
- Последнее классическое уравнение возникает также в газовой динамике двумерных течений как результат преобразования уравнения для потенциала скорости по формуле, предложенной А. Чаплыгиным (см. [44, с. 35]).
- Такой же вид имеет уравнение равновесия мембраны в случае больших смещений и и, вызванных нагрузкой внешней нагрузкой Н [40, с. 38].
- Уравнение колебаний мембраны в случае больших смещений и и имеет вид [40, с. 37] dxXl ui uJ dyil ul up fJio dt fio где /xo натяжение, внешняя сила, р плотность мембраны. Оно также может быть записано в врще J 2(1 J) J 2 {pj Ро и отвечает случаю u 1, т. е. J О {vj 0).
- Уравнение 1 Д1пп2 К const 2 п2 рши J к для функции и v?{x, y) в метрике dr n{x, y){dx dy) поверхности в постоянной кривизной К. Дополнительное условие: VT К. Для всех перечисленных дифференциальных уравнений теорема 2.4.1, а также теорема 2.4.2 дает групповое расслоение (системы AG и RE) в явном виде. Группу G допускают также следующие уравнения третьего и четвертого порядка.
- Стационарные и нестационарные уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости для функции тока: Uy{u)x tii (Au)j, О n (Au)i Uy (Au)x Ux{u)y О, или Лз7 0 J* f{J) и AiJ* A3J 0.
- Рассматриваемая группа С? и ее свойства 85 Имеем: и и, и 1, J
- Дополнительные условия: h /(аг), Aih Ah О, а также 7 0.
- Стационарные и нестационарные уравнения Навье Стокса для функции тока Uy{Au)x— Ux{u)y vAu и или AзJ lLJ {Аи)г Uy{Au)x Ux{Au)y и AiJ AJ uLJ uAAu, где операторы Ai, L определены формулами (2.2.1), (2.2.14). Имеем также и и, v? 1, J
- Дополнительные условия: Ah uLh, Vj О N Aih Ash i/Lh, vj 0, где L (г-з)"{г-з (Л2Л2 A3A3) {АУЗ Аг A3V3 Аз) изЛЛз}. Аналоги уравнений п. 14, 15 в общем случае v?{x, y) const имеют точно ту же запись в терминах J- и Л- и те же дополнительные условия, но без J О (без vj 0). Принимая во внимание содержание
- Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат выполненного группового анализа Содержание
- Разрешающие системы группового расслоения 87 3.
- Различные формы системы R и разрешающей системы RE 3.1.
- Разреп1аюш:ие системы группового расслоения 90 Поэтому системы Д и R эквивалентны (при гУг т 0) для решений H, Wi, которые при некотором t to обращают в нуль левуто часть (3.1.2). Последние условие может выполняться, например, в силу начальных условий при t to для функции v}{x, y, t). Это имеет место, например, для волнового уравнения J J, рассматриваемого в п. 4.3 гл.
- Системы Ru, REy Л е м м, а 3,1.2, При замене U зависимых переменных вида г/1 Zm V2 W2 тт4 t2 «i Wo V3 Vz, (3.1.22) Vz V2 W2 система R или Ry, приводится к более компактной и „более линейной“ системе Ru вида (3.1.23) (3.1.24) (3.1.25) (3.1.26) где ЛоС/ С/ (1 {Uf)/U HU {Ru) UAQWZ Uwz, 2wzU AQ ot -.+XZ-—- 0×2 (3.1.27) вытекает, Из уравнений (3.1.23)-(3.1.25) в качест, ве дифференциального следствия уравнение Л Я Я з 2 С 1 з
- Уравнения (3.1.23)-(3.1.25) имеют линейную главную часть, т. е. являются ми. (3.1.28) полулинейны104. Разрешающие системы группового расслоения 91 11 Д о к, а з, а т е л ь с т в о леммы 3.1.2 получается из леммы 3.1.1 непосредственным вычислением при замене (3.1.22). Разрешающую систему RE, записанную в терминах функций Н, ws, будем обозначать через REu- Исходное дифференциальное уравнение (система) Е вида, (3.1.12) дает дополнительное условие {xuX2,xз, H, UU, wз, U, W5,W6,W7) 0, (3.1.29) где .F некоторая заданная функция. Из теоремы 2.4.1 и леммы 3.1.2 вытекает Следствие 3.1.
- Замечание 3.1.1. В силу уравнений (2.4.8)-(2.4.12) автоморфной системы AG и равенств (3.1.1), (3.1.22) функции tf-j (i, г, p), f/(t, г, р) (г 1,2,4), Я (, г, р), гиз (*, г, р) f{t, r, p)
- Системы Ry и REy Подставим выражение для через и, С/, w получаемое из уравнения (3.1.26), в уравнения (3.1.23)-(3.1.25). Тогда исключим в системе Ru функцию U п получим, что имеет место Л е м м, а 3.1.
- Разрешающие системы группового расслоения 93 Следствие З Л 5 Разрешающая система RE группового расслоения уравнения (ЗЛ.ЗО) относительно группы G с операторами (2ЛЛ) мо-жет быть представлена в виде системы КЕц уравнений (3Л.37)-(3Л.39), которая имеет два „хороших“ свойства.
- Оператор L* линейный, а система КЕц полулинейна. 2. В двух уравнениях (ЗЛ.37)-(ЗЛ.38) системы КЕц действует одинаковый линейный оператор L*, притом только на одну функцию или на U, или на U. Таким образом, уравнения (ЗЛ.37) и (ЗЛ.38) имеют одинаковую главную часть. Эти свойства разрешающей системы RE дают возможность использовать (в гл. 4) для ее интегрирования метод характеристик и находить точные частные решения ряда уравнений. 3.1.
- Интересно, что матрицу Т [Т/], состоящую из п элементов (п dimX), можно получить [274] всего лишь из некоторых п элементов 5* со свойством [Л.?] 7
- Применим этот результат к нашей группе G с операторами (2.1.1) и рассмотрим, как операторы Л* коммутативной алгебры связаны с групповым расслоением. Л е м м, а 3.1,
- Разрешающие системы группового расслоения где d e t T 3 3 ф
- Имеют место равенства, А АЛ- щА! uttA, Лз J M j M Лз ЗА, 94 откуда получаем выражения для операторов Л,* через Л, вида А*-А.-А. I tJ-„J, (3.1.45) А1 А,--М Л 1ЛЗ Отсюда с учетом (2.1.4) получаем (3.1.42). При замене (3.1.43) в силу (2.4.24), (2.4.9)(2.4.12), (3.1.45) имеем: если (p{t, x, y)
- Чтобы получить запись систем R, RE, R, RE и т. д. в терминах операторов А, надо всюду в них символы dvi/dxj, dwi/dxj и т. д. заменить на AjVi, AjWi и т. д. Так что фактически (в частных производных д/дх{) уравнение сист, ем R, RE (и т. д.) группового расслоения не изменяются при использовании операторов инвариантного дифференцирования Al вместо Ai для построение систем R, RE (и т. д.). § 3.
- Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение пары Лакса в явном виде Л е м м, а 3.2.
- Таким образом, операторы L, А, В дают так называемую L-Л-В-триаду для системы (3.1.2)-(3.1.4). Это понятие введено В. Манаковым [137] и обобщает понятие L-Л-пары Лакса, или представления Лакса. Из леммы 3.2.1 в силу уравнения (3.1.5) следует Теорема 3.2.
- Пусть RE разрешающая система группового расслоения уравнения Е из класса {Е} и L, А соответствующая L-A-napa Лакса для системы RE, построенная по формулам (3.2.1)-(3.2.3). Пусть в начальный момент, t to функция ф{1,Х1,Х2) удовлетворяет уравнению Ьф ф с некоторым значением параметра А, и ее эволюция во „времени“ t описывается нием (-—Л] 0 или А1ф 0. (3.2.5) уравне|Й1 Тогда и при t to функция ф удовлетворяет уравнению (3.2.5) с тем оке значением Л.
- Система двух уравнений (3.1.2), (3.1.3) относительно функций Wi, W2, W4 является необходимым и достаточным условием для выполнения равенст, ва [Лх, Ь,]= -A, L, dt dLi =—±-[A, L,] dt BL, где матричные линейные операторы Ai, А, Li имеют вид -Аз Ш 4 -W2 W2 WiJ A2J B_D дх2 А.= dxi дхз l/di у о О d/dxij в оператор умноокения на матрицу В. Операторы Ai, А2, A3, А определены формулами (3.1.6), (3.2.2). 3.
- Некоторое новое дифференциальное тождество как результат применяемого группового подхода и следствия из него 3.3.
- Основное тождество Теорема 3.3.
- Пусть и{х, у) произвольная вещественная скалярная функция скалярных переменных X, у из класса C{D), определенная в некоторой области D, со свойством 9{х, у) {uxf (гtJ,) grad up 7 О в D. Пусть п{х, у) произвольная вещественная скалярная функция из класса C{D), п{х, у) По О в D. Определим функции f{x, y), h{x, y) равенствами и п2(гг, у) п{х, у)
- Функции и ш п могут также зависеть от третьей независимой переменной t, которая явным образом не входит в тождества (3.3.1)-(3.3.5) и играет для них роль параметра. Из тождеств (3.3.3) и (3.3.5), в частности, следует, что, если функция и зависит от третьей переменной t, а функция п не зависит от t, т. е. и u{x, y, t), п п{х, у), то выражения в левой части (3.3.3) и (3.3.5) также не зависят от t.
- Тождество (3.3.1) или (3.3.2) содержит одну скалярную функцию и{х, у), а тождество (3.3.3) или (3.3.5) две скалярные функции и{х, у) и п{х, у). Заметим также, что, в то время как выражения в левой части тождеств (3.3.1) и (3.3.5) определяются двумя функциями и{х, у) (или u{x, y, t)) и п{х, у), выражения в правой части этих тождеств определяются только одной функцией п{х, у).
- Тождество (3.3.3) можно записать в виде Alnn{x, y)=(u-+(uy- --Alnf. (3.3.6) 4. Из тождества (3.3.1) следует, что векторное поле, образованное вектором Т gradln I gradtti Au является соленоидальным. —-jr-, I grad u p
- Разрешающие системы группового расслоения 100 ТЩ 3.3.
- Приложения результатов группового подхода, полученных в гл. 1−3, к конкретным дифференциальным уравнениям математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и{х, у) Содержание
- Новый способ вычисления геометрического расхождения лучей D{t, x, y) в прямой кинематической задаче.
- Связь полученных классических уравнений с дифференциальной и римановой геометрией.
- Связь уравнения (4.0.2) с уравнением колебаний струны.
- Связь (4.0.2) с уравнением Якоби.
- Связь между поведением функции п{х, у) {К{х, у)) и свойствами лучей (и D{t, x, y), и и V).
- Оценки для геометрического расхождения лучей D{t, x, y) и функции D* и их производных (две группы оценок).
- Приложения результатов группового подхода 106 (ЛЦк} 4.
- Определять функционалы от параметра и{х) или от и{х), и{х) в локальных обратных задачах.
- Сводить обратную задачу для исходного уравнения с произвольным переменным параметром u (ж) к некоторой прямой задаче для разрешающей системы RE группового расслоения. В отношении прямых задач этот факт установлен впервые Л. В. Овсянниковым [191].
- Находить точные частные решения дифференциальных уравнений математической физики с переменным или постоянным параметром, сочетая метод группового расслоения и метод дифференциальных связей. При этом вид дифференциальных связей, удобных для интегрирования в явном виде, „подсказывается“ разрешающей системой группового расслоения. Результаты данной главы опубликованы в [156−173, 292, 293]. § 4.
- Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики). Новое описание с помощью группового подхода 4.1.
- Основные величины и операторы Пусть с{х, у) 1/п{х, у) скорость распространения сигналов (волн) какой-либо природы в полуплоскости ж, у О, кинематика которых удовлетворяет принципу Ферма. Пусть
- Приложения результатов группового подхода 4.1.
- Квазилинейные уравнения и пара Лакса 110 Теорема 4.1.
- Пусть в некот, орой окрестности Cl т, очки M{t, x, y) функция т[1,х, у) удовлетворяет уравнению (4.1.1) и принадлежит классу С{0,), функция п{х, у) С C{Q), и в точке М якобиан J d{t, T, p)/d{t, x, y) TxTty TyTtx ф
- Одномерный случай соответствует, таким образом, частному классу таких решений с параметрами ц О, /3 1. 4.1.
- Уравнение Риккати и линейное уравнение Оказывается, что вдоль любого луча 7()Р) введенные выше функции h, U, С/, v как функции г являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений классического вида. Именно, имеет место Теорема 4.1.
- Вычисление геометрического расхождения лучей Следствие 4.1.
- Связь с дифференциальной и римановой геометрией Как отмечено в следствии 2.2.2, в силу известной формулы дифференциальной геометрии [90, с. 113] функция К{х, у) в уравнениях теоремы 4.1.2, определяемая по формуле (4.1.28), является гауссовой кривизной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с линейным элементом dr“ п{х, y){dx+dy). Это устанавливает связь уравнений (4.1.25)-(4.1.27) с дифференциальной и римановой геометрией. 4.1.
- Связь с уравнением колебаний струны С уравнением (4.1.26) можно ассоциировать уравнение колебаний неоднородной струны pzz {k/V{z)}P 0) где роль скорости распространения волн играет величина V{z) —Vr (f7)», z —u (i, r, p) const, которое при замене г j{UY dz, W Uip переходит в уравнение Штурма Лиувилля WrT {k g{t, T, p)}W О, VJXQ д —{г-, т}/2 и обратно. Последнее уравнение при, А О совпадает с (4.1.26). —К{х, у),
- Приложения результатов группового подхода 4.1.
- Приложения результатов группового подхода Следствие 4.1.
- Величина моокет быть представлена в виде 115 1=1 YCi{t, p) U%T, p). Следствие 4.1.
- ЕслиЕ, —якобиево векторное поле вдоль лучау{1,р) с сопряженными точками (f, 0) и {хо, уо), то c{t, p) U{t, T, p) -a-c{t, p) n{x, y) D{t, x, y), фокусируются. где Ci, с некоторые функции, и D{t, xo, yo) О, т. е. в точке {хо, уо) лучи 4.1.
- Связь между поведением п{х, у) и свойствами лучей и функций D, U, U", v Из известных теорем сравнения [106, 223, 233] для уравнения вида (4.1.26) получаем связь между поведением п{х, у), т. е. К{х, у), и свойствами лучей (нулями функций U{t, T, p) и D{t, x, y)) и функций D, и, С/, v. Пусть лучи jitjp) заполняют некоторую область Г2 в полуплоскости х, у
- Рассмотрим два случая. 4.1.8.
- Первый случай Если К{х, у) О, т. е., Alnn (i, y)0 (4.1.32) на любом луче y{t, p) С П, то каждое нетривиальное решение U уравнения (4.1.26) имеет не более одного нуля на любом луче 7(*)Р) — Поэтому в силу (4.1.19) функция U{t, T, p) при любых t const, р const имеет нуль только при т О и U О при г т
- Отсюда получаем следующее утверждение как следствие уравнения (4.1.26) и формулы (4.1.31). Предложение 4.1.
- Если условие (4.1.32) выполняется на лучеу{Ь, р) или в области., то функции и, V не имеют нулей и U const О {такоке имеем Щ О, U. 0), v{t, T, p) Ttt{t, x, y) const О всюду {при г 0) на луче y{t, p) или в VL. Предложение 4.1.
- Если условие (4.1.32) выполняется на луче {t, p), то функции D* n{x, y) D{t, x, y), и, {rtt{t, x, y)} {v{t, T, p)} U/U возрастающие и D*, и, и, и неубывающие функции т при т О на 7()Р) и Более точные оценки для D, U, U и их производных получены в следующем
- Приложения результатов группового подхода 4.1.8.
- Если Д1пп (х, у) п{х, у) -{У ф, р) («-33) {где т
- Оценки для геометрического расхождения лучей D{t, x, y) и функций С/ U Пусть функции V{t, T, p) и V{t, T, p) определены равенствами V —aU, V» —aU. Тогда V, V образуют фундаментальную систему решений уравнения (4.1.26) с начальными условиями V 1, V 0, V О, V 1 при т
- Равенство (4.1.31) дает V D* nD. 4.1.9.
- Первая группа оценок Используя известную теорему сравнения для (4.1.26) и V, V [106, п. 24.3, 25.5], мы получим первую группу оценок в форме следующего утверждения. Т е о р е м, а 4.1.
- Пусть лучи j{t, p) заполняют, некоторую область О. в полуплоскости х, у
- Вторая группа оценок i Во второй группе оценок сравниваются две точки на одном луче. Представляя уравнение (4.1.26) в виде системы первого порядка UT U, UT —KU и используя теорему об оценках для их решений U, U [106, п. 8.4], получаем вторую группу оценок для функций D{t, x, y), V, V", U, U на произвольном луче y{t, p).
- Приложения результатов группового подхода Предложение 4.1.
- Обозначим 117 Sjit, x, y) T!{t, r, p) V%r, pW V: it, T, p), {n{x, y) D{t, x, y)y {[n (x, y) Dt, x, y)]ry, K{x, y), Ml max{l, sup K{x, y)}, M 1 sup гдег,] 1,
- Тогда для любых двух точек {x, у) и{хо, уо) одного итого же лучаy{tp) и для любых двух значений т r{t, х, у) и т{Ь, хо, уо) переменной т на луче y{t, p) справедливы оценки Y: t, r, p) Y!, t, p)e-K 3 3 Sj{t, X, у) Sj{t, Хо, yo) eMt, y)-(t,.o, yo) для i, j 1,2. В частности, при О, т. е., XQ t, yo О, получаем оценки Y! r, t, p)e Sj{t, x, y)e-y j l,
- Аналогичные оценки имеют место для функций U —aV и U —а V —anD. Напомним, что (г. г, j Л,). D{t, x, y) 4.1.
- Теоремы сравнения для геометрического расхождения лучей и функций и, и Результаты этого
- Сравнение двух лучей в одной среде Пусть 7: 7(*)Pi) и 72 l{t, P2) —два луча в одной и той же среде п{х, у) с параметрами Pi, Р2 и с вершинами в точке источника х t, у
- Рассмотрим один и тот же интервал О г f на лучах 7ii 72 и обозначим (г 1,2) Ki{T) K{t, T, pi) K{x, y), D:{r) D*{t, T, pi) n{x, y) Dit, x, y), где x x{t, T, pi), у y{t, T, pi) уравнения луча 7(i, Pi), D{t, x, y) расхождение лучей с вершинами в точке х t. Теорема 4.1.
- Пусть Апп{х, у) «d7 0 и KI{T) есть геометрическое [ЛгСт)! при О г f. Тогда m 0,1,2. (4.1.35) Orf, Заметим, что в (4.1.35) точки со значением т const на 7i и 72 лежат на фронте волны г const. Аналогично можем рассмотреть два луча с разными вершинами ti, to.
- Приложения результатов группового подхода 4.1.10.
- Пусть Anni{x, y) О и |/sri®l [ЙгСт)! при О г г. Тогда неравенство вида (4.1.35) справедливо при О г т, m 0,1,2. 4.1.10.
- Сравнение двух пересекающихся лучей в разных средах Пусть 71 7i (>Pi) и 72 72(*, Р2) два луча с одной вершиной t в среде ni{x, y) П2{х, у) соответственно и 7i, 72 пересекаются в точке {хо, уо). Обозначим (г 1,2) Ф Ki (T)Ki{t, T, pi) D*{r) D:{t, T, pi) Ki (x, y), ni{x, y) D]{t, x, y), где X Xi{t, T, pi), у yi{t, T, Pi), и Ki{x, y), Di{t, x, y), Xi{t, T, p), yi{t, T, p) определены в п. 4.1.10.
- Используя предложение 4.1.3 (п. 4.1.8.1), получим Предложение 4.1.
- Пусть А1п. Пг{х, у) О r i ri (t, a: o, yo) Т2{, о, Уо), 2deri{t, x, y) поле времен т{1,х, у) для ni{x, y), г 1,
- Приложения результатов группового подхода 119 4.1.10.
- Сравнение функций U, U», V V Пусть Ui{r), V/{T) решения уравнения Urr Ki{T)Ui 0 (z, j 1,2) с начальными условиями при г О вида F l, К-. 0, F 0, Vl где Oj {n?(f, 0) pY"
- Функции Лг (г) могут соответствовать двум лучам в одной или в разных средах ni{x, y) и соответственно определяются по формулам п. 4.1.9.1, 4.1.9.2. Из известных теорем сравнения для уравнений вида (4.1.26) следует Предложение 4.1.
- Пусть Ki О {i 1,2) и К2 Ki на некотором О г г. Тогда при О г г отрезке Vi>V, VlVl, a-i j l, 2- miull cci lulliuli c/.fW ui\u!, a2 ul>ul- Oi2 («Ш.> ww>H"i?il*ww{b||} при T 0. в двух последних неравенствах можно подставить V/ вместо Uf и D* TiiDf вместо C/f, г 1,
- Если К2{т) KI{T) хотя бы в одной точке г го G [О, г], то всюду имеем ст, рогое неравенство при т TQ {при г г о 0 т б последнем неравенстве) и 12 -rjj hi, т. е., In 1 j О при г го О, где Ы{т) hi{t, r, p) ATi{t, x, y)/n{x, y). Д* niDf или V вместо U, г 1,2. В последнем неравенстве моо/сно подставить 4.1.
- Уравнения для функций x{t, T, p), y{t, T, p), n{t, T, p), и другие 4.1.11.
- Приложения результатов группового подхода 120 Т е о р е м, а 4.1.
- Приложения результатов группового подхода 121 f 4.1.11.
- Уравнение для функции n{t, T, p) Функция п{х, у) является произвольной, так что в переменных х, у замкнутое дифференциальное уравнение для нее отсутствует (помимо щ 0 Однако оказывается, что в независимых переменных i r p т существует замкнутое скалярное дифференциальное уравнение для n (t, T, p) п{х, у), не содержащее других функций, кроме п. Именно, справедлива Теорема 4.1.
- Уравнения для функции А1пп/п как функции t, т, р Аналогично получается Теорема 4.1.
- Функция f{t, r, p) ч А1пп (х, у) -К{х, у) „2(-, J) Lnn{t, T, p) есть решение замкнутого скалярного уравнение четвертого порядка вида Mjf-A{A}frff, где операторы Af, Mj определены согласно (4.1.41), (4.1.48), которое представимо в виде {fp/F}rr Каждая из функций lnn{t, T, p), ffp/F, F {AfUY (4.1.53) f{t, T, p) удовлетворяет т, акоке уравнению (4.1.42).
- Приложения результатов группового подхода 4.1.11.
- Системы для функций f f/, х, у, К 122 Комбинируя уравнения (4.1.15), (4.1.16) и (4.1.26) для U, U, можно получить замкнутые системы, в некотором смысле более простые, чем уравнения (4.1.11)-(4.1.13) и уравнения п. 4.1.11.1−4.1.11.
- Точка (f, 0) развертывается в отрезок [—n (i, 0), p] прямой t const, г 0.
- Приложения результатов группового подхода 123 Пусть {t, p) (это отрезок [0,ip{t, p)] прямой t const, р const), Г г (p{t, p) и Atp образы соответственно луча {t, p), годографа Г и области Dtx в пространстве t, т, р. Имеем (p{t, p) TQ{t, x), где р Tot{t, x). Область Atp ограничена отрезком [—n{t, Q), p] прямой t const, т о, лучом y{t, p), описанньпу! выше, и кривой годографа г (p{t, p). Соответствие между лучами 7()Р) и 7(t, p) взаимно однозначное для регулярного семейства лучей в А_д,. 4.1.12.
- Интегральные формулы в переменных t, т, р к локальные обратные задачи Наряду с областью Dt, x формы лунки мы будем ниже рассматривать также лучевую трубку Dt, xux ограниченную лучами 7(i)Pi)i liiV) и отрезком {xi, x оси у О, Xi t, при этом р rot (t, xi), р rot (i, х). Область Dt, xi, x можно представить как разность двух лунок Djj- и Dt, xi- Образ А, 11, х в пространстве t, т, р обозначим через Д{, р1, р. Теорема 4.1.
- Пусть семейство лучей l{t, p) регулярно в Dt, xi п{х, у) С C{Dtx), и решение т{1,х, у) уравнения (4.1.1) принадлеокит классу C{Dtx {х t, у 0}) — г (4, i, 0) 0- функции U, U“, h, v определены согласно (4.1.4), (4.1.5), D (t, x, y) геометрическое расхождение лучей с вершиной t х. Тогда для произвольного луча y{t, p), произвольной област, и Dt, произвольной лучевой трубки Dtxi, x и любой дважды непрерывно дифференцируемой функции W{t, х, у) w{t, т, р)
- Интегральные формулы в исходных переменных t, х, у и локальные обратные задачи Полагая в формулах теоремы 3.3.1 и в (3.3.11), (3.3.14), (3.3.15) и т, f 1, д{х, у) п?{х, у), h{x, y) Ar/n (x, y), находим, что имеет место Теорема 4.1.
- Хотя функция поля времен г зависит от t: г т{Ь, х, у), дивергенция векторного поляТ (Дг/п) gradr не зависит от t, т. е. инвариантна относительно положения точечного источника волн. {Точечные источники могут располагат, ься произвольным образом в плоскости (х, у)).
- Приложения результатов группового подхода 127 Пусть Dtxi, x область в виде лучевой трубки, определенная в п. 4.1.12.
- Тогда, поскольку на любом луче y (t, p) имеем {gvadr-u) О, тождества (4.1.69) и (4.1.70) принимают соответственно вид Ji{t, xi, x)= I {wAnn{x, y) ATA2w}dxdy=у (4.1.71) J2(t, Xi, x) {wAlnn{x, y) — nA2A2w}dxdy [A2W ги) ту dx. (4.1.72) Выбирая в (4.1.71), (4.1.72) различные w, получим разные формулы. Положим, например, в (4.1.69) го 1 и в (4.1.70) w т, w (р{п), где (р произвольная гладкая функция, и учтем, что ЛгГ 1, Л2Г4
- Тогда получим формулы Jz{t, xi, x)= 11 Alnn{x, y) dxdy (4.1.73) {—У] Ji{t, xi, x)= T{t, x, y)Ann{x, y) dxdy= (l т—JTyj dx, (4.1.74) J5{t, Xi, x)= ip{Tt{t, x, y))Alnn{x, y) dxdy f{n)-Ty} dx. (4.1.75) Зал1етим, что в частном случае xi t, лучевая трубка Dt, xi, x представляет собой лунку Д, х, определенную в п. 4.1.12.
- Приложения результатов группового подхода Это равенство представляет собой соотношение между потоками векторных полей N grad In п{х, у) я Дг Т grad г 128 через произвольную гладкую границу S области D. Поток в левой части (4.1.76), как и равная ему величина JJ> А In п (х, у) dxdy, также является интегральной характеристикой свойств среды (скалярного поля п{х, у)) в области D. Поскольку п{х, у) не зависит от t, из (4.1.76) вытекает Следствие 4.1.
- Одномерная обратная задача В одномерном случае п п{у) имеем г т{х t, y), отсюда р Tt —Тх —nosino (где По п (0) v{t, T, p) Тхх, Vt О, С/ {{тТху ТуТхх)/п}, Ut О, Xt 1, yt
- Поэтому в обратной задаче можно считать, что источник фиксирован в точке х О, у
- Приложения результатов группового подхода 130 Теорема 4.1.
- Групповое содержание
- Приложения результатов группового подхода § 4.
- Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода. Групповое расслоение и представление Лакса 131 4.2.
- Уравнение характеристик волнового уравнения Пусть функции v{x, у, t), и{х, у, t), и (х, у, i), h{x, у, t), s{x, у, t) определены равенствами 7,2 А- 7/2 77 v uu J U vU через некоторые две функции u{x, y, t), и UyUtx НхЩу 4б (4−2-1) (4.2.2) h =j 5=— п{х, у){> UQ 0). Т е о р е м, а 4.2.
- Пуст, ь в некоторой окрестпности П точки M{x, y, t) фт/нкцил u{x, y, t) удовлетворяет условием теоремы 3.3.1 и уравнению (4.0.3) и в точке М якобиан J d{t, u, ut)/d{t, x, y) UxUty UyUtx ф
- Приложения результатов группового подхода 132 С л е д с т в и е 4.2.
- Пусть функция и{х, у, t) удовлетворяет уравнению (4.0.3) и другим условиям теоремы 4−2.
- Уравнение {{нхУ {uyY}Jn{x, y) (р{и) обобщение уравнения эйконала Т е о р е м, а 4.2.
- Приложения результатов группового подхода 134 Следствие 4.2.
- Пусть функции и{х, у, t) удовлетворяет уравнению (4.0.4) и другим условием теоремы 4--
- Пусть функции v, U, U, h определены равенствами (4.2.1), (4.2.6). Тогда имеет мест. о утверждение, получаемое из теоремы 4−2.3 заменой всюду символов R на R, Лг на А2, и на т, щ на р, v, U, U, U», h на v, U, U, U", h соответственно, где R ip-lM, 2 57 2 ф и получаем уравнения (4.1.25) — В случае 1 (уравнение эйконала) имеем, А djdr (4.1.27). Теорема 4.2.
- Пусть функции u{x, y, t), п{х, у) удовлетворяют уравнению (4.0.4) и другим условиям теоремы 4−2.3, и функции v, U", h определены равенствами (4.2.1), (4.2.6). Тогда в некоторой окрестности точки М{1,т, р) функция v{t, T, p) удовлетворяет квазилинейному уравнению PQv О, (4.2.13) где, а функции V, и удовлетворяют эквивалентной Qv -(С/2)-2, системе (4.2.14) Uf pU- {vU% =pU uh A2UyU ipr/
- Приложения результатов группового подхода 4.2.
- Преобразование решений нелинейных эллиптических уравнений в гармонические функции 135 Из тождества (3.3.1) и теоремы 3.3.1 следует Теорема 4.2.
- Пусть функция и{х, у) удовлетворяет Au au{ul ul}, уравнению (4.2.15) где ОС, (5 некоторые вещест, венные числа (—оо, а схз, —со (3 со), и удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1 в некоторой области D. {Если /3 О, записываем (4.2.15) в виде иАи ад). Тогда в D функция д удовлетворяет уравнению {дд {д у)}/2 ади{аи Ч-/3)
- Пусть и{х, у) гармоническая функция в некоторой области D. Тогда функция д{х, у) и и" удовлетворяет уравнению дАд {gl д)
- Приложения результатов группового подхода § 4.
- Приложения результатов группового подхода 137 Таким образом, функции h{t, Х2, хз), Vi{t, хг, хз) получаются из дифференцигшьных комбинаций функций и, и в левых частях равенств (4.3.7) при подстановке (4.3.6). Эти комбинации J и величины t, u щ являются дифференциальными инвариантами (и инвариантами) группы G с операторами (2.1.1), как следует из теоремы 2.1.
- Уравнение (4.3.2) допускает группу G. Теорема 4.3.
- Групповое расслоение волнового уравнение (4.3.2) относительно группы G с операторами (2.1.1) при условии (4.3.3) имеет автоморфную систему AG вида (4.3.7) и разрешающую систему RE, содержащую четыре уравнения относительно функций Vi{t, X2, X3) (г 1,2,3,4), вида г-зЛзг-2 (43 и22) з V3A3V4 {P (t, X2, X3,V3)Vi F (t, X2, X3,V3)}v2V3 О, AiV2 A3V1 о, AiV3 2v4 О, (4.3.8) (4.3.9) (4.3.10) (4.3.11) (эквивалентны). V3{AiV4 A2Vi) {vj--vl)
- Предстаапение Лакса Представление Лакса для разрешающей системы группового расслоения волнового уравнения (4.3.17) и (4.3.2) дает
- Приложения результатов группового подхода 141 Т е о р е м, а 4.3.
- Обратная задача и ее сведение к прямой задаче для разрешающей системы с помощью группового расслоения Исходная обратная задача 4.3.
- Найти гладкое решение {и uo{x, y, t), u{x, y)} уравнения (4.3.17) в некоторой области D значений i О, у О, —оо а- оо, удовлетворяющее условиям ul uli 0 при t 0, ul (po{x, t), uly il. o{x, t) при (4.3.31) (4.3.32) у
- Считаем, что UQ С C{D), и С C{D) и функции щ, -фо заданы. Будем говорить, что в некоторой окрестности 17 или в области D значений х, у, t выполнены условия А, если в этой окрестности или области выполнены следующие три условия.
- Существует взаимно однозначное соответствие при отображении {t, x, y) {Ь, Х2, хз) вида (4.3.4). В локальном случае случае окрестности Q точки М для выполнения этого условия достаточно потребовать условия (4.3.5). В «глобальном» случае случае области D, при рассмотрении «в целом» условие взаимно однозначного соответствия надо формулировать явно. Ниже оно обеспечивается с помощью перехода (4.3.33) при достаточно большом значении параметра этого перехода р const.
- Имеем (гi) (uj) const О всюду в Q или в D. Это условие обеспечивает замену hi, Vi H, Wi или (h, Vi) H, U по формулам (3.1.1), (3.1.22) и положительную определенность матрицы, А при d/dt в системе RE!, RE, REy.
- Имеем и]и и]. и]у т О V2 у О, W2 j О, U" оо всюду в il или в D. Это условие вводится по следующим причинам.
- Приложения результатов группового подхода 143 Т е о р е м, а 4.3.
- Системы НЕ и НЕ, НЕц и НЕц эквивалентны, если: 1) W2 Q (и 00 в рассматриваемой области, что выполнено при условиях А- 2) если при t О б силу соответствующих начальных условий имеем {лев. ч. (4.3.23)} А3Ш4 А2Ш2 Ш1Ш2Шз
- Доказательство этой леммы следует непосредственно из равенств (3.1.11) или (3.1.19), связывающих левые части уравнений систем НЕ и НЕ. Например, (3.1.19) при условии (4.3.18) принимает вид Л1{лев. ч. (4.3.23)} (—А3Ш1 ЗгУ4){лев. ч. (4.3.23)} ц-2{лев. ч. (4.3.19)}.
- Приложения результатов группового подхода 144 Таким образом, уравнения (4.3.19) и (4.3.23) эквивалентны при условиях леммы 4.3.1, а остальные уравнения (4.3.20)-(4.3.22) у систем RE, RE совпадают. Отсюда следует лемма. Условия леммы 4.3.1 в силу (4.3.34) выполнены при условиях теоремы 4.3.
- Определяется решение краевой задачи для разрешающей системы, например, решение одной из задач, сформулированных в теореме 4.3.2. Т. е. определяется орбита решений, эквивалентных относительно группы G, содержащая искомое решение {и, и}. 2. Это решение {wi} или {С/*, гУз} подставляется в систему AG вида (4.3.14) и определяется решение {u, v?} системы AG при исходных начальных и граничных условиях. Т. е. определяется искомое решение {и, и} исходного уравнения (4.3.17) внутри найденной орбиты.
- Приложения результатов грзтшового подхода 4.3.
- Приложения результатов группового подхода 146 дискретизации, допускающие применение сеточных методов, как отмечено А. Алексеевым [4]. 4.3.
- Приложения результатов группового подхода § 4.
- Определение точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения 4.4.
- Описание функционально-инвариантных решений волнового уравнения с помощью группового расслоения Рассмотрим систему EQ вида (4−4.3) M±iV_(«i)2. (4.4.4) Решение u{x, y, i) называется ф.-и. решением волнового уравнения (4.4.3) (при данной функции v?{x, y) 0), если Р{и) есть решение этого уравнения при любой функции Р. Чтобы функция v} была ф.-и. решением уравнения (4.4.3), необходимо и достаточно, чтобы функции и, V? удовлетворяли системе EQ.
- Приложения результатов группового подхода 148 Т е о р е м, а 4.4.
- Отсюда следует утверждение леммы 4.4.1 и теоремы 4.4.
- Лемму 4.4.1 можно доказать и по-другому: определяя непосредственно общее решение системы AGQ В явном виде и подставляя его в остальные уравнения системы AGQ. Имеет место
- Приложения результатов группового подхода 4.4.
- Приложения результатов группового подхода (4.4.24). Рассмотрим подсистему AGfi системы AGti вида f i -4−1 152 i"i"i 2 Щ (AG-,) JO {a2tui 7) tg {aiu at +13), /о const. (4.4.28) (4.4.29) (i.) {ty? /otui 1, Аналогично лемме 4.4.1 доказывается Л е м м, а 4.4.
- Разрешающая система RE2t получается присодинением дополнительноо условия fy О к системе REu- Для функций Y, F снова имеем систему (4.4.21), (4.4.22) и условие -р-|/ох1 /o/oxixi ifoxi) -pjj (4.4.32)
- Приложения результатов группового подхода 154 вытекающее из формулы (2.4.23) в силу vj
- Подставляя это выражение в уравнение (4.4.21), получим г rf JOxiXi L JOxi) р, /Oiinxi Jjoxi /о 7 f§ и, откуда goxixi CQQQ О, где до 1//о, С ±-и- произвольная постоянная. Отсюда о определяем, что системы Е2 и E2t (т. е. Ei и Ец в случае J 0) имеют решение только для функций /o (ti) вида {Si) {S2) (Зз) fo {au b) — афО- fo [asm{шu) bcos{u}u)], fo [aexp{uJu) bexp{-uju)], а Ь V О, t т 0- а Ь 7 О, о-
- Ограничимся рассмотрением случаев (i) и (г). С л у ч, а й [Si). Подстановка формулы (4.4.32) и выражения /о (acci b) в уравнение (4.4.22) дает для функции F{(pi,(p2) уравнения с
- Кроме того, частные производные любого порядка этих решений по х, у, t также являются решениями уравнения Лапласа, имеюшими особенности на прямой (х хо) {у уо) О, t to
- Аналогичные замечания справедливы и в отношении решений вида (4.4.36) волнового уравнения и их частных производных по X, у, t. В итоге доказана Т е о р е м, а 4.4.
- Приложения результатов группового подхода 157 Т е о р е м, а 4.4.
- Здесь получено интегральное представление решения u{z, прямой задачи в виде интеграла Фурье по через фундаментальные системы решений двух уравнений Штурма Лиувилля. Коэффициенты их строятся по значенр1ям K{z) соответственно в области гиперболичности и эллиптичности уравнения (5.0.1). При этом рассматривается частный слзгчай K{h 0) 7 О, K{h 0) 7 О, когда коэффициент K{z) в (5.0.1) всюду отличен от нуля и.
- Некоторые неклассические постановки 159 следовательно, испытывает конечный скачок при переходе через точку z h. На K{z) накладываются только условия (5.0.3) и условия гладкости (5.0.4). Других ограничений на K (z) нет. Построенное представление одновременно дает доказательство существования прямой задачи, поставленной в 5.1. 5.3. Для иллюстрации этого представления рассматриваем случай уравнения Лаврентьева Бицадзе, когда K{z) sgn (z /i) 1 5.
- Среди сформулированных в 5.8−5.11 утверждений наиболее важными результатами являются лемма 5.9.2, теоремы единственности 5.9.1, 5.10.3, 5.10.
- Представляется, однако, что главным результатом 5.8−5.11 являются сформулированные постановки дискретных обратных задач и введение
- Приводится форма решения прямой задачи суммарного поля, порождаемого произвольным множеством точечных источников, которое используется в обратных задачах. Даются некоторые вспомогательные геометрические построения. 5.
- Здесь доказана основная лемма 5.9.2, дающая оценку количества нулей обобщенного полинома Fn{x) Y12=i fcVfc ()) iki) {{x XkY т}/», на оси —со х оо. Лемма получена с помощью применения результатов из теории чебышевских систем функций (Тсистем). Получена теорема единственности для обобщенных полиномов Fi{x) указанного вида об определении его параметров iV, Xk, Гк§- 5.
- Некоторые неклассические постановки 161 Исследование обратных задач в 5.10 основано на применении результатов 5.9 и некоторых геометрических построений, а в случае 2 для нестационарной задачи в п. 5.10.6 предложен способ решения, основанный на аналитическом продолжении поля и по одной из пространственных переменных. В п. 5.10.5 получены также оценки количества нулей суммарного поля и{х, у, z) и и{х, у, Z, t) на плоскости наблюдения z
- Рассматриваемые в 5.10 дискретные обратные задачи представляет собой задачи определения правой части специального вида, отвечающей произвольному набору точечных излучателей или точечных масс, в волновом уравнении или в уравнении Пуассона. Эти задачи по постановке примыкают к обратным задачам теории потенциала (см. [100, 122, 185, 203, 206, 231, 232, 234, 273]) и к работам [12, 60, 95, 101, 107, 127, 268]. 5.
- Формулировка и теорема единственности прямой задачи К р, а е в, а я (прямая) з, а д, а ч, а 5.1.
- Пусть в интервале О z Н задана вещественная функция K{z), непрерывная в каждом из интервалов [О,/г], [h, H] {h Н оо), причем K{z) О при Z 6 [О, h) и K{z) О при z G {h, Н]. Допускается любое из условий K{h 0) 7 K{h 0), K{h 0) K{h 0) О и любое сочетание (по два из четырех) условий K{h 0) 0, K{h 0) iO, K{h-0) 0, K{h-0)тО. (5.1.1) Щ1- Пусть х () заданная на прямой —оо оо вещественная непрерывная ограниченная функция, причем либо х () сохраняет знак на всей прямой, либо >с{)
- Заданы также вещественная функция f{) при —оо оо и числа h, Н. Требуется определить функцию u[z, E), удовлетворяющую уравнению в полосе О Z /i, —00 00 и в полосе h z Н, —оо оо, граничным условиям и условиям склеивания (для оо оо): ди lim 0 г—"/"+0 0, lim u 2 0 г—tn—О (5.1.3) (5.1.4) (5.1.5) Иш lim
- Имеет место Теорема 5.1.
- Предположим, что существует некоторые два pememis прямой задачи (5.1.2)-(5.1.8). Тогда они могут отличаться только на произвольную постоянную. Следовательно, прямая задача 5.1.1 может иметь только одно решение. Д о к, а з, а т е л ь с т в о Всюду ниже в 5.1 условимся обозначать через u{z,) решение однородной (при 0) прямой задачи 5.1.
- Некоторые неклассические постановки области Z?"*") и S (границе области D)*. Или 163 JAB Pd+ Pd+ JEA+BF Qdz+ Qdz+ JFE Pd 0, (5.1.11) Pd 0. JBA JAC+DB JCD Складывая последние два равенства и учитывая условия (5.1.3)-(5.1.6), получим J-a 2>iul{0,Od= JEC+DF {Kul-ul)dz. Поэтому в силу условия (5.1.8) для любого наперед заданного е О найдется такое значение а, что I /"2×1.2(0,0 d <е.>J —а Пусть х{) не меняет знак при —оо оо. Тогда из последнего неравенства следует, что при 2 0, —00 00 г*г
- Представление решения прямой задачи 5.1.
- Случай K{h -hO)jO.K{h-Q)jO Теорема 5.2.
- Пусть в условиях прямой задачи 5.1.1 х () const лг 6 (—оо, оо) причем к ф и K (h 0) 7 О, K{h 0) 7 О (тогда, очевидно, при переходе через точку Z h функция K{z) испытывает конечный скачок). Введем полоокителъные функции V{z) и V {z) по формулам j-l/Vz), 0z
- Функции А{к) и А2{к), определенные формулами (5.2.4)-(5.2.6), не обращаются в нуль одновременно при любом значении к. Д о к, а з, а т е л ь с т в о Допустим, что при некотором значении к имеем Ai{k) А2{к)
- Тогда равны нулю и функции фh{xh, k) Al{k) и (ph{xh, k) A2{k). значении к имеем: фн{хн, k) Ai{k) ph{xK, к) А2{к). Следовательно, при таком (5.2.23)
- Тогда н{к)А,{к) отсюда г1Фе (5)=0. Фн{к)А2{к), Так как 5i ф О, то $e (s)
- Следовательно, в рассматриваемой точке к одновременно должны вьшолняться два равенства: Фе (5) О, Однако это противоречит тождеству (е (а-я, 5) Фе (5) е (а:я, 5) Фе (5) <�Ре{хн, s) i{xH, s) ije{xH, з) р{хн, s) 1. Фе (5)
- Некоторые неклассические постановки 169 Л е м м, а 5.2.
- Некоторые неклассические постановки 173 5.
- Действительно, А{к)= Al{k) Al HkAl{k) {hik)} x 1, (5.3.5) kAl A-{sinh {hik) cosh A- cosh (2/iiA-) k cosh{hik) И (А-)|2 >{A kAl} x2A-2cosh (2/iiA-) xA-cosh (/iiA-), если если х
- Отсюда получаем неравенство (5.3.5).
- Некоторые неклассические постановки Из (5.3.2) и (5.3.5), поскольку при h z Н 175 получаем: Ue{z, k) тк) kcosh{k{H |со5Ь (А-(Я-г))/е=/2К2 z))/A{k) ф{к)\ cosh {к{Н 2))/e=i/2|/min (l, |х|) 2 т, а х 1 1 х ф{к), т. е. оценку вида (5.3.4) при hzH, n
- Аналогично, поскольку при О z /i 14(2, А:)| Isinh{hik) cosh{hik) е, то Uh{z, k) ф{к) kA4{z, k)/A{k) 2max (l, 1/х) ф{к), т. е. получаем оценку вида (5.3.4) при О z h, п
- Аналогично получим оценки (5.3.4) для п 1,
- Очевидно, оценки типа (5.3.4), полученные выше независимо от доказательства теоремы 5.2.1, совпадают с оценками леммы 5.2.2 для функций We, Wh в случае L-B. Из формул (5.3.3) и оценки (5.3.5) непосредственно следует, что функция А{к) на оси —со, А со имеет при х т О только один нуль (первого порядка) в точке к
- Этот же факт доказан в 2 в общем случае. Что касается оценок устойчивости вида (5.2.36) для случая L-B, то в силу неравенств (5.3.4) мы можем положить в них С 2 т, а х 1 1×5.
- Обратные задачи. Случай K{h 0) О, K{h 5.4.
- Обратная задача с данными на границе z Н Обратная задача 5.4.
- Пусть выполнены все условия т, еоремы 5.2.1 и пуст, ь при —оо оо заданы функция f{) из условия (5.1.6) и значения и{Н,) решения u{z,) прямой задачи 5.1.1 с неизвестными числами Н, х и неизвестной в интервале [h, Н] функцией K{z){V {z)). Заданы также число h и функция K{z){V{z)) определить числа Н, х и функцию K (z) при h z Н. в интервале [О,/г]. Требуется 0) О Р е ш е н и е обратной задачи 5.1.
- Обратные задачи с данными на границе z h Обратная задача 5.4.
- Пусть выполнены все условия теоремы 5.2.1 и пусть при —оо со заданы функция и одна из функций u{h,), du/dz2=h, где u{z,) решение прямой задачи 5.1.1 с неизвестными числами Н, х и неизвестной в интервале [h, H] функцией K{z). Заданы также число h и функция K{z) (V{z)) в интервале [0,h]. Требуется определить числа Н, к и функцию K{z) при h z Н. Решение обратной задачи 5.4.
- Обратные задачи с данными на границе z 0 О б р, а т н, а я задача 5.4.
- Некоторые неклассические постановки 179 на некотором отрезке вещественной оси плоскости к и числа Р, я P/v{0). Построив функции tphixhtk), iph (.Xh, k), h{k), Фл (А:), определим по формуле Si Sa Фн{к) R{k)
- ОбратНс1Я з, а д, а ч, а 5.4.
- Пусть выполнены все условие теоремы 5.2.1 и пусть при —оо О заданы значения и{0,) и ди/дг!:=о решения u{z,) прямой задачи 5.1.1 с С неизвестными числами Н, х, неизвест, ной в интервале [h, Н] функцией K{z) и неизвестной при —оо оо функцией О Задано также число h и функция K{z) в интервале [О, /г]. Требуется определить число Н и функцию K{z) при h z Н. Эту задачу мы решаем аналогично обратной задачи 5.4.4. Из самого способа репхения обратных задач 5.4.1−5.4.5 следует F, Теорема 5.4.
- Каокдая из обратных задач 5.4−1-5.4−5 имеет единственное решение. 5.
- Интегралы в равенствах (5.5.2) и в равенстве dz J-00 Ozh (5.5.9) dz есть интегралы Фурье (т. е. справедливы формулы их обращения).
- Некоторые неклассические постановки Представляя решение {Ue{zi, k), Uh{z, k)} v Ueiz2, к) Cl{k)(Pe (z2, 182 в виде к) C2{k)фe{z2,k), UH{z, k) Di{k)H{z, k) В2{к)фн{г, к) и определяя С{к), С2{к), Di{k), D2{k) из условий (5.5.14)-(5.5.17), получим для функций UejUh формулы (5.5.4), (5.5.5). Имеет место Лемма 5.5.
- Функции Ai{k), А2{к), определенные формулами (5.5.5), не обращаются одновременно в нуль при любом значении к е (—оо, оо). Д о к, а з, а т е л ь с т в о Допустим, что при некотором к имеем: Ai{k) А2{к)
- Тогда равны нулю и функции Ai{k)h{h, k) и A2{k)(ph{h, k). Следовательно, при таком значении к: Ах{к)фн{К к) A2{k)h{h, к) 0. Но в силу тождества (5.5.18) (5.5.19) т> А1{к)фн{к, к) А2{к)М, к) -ф{Нигк)
- Следовательно, равенство (5.5.19) невозможно, если число s ik пе является нулем of функции Jhus). Пусть S ik нуль функции {hi, s). Тогда в этой точке к имеем: Ai{k) ph{Kk)ip{huik), Допусти, что Ai{k) А2{к)
- Тогда Ai{k)f{h, k)-A2{k)if{h, k)=0. Но в силу тождества (5.5.18) Аг{кЖ{к, к) A2{k)
- Следовательно, в рассматриваемой точке к одновременно должны выполняться два равенства: (f (hi, s) О и %p (hi, s) 0. Но это противоречит тождеству ФеРе реФе 1- Лсмма доквзана. Поскольку число я и функции Ai{k), А2{к) вещественные при —оо, А оо, то из леммы 5.5.1 получаем Следствие 5.5.
- Если функция ш{х) вовсе не обращается в нуль на J, то это соответствует слзаю i О, 1л=½. В работе [288] Rudolf Е. Langer получил следующие оценки для некоторых частных решений ui{x, p), U2{x, p) Зфавнения (5.5.21), образующих фундаментальную систему. Пусть ui (x, p) и U2{x, p) решения уравнения (5.5.21) при начальных условиях «i (0,p) 2Ф (0)/Г (1 i ui (0,p) О, U2{0,p) О, Й2(0,р) 2-Ф{0)/{iГ{l)), где uj{x, p) [uj{x, p) -—--uj{x, p) j-j-, J 1,2, (5.5.24) 304. Асимптотические формулы для функций {0) 2ф (о) п г М р (.Я) 2 г г р (5.5.28) Г 1 х ipf 2Ф (0)Ф (х) T (PW (0) г 2Г-Ф"() Г (/г)Ф (0) 1 Ф (х) Г (1 р) Ф (а-)
- Введем следующие функции (при О z h): (5.5.43) ph Wh{z)dz, Ф{г)= Wh{z)dz, (5.5.44) Ф:(г) {Фl{z)y/-/{wн{z)y/ Очевидно, что при Ozh, zi h z Фг{z,) Фгiz), 4fi{zi) 4f,{z) ii{zi, k) i{z, k), и (5.5.45) Uh, k) i{0,k), Ф1(0) Фг (/1), *i (/i) *i (0). Учитывая, что, в силу равенств (5.5.39), (5.5.40), рн{к, к) -ф{0,к}=ф[{к, к), фн{Н, к) -ф{0,к) ф1{Н, к),
- Некоторые неклассические постановки 191 В итоге получаем следующую оценку для функции А{к). Существуют такие числа iV О и fco О, что при вещественных значениях к, —оо к <оо и при 6(0)) 2{H, s) N, к ко справедливо неравенство А{к) Q|P (A-)|{[Ci|A-p]2 [CslArpf (5.5.54) где Q некоторая положительная постоянная, не зависящая от к, а числа СьСг и функция Р{к) определены формулами (5.5.51), (5.5.52), (5.5.53). 5.5.
- Оценки для функций ye{z2,k), Ue{z2,k) Заметим, что функция Уе{2,к), определенная формулой (5.5.35), удовлетворяет уравнению y"-kk{z2)y 0, 0Z2hi (5.5.55) и начальным условиям yeihi, k) l, y{hi, k) 0 (штрих обозначает дифференцирование по гг). Мы имеем: K{z2)
- Обратные задачи в общем случае ц fp, Формулировки обратных задач 5.4.1−5.4.5 для общего случая в точности те же самые, что и в 5.4 для случая K{h 0) yi О, K{h 0) 7
- Аналогично теореме 5.2.1 имеет место Т е о р е м, а 5.6.
- Пусть выполнены все условия теоремы 5.2.1 относительно прямой задачи 5.1.
- Некоторые неклассические постановки Т е о р е м, а 5.6.
- Одновременное задание информации о решении прямых задач 5.1.1 и 5.1.2 Задавал совместно данные о решении прямых задач 5.1.1 и 5.1.2, можно сформулировать обратные задачи об определении коэффициента K{z) всюду в интервале [О, Н]. Рассмотрим, например, следующую постановку. О б р, а т н, а я задача 5.6.
- Требуется определить числа Н, h, X и функцию K{z) в каждом из интервалов [0,h], [h, H]. Сначала определим спектры задач (I), (II) 5.4 и по ним числа хн, H h, хп функцию V (xi) при О i i хя, затем спектры задач -у» q{x)y Ay, cos (у (О) sin у (О) О, -у" q{x)y Ху, О X х/г, cos ву{хн) sin 9у{хн) 0- О X x/i, W у (0) О, cos ву{хн) sin ey (xh) О, (ctg (f й о ctg в -а) (квадраты нулей функций Фн{к) и Фд (А-)) и все искомые величины и доказываем единственность решения обратной задачи 5.6.1. 5.6.
- Обратные задачи в случае (5.6.1) формулируются и рассматриваются аналогично 5.4−5.6. 5.
- Физическое содержание
- Стационарный случай Пусть N, v, fi {Л{?}, Rj{x, y, z) объекты, определенные в п. 5.8.1- kj произвольные (не обязательно вещественные) числа- Ф произвольные комплексные числа (j Ф 0): _Ф Ле О /Ij 00, О Oj 27 Г 1,2,…, N). Функции у,.-, О 5 Е bt Ф. j е щ е-М, (5.8.10) I JL &bdquo-(., М) Е Ф Л Ц -iikj/v)Rj{x, y, z) Д (,) е-М (5.8.11) являются решениями стационарного аналога прямой задачи предыдущего
- Некоторые неклассические постановки 5.8.
- Статический случай 202 Рассмотрим также функцию N где р 0 или р 1. В обоих случаях где 1 р. В случае р О функция и{х, у, z) представляет собой (с точностью до постоянного множителя) суммарный ньютонов потенциал множества точечных масс величиной rrij в точке Mj. Подчеркнем, однако, что в нашем исследовании массы rrij в выражениях (5.8.13), (5.8.14) могут быть как положительными, так и отрицательными. 5.8.
- Некоторые вспомогательные геометрические определения Приводимые ниже построения одинаковы для нестационарной, стационарной и статической задач и для обоих случаев 1 и
- Обозначим плоскость z О через S. Пусть И
- Построим для каждой из них семейства Oni, t и On2, ii- Множество всех точек пересечения этих двух семейств обозначим через /ii, 2: /ii, 2 Спь/* П Ou2, l Очевидно, множество pi конечно и содержит не более N точек. Поскольку через каждую точку Mj Е р проходит по крайней мере одна полуокружность из каждого семейства, множество р12 непусто и содержит множество р: ц с /1,
- Если П П, то на каокдой полуокруэюности Ojn леокит, только одна точка Mj Е fi и aj{t) (Pj{t), Ч/j Ф, Cj щ. § 5.
- Некоторые неклассические постановки 204 к 1,2, …, п, является ТМ-системой порядка (п 1) на отрезке [а, Ь]. (Штрих здесь обозначает дифференцирование по х). Доказательство можно найти в [108, гл. XI]. Системы функций, удовлетворяющих такого рода W-условию, рассматривал Г. Полна [Polya G.] в мемуаре [302], посвященном изучению интегралов соответствзтощих линейных дифференциальных уравнений, для которых (5.9.1) служит фундаментальной системой. 5.9.
- Число нулей определителя Вронского для нашей системы функций Рассмотрим систему Л функций Vf {{х Xkf г}-/2 Wk{x) — 0), Wk{x) {х- Xkf rl, -c SfcG (-00,00), тА О, fc l, 2,…, iV, (5.9.2) где среди пар чисел (xfc, Тк) нет одинаковых. Можно показать, что система функций {фк{х)} линейно независима в любом интервале (а, Ъ) оси х. Имеет место Л е м м, а 5.9.
- Pn, k{x)Wk t/-.P-.(x)}. гvW{-{rг -½ -(п+1) 1){х Хк) Рпф)
- Некоторые неклассические постановки, а второе произведение есть многочлен степени Щ 2{N-ai+N-a2 N-aN} 2{N-{ai a2 aN)} N (N-1). 206 Следовательно, каждый член определителя D есть многочлен степени 5N SN{N 1)/
- Поэтому DN является многочленом степени не более
- Поскольку функции системы {(/Зд.(ж)} линейно независимы в любом интервале (а, Ь) оси х, то WN{X) О И, значит, В{х) ф
- Поэтому среди коэффициентов многочлена Di{x) ajo-* сах- as+i есть отличные от нуля. В силу основной теоремы алгебры, многочлен D{x) (и, значит, определитель 1Удг (х)) имеет в комплексной плоскости (и, следовательно, на вещественной оси х) не более Jjv конечных нулей. Лемма 5.9.1 доказана. 5.9.
- Число нулей полинома F"(a-) Xlfc=i 0кФк{х) Основная лемма Ъ.2.
- Некоторые неклассические постановки 207 Следствие 5.9.
- Если некот, орый полином F"(x) вида (5.9.7), где п произвольное натуральные число, имеет на всей оси х не менее п конечный нулей, то, а О при fc l 2 n u F x 0. 5.9.
- Пусть каокдое из двух семейств пар {хк, Гк} и {х, rj не имеет, (внутри себя) равных пар и упорядочено по возрастанию. Тогда равенства j 4j, rj r[., где j l, 2,…, N, (5.9.9) а {kj}i некоторая перестановка из чисел 1,2,…, N, могут иметь место тогда и только тогда, когда j kj, j l, 2,…, N. Доказательство можно найти в [294, п. 8.3.4]. 5.9.
- Теорема единственности для обобщенных полиномов Очевидно, что любой не равный тождественно нулю полином FN{X) J2kM)> к=1 М) к? rl}- о, где среди пар {хк, гк) нет равных, можно всегда с помощью перенумерации его членов представить в виде суммы J2k-i о, кФк[), где ак ф при к 1,2,…, Ni, а пары семейства {a:fc, rfc}i упорядочены по возрастанию. Имеет место следующая Теорема 5.9.
- Пусть Ni, N[, п произвольные натуральные числа, причем и задано uNin, N[n, FN,{) Yl («М), k=i Фк{х) VK fcJ +fc (5.9.10)
- Некоторые неклассические постановки и bj ttj —а., О, Xj xf., Tj r, при j 1,2,…, Ni, где k[, k2,…, kj i i i 209 некоторая перестановка чисел 1,2, …, iVi. A, поскольку каждое из семейств {xk, rk}i и {xi, ri} не имеет равных пар и упорядочено по возрастанию, то в силу леммы 5.9.3 kj j и, значит, Oj aj, что и требовалось доказать. Из теоремы 5.9.1 вытекает Следствие 5.9.
- Пусть N п, где натуральное число п задано, а N может быть неизвестно. Заданием полинома Xj xj, Tj rj, j l, 2,…, Ni FN{3:) J ак-фк{х), фк{х) где йк е (—00, оо), Хк Е (—оо, оо), rfc О и среди пар {хк, Гк) нет равных (к 1,2,…, N), в f (2n) произвольных различных точках осих (функция f{n) определена формулой (5.9.12)J однозначно определяется совокупность всех троек чисел {ак, Хк, Гк), у которых Ок j О, и их число Ni N). 5.
- Обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников 5.10.
- Предварительные замечания о решении обратных задач Возьмем на плоскости z Q произвольную прямую П и выберем такую систему координат (х, у), чтобы П совпадала с некоторой прямой у const j/o- Пусть Xj, yj, Zj координаты точки Mj в выбранной системе координат. Положим r, y o 0 Пусть задана какая-либо пара чисел Xj, rj
- Решение обратной задачи на втором этапе единообразно для всех случаев.
- Некоторые неклассические постановки 5.10.
- Статическая обратная задача с данными на прямой 210 fci W! Пусть П произвольная прямая на плоскости z
- Повторим рассуждения первой половины п. 5.10.
- Очевидно, что поле и{х, у,0) вида (5.8.14) на П является функцией от х вида u{x, y, Q) UN{x) J2M) i=i Ы) //{-У г]- (5.10.1) В этой сумме некоторые пары {xj, rj) могут, вообще говоря, совпадать. Среди пар {xj, rj) есть равные тогда и только тогда, когда для некоторых точек М, — полуокружности Оп совпадают, т. е. когда некоторые точки Mj лежат на одной полуокружности Ojn (см. п. 5.8.2). В силу утверждения 5.8.1 (п. 5.8.2) справедливо З, а м е ч, а н и е 5.10.
- Среди пар {xj, rj) в равенстве (5.10.1) нет равных (а среди полуокружностей Ojn нет совпадающих) тогда и только тогда, когда П С П/,. Всюду далее будем полагать, что п натуральное числе такое, что N п- Хп множество из f{2n) произвольных различных (не совпадающих) точек плоскости z О, лежащих на прямой И- при этом п п{п{п? 1)/2 1}. Положим Cj rrij TUj TUj, (5.10.2) где 3, J2i---iJm (1 Щ номера тех точек Mj G M, которые лежат на одной полуокружности Oju е Оп,
- Сумма в равенстве (5.10.1) всегда может быть приведена (с помощью объединения слагаемых с одинаковыми парами (xj, rj), если они есть) к виду UN{X) J Cjpj{x), где среди пар {XJTJ) уже нет равных. Поэтому из следствия 5.9.2 вытекает Теорема 5.10.
- Пусть неизвестно число N, координаты точек Mj и числа rrij, j 1,2,…, N, но известно число п. Заданием поля u{x, y, z) вида (5.8.13) на множест, ве Хпп однозначно определяется совокупность пар {cj, Oju G Оп,/}, У которых Cj у О, и их число Ni (Ni N) — для остальных полуокружностей Ojn 6 Оп,-л, если они существуют, 0. Из теоремы 5.10.1 вытекает Следствие 5.10.
- Некоторые неклассические постановки 211 ф, З, а м е ч, а н и е 5.10.2. Для данных величин m, j 7 О и множества /i точек Mj число Ni величин Cj, отличных от нуля (и число различных полуокружностей Oju в семействе Оц), достигает наибольшего значения, равного N, тогда и только тогда, когда П С П/j, при этом Из замечания 5.10.2 и теоремы 5.10.1 вытекает Следствие 5.10.
- Пусть П С П,. Тогда заданием поля u{x, y, z) вида (5.8.13) (где ruj ф Oj на множестве Х"п однозначно определяются число N, семейство ОЦ и числа rrtj для каждой точки Mj, лежащей на Oju при всех j 1,2,…, N. 5.10.
- Нестационарная обратная задача с данными на прямой в случае 1 Пусть по-прежнему Х"п множество из /(2п) различных произвольных точек, лежащих на некоторой прямой П в плоскости z
- Положим a. W fjiit) Vhii) uit), (5.10.3) где ji, J2, ijm. номера тех точек Mj G которые лежат на одной полуокружности Ojxi из семейства Оп, г- Имеет место Т е о р е м, а 5.10.
- Если функции иЛ) (5.10.10) заданы при и 0,1,2,…, 1/0 на множестве ХпП, „о при каждом и 1,2,…, io однозначно определяется совокупность всех троек чисел {Aj {0), Xj, rj} или всех пар {Л“ (0), Ojn G On, iJ.}, для которых Л]-(0) т 0.
- Итак, утверждение 5.10.2 доказано для I/Q 0,
- Докажем его для щ 1, используя тот факт, что оно доказано для UQ, т. е. применим метод математической индукции. По функциям и{х), заданным для i/ 0 1 о на Хпп, определим однозначно при каждом i 0 1, г/о совокупность троек {Л]-, Xj, rj}, T. е. совокупность всех пар {Aj tjj{x)}, у которых Aj ф
- Пусть для некоторой полуокружности Ojn функция а{Ь), определенная формулой (5.10.3), не равна тождественно нулю. Тогда, хотя бы при одном значении v 0 1 2 величина Aj ния 5.10.1 в противном случае мы бы имели: ф О, поскольку в силу утверждеЛj (fc) Л 0 и aj{t)= Aj{k)e"dk 0. (5.10.11)
- Некоторые неклассические постановки 215 Поэтому, если a_,(t) О, то в силу утверждения 5.10.4 однозначно определяется последовательность Aj, Aj и полуокружность Ojn (она одна и та же для aj{t), Aj{k), Aj, V 1,2,…). По последовательности величин Л- v 0,1,2,…, однозначно по формулам (5.10.11) определяется функция Aj{}z) и затем Oj (i). Для остальных Оп G Оп,-, если они существуют, а[&euro-)
- Теорема 5.10.2 доказана. Из теоремы 5.10.2 вытекает Следствие 5.10.
- Пусть прямая И С Hj. Тогда заданием поля u{x.y, 0, t) вида (5.8.6), где ipj{t) ф. О, на множестве Хпп при —оо t оо однозначно определяется число N, семейство On. i и функция Pj{t) (и, значит., число tj, если yj (i) О при t tj) при —со i со для каждой точки Mj, леж: ащей на Oju, при всех j 1.2,…, N. 5.10.
- Некоторые неклассические постановки 219 „теорема 5.10.1“, „замечание 5.10.2“, „следствие 5.10.2“ на слова „следствие 5.10.3“, „теорема 5.10.2“, „замечание 5.10.3“, „следствие 5.10.4″. 5.10.5. О нулях поля, порождаемого множеством точечных источников 5.10.5.1. О нулях поля u{x, y, z) вида (5.8.13) Обозначим через Х множество, состоящее не менее чем из f (n) различных точек на произвольной прямой П, лежащей в плоскости z. 0. Из следствий 5.8.1, 5.9.1 вытекает Теорема 5.10.
- Пусть известно натуральное число п N иП произвольная прямая на плоскости 2
- Если поле и{х, у,0) вида (5.8.14) равно нулю на мноокество точек Хп, то для всех полуокружностей Oju Е Оп, — величина Cj О и, значит, и{х, у,0) О на прямой П. Если при этом WHii, то Cj щ О при j 1,2,…, N и и{х, у, z) 0. Из теоремы (5.10.4) получаем следующие утверждения Следствие 5.10.
- Пусть множество чисел {m, j} удовлетворяет условию © (см. п. 5.10.2, следствие 5.10.1). Тогда не существует такой совокупности {n., N, fi,{mj}}, для которой и{х, т/, 0) О на Х и, более того, на ХпП или на множ: естве Е, определенном в обратной задаче 5.10.1. То есть, функция гг (х, у, 0) имеет не более {f{n) 1} нулей на любой прямой П плоскост, и z
- Пусть Е* сумма множеств .Хп 1)2,…, С 1), причем прямые Ili составляют семейство из {С 1) произвольных не совпадающих прямых на плоскости 2
- Тогда, если и{х, у,0) О на множестве Е, то т О для всех j 1 2 iV и и{х, у, z)
- Пусть Пх ы Пг две несовпадающие прямые на плоскости 2 О и множ: ество р, принадлежит к классу множеств из N п точек, для которых пара Hi, Пг имеет свойство В. Тогда, если и{х, у,0) 0 на множествах Хщ пП2 „i „Р j l, 2,…, N uu{x, y, z) 0. 5.10.5.
- Нули функции u{x, y, z, t) вида (5.8.4) или (5.8.5) на плоскости 2 0 Определение 5.10.
- Точку {хо, уо) назовем i-нулем функции u{x, y,0,t), U{XQ, УО, О, t) О при —со t оо. Далее считаем, что выполнено условие (Ф), сформулированное в теореме 5.10.2. Из следствий 5.8.1, 5.9.1, утверждения 5.10.1 и формулы (5.10.9) вытекает если Теорема 5.10.
- Пусть известно натуральные число п“ N иИ произвольная прямая на плоскости 2
- Если функцияи{х, у,0,1) вида (5.8.6) имеет не менее f{n) t-нулей на прямой П {то есть, если поле u{x, y,0,t) вида (5.8.6) равно нулю при —со t оо ма множестве Хц), то и{х, y, 0, t) 0 наИ и функция aj{t) О для каж: дой полуокруж: ности Oju. G Оп, ц- Если, при этом ПёПр, то u{x, y, z, t) О uaj{t) (Pj{t) О npuj 1,2,…, N. Иначе говоря, функции u{x, y,0,t) на любой прямой П плоскости 2 0 либо имеет не более {/(тг)—1} t-нулей, либо тождественно равна нулю. Из теоремы 5.10.5 получаем следующие утвержденпя.
- Некоторые неклассические постановки 220 Следствие 5.10.
- Пусть мноокество функций {j{t)} удовлетворяет условию (Ф). Тогда не существует такой совокупности {П, N, /х, {Pj{t)}}, для которой поле и{х, у, О, t) вида (5.8.6) имело бы t-нули на множестве Х. То есть, приусловииФ функцияи{х, у,0,1) имеет, не более {/(п) 1} t-нулей на любой прямой П плоскости z
- Пусть поле u{x, y,0,t) вида (5.8.6) имеет, не менее f{n) t-нулей на каждой из {С 1) произвольных различных прямых Hi плоскости z О, i 1,2,…, С 1- тп. е. функция u{x, y,0,t) имеет t-нули на мноокестве Е, определенном в теореме 5.10.
- Тогда Pj{t) О при j 1,2,…, iV и и{х, у, z, t)
- Пусть выполнены условия следствие 5.10.
- Тогда, если функция u{x, y,0,t) вида (5.8.6) имеет t-нули на множ: ествах Xni пП2> Vjl) О Р J 1,2,…, N uu (x, y, z, t) 0. 5.10.
- Определение величин Xj.r.Ajii), или {f) по данным на Рп Пусть Рп {Рп} бесконечная последовательность точек плоскости 2 0, лежащих на одной прямой П, сходящаяся к некоторой конечной точке р. Будем говорить, что последовательность Рп имеет (относительно множества /i) свойство Л, если на прямой, нормальной к П, проходящей через предельную точку р и лежащей в плоскости г О, нет ни одной из проекций точек множества /i на плоскость 2
- Возьмем какую-либо пару найденных чисел Xj, rj. Очевидно, в полупространстве 2 0 геометрическим местом точек с координатап1, удовлетворяющим равенствам X Xj, {(уо У? 2}/ TJ является полуокружность Оп, лежащая в плоскости х Xj, нормальной к пряюй П, с центром на П и радиусом г_,-. Таким образом, по полю и (х, у, 0, i), заданному на последовательности точек Рп, мы определили все полуокружности Оп Сп. р, для которых А{]г) ф
- Определим, теперь функции aii:) вида (5.10.3). Рассмотрим комплексную плоскость z х гг. Поскольку особая точка Zj Xj+irj, соответствующая точке Mj G р, не зависит от к, то по формуле Aj{k) ±im{wjiz)U{z, y, k)}, z е D. (5.10.17) где знак плюс имеет место при Xj х, а лпшус при Xj х, определим функцию Aj{k) при —оо, А со, а затем функцию a (i) при —со i оо: оо Aj{к)еdk, оо j 1,2,…, Ni N. Если П 6 П/j, то Aj (k) j (k), aj{t)
- Стационарная обратная задача Обратная задача 5.10.
- Пусть неизвестны все величины, определяющие поле u{x, y, z, t) вида (5.8.10) или (5.8.11), числа N, v, kj, Aj, Oj и координаты точек Mj для всех j 1,2,…, N. Но на каком-либо одном из множеств Е, Е, Ez, Е4, Е, Е, определенном в обратной задаче 5.10.1, задано поле и вида (5.8.10) или (5.8.11) либо
- Следует только в формулах (5.10.14), (5.10.16), (5.10.17) заменить к на kj, Фj{k) на fj{t) Фje*, Aj{k) на Фо или на Ф (). Число kj определяем (в случае (б)) с помощью формулы гkjФj. ]щ dt г=о
- Пусть все источники, т. е. точки Mj, лежат в плоскости 2 0 по одну сторону от некоторой прямой По. Тогда обратная задача 5.10.1 имеет единственное решение {N, Mj, Tnj{j 1,2,…, N)} в статическом случае и {N, Mj, ipj{t), tj{j 1,2,…, N)} в нестационарном случае, если в качестве множества Е взять множество, состоящее из /(2п) произвольных различных точек на произвольной прямой, параллельной По. Аналогичное утверждение справедливо и для стационарной задачи. З, а м е ч, а н и е 5.10.
- Если в обратной задаче координаты точек Mj известны, то для определения величин Pj{t) или щ достаточно взять на некоторой прямой плоскости z О либо f{N) произвольных точек, либо N точек, построенньгх некоторым образом по множеству {Mj}. § 5.
- Найдена и систематически изучена бесконечная группа G точечных преобразований пространства пяти переменных t, x, y, u, u с алгеброй Ли инфинитезимальных операто392. Построено в явном виде групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) 2.4, 3.1, 4.1−4.4), описанного в 2.5 и содержащего многие классические линейные и нелинейные уравнения математической физики и их обобщения.
- Данные дифференциальные замены также порождаются групповым расслоением исходного дифференциального уравнения, записанным в формуле J[v}, v] О, относительно группы О 2.4).
- Получены уравнения, оценки и формулы, дающие некоторое новое описание двумерной (прямой и обратной) кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики) и позволяющие сводить к ним эту задачу 4.1). При этом поставлен и исследован ряд не рассматриваемых ранее вопросов в классической прямой кинематической задаче для уравнения эйконала Ы!+М1 (3) п{х, у) и обнаружены новые математические факты и связи. В том числе получены следующие результаты. 7.
- Построено групповое расслоение уравнения эйконала (3) относительно группы Ли G преобразований пространства [xytTjU) с операторами вида (1), где и т, и v?, t параметр точечного источника. Показана возможность трансформации уравнения (3) в квазилинейное волновое уравнение pvrr Vrt Wrp 2vrVp о, являющееся разрешающим уравнением группового расслоения. (4)
- Выявлено скрытое наличие представления Лакса в прямой кинематической задаче (у разрешающего уравнения (системы) группового расслоения уравнения эйконала (3) в пространстве (а-, у, i, г, п)). 7.
- Получены оценки и теоремы сравнения для геометрического расхождения лучей D{t, X, у), являющегося важной характеристикой в теории лучевого метода и прямой кинематическот! задачи, а также способ вычисления этой величины D в прямой задаче, основанный на решении задачи Коши для уравнения (5). 7.
- Показано, что обратная кинематическая задача может быть сведена к прямой задаче либо для разрешающего уравнения (4), либо для других квазилинейных систем, содержащим уравнение (5). 7.
- Получены интегральные формулы для определения некоторых функционалов от параметра п{х, у) или от функций т, п{х, у) в локальньЕХ обратных задачах как в исходных независимых переменных x, y, t, так и в (групповых) независимых переменных t, T, p. 7.
- Получена замкнутая система нелинейных уравнений для функций х x{t, r, p), у y{t, T, p), описывающих лучи (геодезические), которая, в отличие от известных уравнений луча, не содержит характеристики среды п{х, у), неизвестной в обратных задачах. 7.
- Получены замкнутые скалярные квазилинейные уравнения для величин п и (Д1п п)/п —К как функций новых независимых лучевых переменных t, T, p Tt (являющихся инвариантами группы G). 7.
- Найдены (в прямой задаче) величины, инвариантные относительно положения точечного источника сигналов (т. е. не зависящие от переменной t): дивергенция d i v T и поток fjg{f dS) вектора fr{x, y, t) п{х, у) через произвольную гладкую фиксированную (на плоскости х, у) границу S. Показано, что divT, А In п (а-, у) —v?{x, y) K{x, y). 7.10. В класспческой одномерной кинематической задаче получены следующие результа“ ты.
- Алексеев А. С Гельчинский Б Я Лучевой метод определения интенсивностей волн в неоднородных средах с криволинейными границами
- Алексеев А. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. I, II Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1962. 11.
- Алексеев А. Обратные динамические задачи сейсмики Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. 9−84.
- Алексеев, А Некоторые математические модели и прикладные технологии динамической сейсмики (теория, алгоритмы, тенденции) Тр. Междунар. конф. „Математические методы в геофизике“ (ММГ-2003). Новосибирск, 2003. Ч. 1. 3−10.
- Алексеев А. С Добринский В И Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 2. 7−53.
- Алексеев А. С Добринский В И., Непрочнов Ю П., Семенов Г. А К вопросу о практическом рхспользовании теории обратных динамических задач сейсмики Докл. АН СССР. 1976. Т. 228, JY2 5. 1053−1056.
- Алексеев А. С К, а б, а н и х и н И Обратные задачи и новые технологии в геофизике Тр. Междунар. конф. „Математические методы в геофизике“ (ММГ-2003). Новосибрфск, 2003. Ч. 1. 11−20.
- Алексеев А. С Л, а в р е н т ь е в М М., Мухометов В Г., Р о м, а н о в В Г Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. Вып. 1. 179−201.
- Алексеев А. С Л, а в р е н т ь е в М М., Мухометов В Г. и д р Численный метод определения структуры верхней мантии Земли Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1971. Вып. 2. 143−165.
- Алексеев А. С Меграбов А. Г. Обратные задачи для струны с условием наклонной производной на одном конце и обратные задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, 2. 308−310. И Алексеев А. С Меграбов А. Г. Прямая и обратная задачи рассеяния плоских волн на неоднородных переходных слоях Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Вып. 3. 8−36.
- Алексеев А. С Меграбов А. Г. Определение траектории движения импульса в обратной задаче для волнового уравнения Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1977. Т. 17, 6. 1508−1522. щ)
- Алексеев А. С Цибульчик Г. М О связи обратных задач теории распространения волн с задачами визуализации волновых полей Докл. АН СССР. 1978. Т. 242, 5. 103Q-1033.
- Алексеев, А С Цибульчик Г, М Математические проблемы сейсморазведки Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука, 1985. 91−108. 15. А н д р е е в В К., Б у б л и к В В., Б ы т е в В О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. 350 с. 16. А н д р е е в В К., К, а п ц о в О. В., П у х н, а ч е в В В Родионов А. А Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с.
- Аниконов Ю Е. О разрешимости задачи интегральной геометрии Мат. сб. 1976. Вып. 101, 2. 271−279.
- Аниконов Ю Е. О единственности решения обратных задач Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. Вып. 1. 26−40. W
- Аниконов Ю Е. Об одной задаче определения римановой метрики Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, 6. 1287−1288.
- Аниконов Ю Е О квазимонотонных операторах Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Вып. 3. 86−99.
- Аниконов Ю Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.
- Аниконов Ю Е., Пестов Л. Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск: НГУ, 1990. 64 с.
- Антоненко О. Ф. Обращение одной разностной схемы для решения одномерной динамической задачи сейсмики Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. 92−98.
- Ахатов И Ш., Газизов Р К., И б р, а г и м о в Н X. Некоторые симметрии. Эвристический подход Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 34. 3−83.
- Бабенко К И. К теории уравнений смешанного типа УМН. 1953. Т. 8, 2. 160. v Щ“ 26. Б, а б и ч В М., Алексеев А. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. 1. 17−31.
- Белип1ев М И. О нарушении условия разрешимости обратной задачи для неоднородной струны Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, 4. 57−58. 31. Б е л и ш е в М И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах Матем. сб. 1989. Т. 180, 5. 584−602.
- Белип1ев М И., Благовещенский А. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: Изд-во -Петербург, ун-та, 1999. 268 с.
- Белоносова А. В Алексеев А. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М., 1967. 137−154.
- Белоносова А. В Алексеев А. С Цецохо В А. Математическая постановка обратной кинематической задачи сейсмики для ЗВ-неоднородной среды Труды ИВМиМГ. Сер. матем. моделирование в геофизике. 1998. Вып. 5. 3−9.
- Белоносова А. В Т, а д ж и м у х, а м е д о в, а С Алексеев, А К расчету годографов и геометрического расхождения лучей в неоднородных средах Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. 124−136.
- Белоносова А. В Цецохо В, А Вычисление геометрического расхождения в декартовых координатах Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. 5−11.
- Березанский Ю М Об однозначности определения уравнения Шредингера по его спектральной функции Докл. АН СССР. 1953. Т. 93, 4. 591−594.
- Бернштейн И. Н., Гервер М Л О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, 2. 302−305.
- Бернштейн И. Н., Гервер М Л Условия различимости метрик по годографам Методы и алгоритмы интерпретации сейсмологических данных. М.: Наука, 1980. 50−73. (Вычисл. сейсмология- Вып. 13). w
- Вере Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Мир, 1961. 208 с. 45. Б и ц, а д з е А. В. Об одной задаче Франкля Докл. АН СССР. 1956. Т. 109, 6.
- Бицадзе, А В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
- Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
- Благовещенский А. Обратная задача для волнового уравнения с неизвестным источником Проблемы математической физики. Л.: ЛГУ, 1970. Вып. 4. 27−39. 49. Б л, а г о в е щ е н с к и й А. О различных постановках одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения. Л.: ЛГУ, 1970. Вып. 4. 40−41.
- Благовещенский А. О локальном методе решения нестационарно! обратной задачи для неоднородной струны Тр. Матем. ин-та им. В. Л. Стеклова. Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1971. Т. 115. 28−38.
- Благовеиденский А. Обратные задачи распространения упругих волн Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. 12. 50−59.
- Благовещенский, А С Б у з д и н, А А. Распространение волн в струне с быстро колеблющимися параметрами Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. Т. 25, вып. 4. 15−51.
- Благовещенский А. С Воеводский К Э. Обратная задача теории рассеяния от слоисто-неоднородного полупространства Дифференциальные зфавнения. 1981. Т. 17, 8. 1434−1445.
- Бородаева Н. М К вопросу о численном решении одномерной динамической задачи в схеме разведки морских осадков Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. Вып. 1. 225−234.
- Брайнес П., Суслов А. И Информационные процессы в аспекте биокибернетики Экспериментальная хирургия и анестезиология. 1964. J f 2. 13−18. Ne 56. Б у и X. Д Введение
- Бухгейм А. Л., З е р к, а л ь М., Конев В Т., Сабитова Г. Об одном классе обратных задач в дискретной постановке Обратные задачи математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. 57−65. 63. Б у х г е й м А. Л., К л и б, а н о в М В Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, 2. 269−271.
- Верещагина Л И Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя Вест. ЛГУ. 1973. Вып. 3, 13. 82−86.
- Врагов В Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983. 84 с.
- Врагов В Н. О краевых задачах для уравнений смешанного типа на плоскости. Новосибирск: НГУ, 1985. 30 с.
- Гейко В С, Об условиях единственности определения по годографу скорости распространения сейсмической волны вне волноводов Докл. АН СССР. 1980. Т. 253, jN» 1. 74−77.
- Дубровин Б А., К р и ч е в е р И М., Новиков С П Интегрируемые системы. I. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1985. Т. 4. 179−285.
- Дубровин Б, А Новиков П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 759 с.
- Еськов Е К. Успехи современной биологии. 1977. Т. 83, 3. 419. 93. Ж у р, а в л е в А. И., Акопян В. Б Ультразвуковое свечение. М.: Наука, 1977. 94. З, а й ц е в В Ф. Основные идеи и методы дискретно-группового анализа Современный групповой анализ. Баку, 1989. 93−98. 95. З, а п р е е в, А С Цецохо В, А. Обратная задача для уравнений Гельмгольца Препринт
- Иванов В К. О некорректно поставленных задачах Мат. сб. 1963. Вьш. 61, 2. 211−223.
- Лезнов А. Н., Савельев М В Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985. 279 с.
- Лионе Ж Л Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.
- Лэкс П Д. Инвариантные функционалы нелинейных эволюционных уравнений Нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 297−316. 35. М, а м о н т о в Е. В К теории нестационарных околозвуковых течений Докл. АН СССР. 1969. Т. 185, 3. 538−540.
- Меграбов А. Г Об одном подходе к обратным задачам, основанном на групповом расслоении Обратные задачи и интерпретация геофизических наблюдений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. 52−81. 158. М е г р, а б о в А. Г, О некотором подходе к обратным задачам для дифференциальных уравнений Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, 3. 583−586.
- Меграбов А. Г Метод группового расслоения. Определение точных инвариантногрупповых решений Математические проблемы геофизики: численные исследования геофизических задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 3−26.
- Меграбов А. Г Метод группового расслоения. Кинематическая задача и некоторые уравнения с парой Лакса Математические проблемы геофизики: численные исследования геофизических задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 27−68.
- Меграбов А. Г. Об определении точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения Докл. АН СССР. 1989. Т. 308, 1. 84−87.
- Меграбов А. Г. О некоторых применениях и свойствах группового расслоения Математические методы в механике: Тр. конф., приуроченной к 70-летию акад. Л. В. Овсянникова. Новосибирск, 1989. 29.
- Меграбов А. Г Некоторые уравнения, формулы и групповые свойства в кинематической задаче сейсмики Обратные задачи геофизики: Тр. Междунар. семинара. Новосибирск, 1996. 130−133.
- Меграбов А. Г Уравнения с парой Лакса, зфавнение Риккати и линейное уравнение в кинематической задаче сейсмики Труды ИВМиМГ СО РАН. Сер. мат. модел. в геофизике. 1998. Вып. 5. 26−51.
- Меграбов А. Г. Некоторые уравнения и формулы в кинематической задаче сейсмики Труды ИВМиМГ СО РАН. Сер. мат. модел. в геофизике. 1998. Вып. 5. 52−60.
- Меграбов А. Г, Групповое расслоение, уравнения с парой Лакса и кинематическая задача сейсмики Тезисы П1 Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск, 1998. Ч. 1. 147.
- Меграбов А. Г Групповое расслоение и представление Лакса Докл. РАН. 2003. Т. 390, 3. 325−329.
- Меграбов А. Г О некоторых результатах группового подхода в кинематической задаче сейсмики (геометрической оптики) Докл. РАН. 2003. Т. 390, Ла 4. 457−461.
- Мухометов Р Г О задаче интегральной геометрии Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вьш. б, ч. 2. 212−242.
- Мухометов Р Г Обратная кинематическая задача сейсмики на плоскости Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вьш. 6, ч. 2. 243−252.
- Мухометов Р Г. Задача восстановления дв}шерной римановой метрики и интегральная геометрия Докл. АН СССР. 1977. Т. 232, 1. 32−35.
- Мухометов Р Г Об одной задаче восстановления римановой метрики Сиб. мат. журн. 1981. Вьш. 22, 3. 119−135.
- Мухометов Р Г., Романов В Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в п-мерном пространстве Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, 1. 41−44. 181. Н, а й м, а р к М. А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси Тр. Моск. матем. об-ва. 1954. Т. 3. 181−270.
- Никольский Э. В Отражение плоских упругих волн от произвольного неоднородного слоя в случае нормального падения ПМТФ. 1964. 4. 65−74.
- Никольский Э. В Отражение плоских нестационарных волн от произвольного неоднородного полупространства. Акустический слзгчай ПМТФ. 1965. 3. 63−67. 184. Н е щ, а д и м М. В Групповые свойства уравнения теплопроводности. Обратные и краевые задачи Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, 3. 379−384.
- Новиков П О единственности обратной задачи теории потенциала Докл. АН СССР. 1938. Т. 18. 165−168.
- Овсянников Л В Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, 3. 439−442.
- Овсянников Л В Групповое свойство уравнения нелинейной теплопроводности Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, 3. 492−495.
- Овсянников Л. В Групповое свойство уравнения Чаплыгина ПМТФ. 1960. 3. 126−145.
- Овсянников Л. В Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 239 с.
- Овсянников Л. В Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1966.
- Овсянников Л В Групповое расслоение уравнений пограничного слоя Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1969. Вьш. 1. 24−35.
- Овсянников Л. В Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
- Овсянников Л. В Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.
- Овсянников Л. В- Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. 30−55.
- Овсянников Л. В Некоторые итоги программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики Прикл. математика и механика. 1999. Т. 63, вып. 3. 362−372.
- Овсянников Л. В И б р, а г и м о в Н X. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики Итоги науки и техники. Сер. общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 2. 5−52.
- Олвер П Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 637 с.
- Парийский Б Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине Некоторые прямые и обратные задачи сейсмологии. М.: Наука, 1968. 139−169. (Вычисл. сейсмология- Вып. 4).
- Пестов Л Н. Вопросы корректности задач лучевой томографии. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2003. 110 с.
- Погорелов А. В Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969. 201. П о л я н и н А. Д., З, а й ц е в В Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
- Попов М М. Об одном методе вычисления геометрического расхождения в неоднородной среде, содержащей границы
- Прилепко А. И Обратные задачи теории потенциала Мат. заметки. 1973. Т. 14, 5. 755−765.
- Проссер Л, Б р, а у н Ф. Сравнительная физиология животных. М.: Мир, 1967.
- Пухначев В. В Инвариантные решения уравнений Навье Стокса, описывающие движения со свободной границей Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, 2. 302−305. 206. Р, а п о п о р т И. М Об устойчивости в обратной задаче потенциала Докл. АН СССР. 1941. Т. 31, 4. 207. Р е м е з Е, Я Основы численных методов чебьпиевского приближения. Киев: Наук, думка, 1969.
- Рождественский Б Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 687 с.
- Романов В. Г. Задача об определении одномерной скорости распространения сигналов в полупространстве по режиму колебаний одной из точек этого полупространства Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Вып. 3. 164−186. 211. Р о м, а н о в В Г, Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 164 с.
- Романов В Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973. 252 с.
- Романов В. Г. Об одном классе единственности решения обратной кинематической задачи Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Вып. 4. 147−164.
- Романов В Г. Об однозначности определения изотропной римановой метрики внутри области через расстояния между точками границы Докл. АН СССР. 1974. Т 218, 2. 295−297.
- Романов В, Г. Об однозначности решения обратной кинематической задачи в круге в классе скоростей, близких к постоянным Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Вып. 5, ч. 2. 108−143.
- Романов В Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематическая задача сейсмики. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1978. 88 с.
- Романов В Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, 2. 290−293.
- Романов В Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
- Романов В Г. О локальной разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе аналитических по части переменных Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, 4. 807−811.
- Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, 4. 125−134.
- Романов В Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, 2.
- Романов М. Е., Алексеев А. Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики для горизонтально-неоднородных сред Неклассические методы в геофизике. Новосибирск, 1977. 125−137.
- Сансоне Д ж Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: ИЛ, 1953, Т. 1, 346 с- 1954, Т. 2, 415 с.
- Сидоров А. Ф., Ш, а п е е в В П., Яненко Н Н Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.
- Симметрия и дифференциальные уравнения: Тр. Междунар. конф. Красноярск: Ин-т вычислительного моделирования СО РАН, 2002. 270 с.
- Смирнов В. И., Соболев Л Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний Тр. СИАН. 1932. Вып. 20. 1−37.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981. Т. 4, ч. 2. 550 с.
- Смирнов М. М Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.
- Соболев Л, Функционально-инвариантные решения волнового уравнения Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. 259−264.
- Терехов А. Н Нелокальные краевые задачи для уравнений переменного типа Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. 148−158. 239. Т и т ч м, а р ш Е. К Введение
- Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. 3-е изд. М.: Наука, 1966. 724 с. 241. У и з е м Д>к. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с. 242. У и т т е к е р Е. Т Аналитическая диналшка. М.- Д.: ОНТИ, 1937. 243. Ф, а д д е е в Л Д Обратная задача квантовой теории рассеяния УМН. 1959. Т. 19, вып. 4. 57−119.
- Цецохо В А., Белоносов А. Полярное и азимутальное геометрические расхождения в двумерных средах с блоково-постоянным градиентом Препринт
- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990. 38 с. 251. Ч е б о т, а р е в Н. Г Теория групп Ди. М.- Д.: ГИТТЛ, 1940. 396 с. 252. Ч е к у р о в Ю И Дифференциальные инварианты некоторых расширений группы Галилея Динашка сплошной среды: Сб. на-ч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1985. Вып. 69. 123−149.
- Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р f{S)p Препринт 4-
- Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1996. 39 с.
- Чибисов В. К вопросу о сейсмическом методе и его применении в геологической разведке Вест. ВИЛ РККА. 1934. 5.
- Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1973. Вып. 14. 138−140.
- Чудов Л А. Обратная задача Штурма Лиувилля Матем. сб. 1949. Т. 25, 3. 451−456.
- Чумакова Р. И., Гительзон И. И. Светящиеся бактерии. М.: Наука, 1975.
- Чупахин А. П. О барохронных движениях газа Докл. РАН. 1997. Т. 352, 5. 624−626.
- Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980. 408 с.
- Шилов Г. Е, Математический анализ. М.: Наука, 1970. Ч. 3. 352 с.
- Шокин Ю И, Численные методы газовой динамики. Инвариантные разностные схемы. Новосибирск: НГУ, 1977. 83 с.
- Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М.: ГИИЛ, 1947. 359 с.
- Яненко Н. Н., Шокин Ю И. О групповой классификации разностных схем для системы уравнений газовой динамики Тр. МИ АН СССР. 1973. Вьш. 122. 85−96.
- Alekseev А. S., Belonosov V. S. Direct and inverse problems of wave propagation through a one-dimensional inhomogeneous medium Europ. J. Appl. Math. 1999. V. 10. P. 79−96.
- Alekseev A. S., Belonosova A. V., Belonosov A. S., Tsetsokho V. A. Some algorithms to solve 3D inverse kinematic problems of seismics J. Inv. Ill-Posed Problems. 2004. V. 12, N 3.
- Ambarzumjan W Uber eine Frage der Eingenwertheorie Zeischr. fur Physik. 1929. Bd 53. S. 690−695.
- Anikonov Ju. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.
- Bleistein N., Cohen J. K. J. Math. Phys. 1977. V. 18, N 2. P. 194.
- Bluman G. W., Kumei S. On invariance properties of the wave equations J. Math. Phys. 1987. V. 28, N 2. P. 307.
- Borg G. Eine Umkehrung det Sturm Lionvillshen Eigenwertaufgabe, Bestimmung der Differentiallichung durch die Eigenwerte Acta Math. 1945. Bd 78, N 2. S. 1−96.
- Bukhgeim A. L. Volterra equations and inverse problems. Utrecht: VNU Sci. Press, 1999.
- Bukhgeim A. L. Introduction to the theory of inverse problems. Utrecht: VNU Sci. Press, 2000.
- Cherednichenko V. G. Inverse logarithmic potential problem. Utrecht: VSP, 1996.
- Chupakhin A. P. Differential invariants: theorems of commutativity Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 2004. V. 9, N 3. P. 25-
- Fushchych W. I., Yegorchenko I. A. Second order differential invariants of the rotation group 0{n) and its extensions: E{n), P{l, n), G{l, n) Acta Appl. Math. 1992. V. 28. P. 69−92.
- Golovin S. V Basis of differential invariants for certain Lie groups and its appUcations NonHnear acoustics at the beginning of the 21st century. M.: Moscow State Univ., 2002. Vol. 1. P. 539−542.
- Golovin S. V Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2004. V. 9, N 1. P. 35−51.
- Herglotz G. Uber die Elastizitat der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd 52, N 3. S. 275−299.
- Symmetries, exact solutions and conservation laws. Boca Raton: CRC Press, 1994. 429 p. ЩЩ
- Ibragimov N H (editor). CRC handbook of Lie group analysis to differential equations. Vol.
- Applications in engineering and physical sciences. Boca Raton: CRC Press, 1995. 546 p.
- Langer R E. On the asymptotic solutions of ordinary differential equations, with an application to the Bessel functions of large order Trans. Amer. Math. Soc. 1931. V. 32, N 1. P. 23−64. 289. Lax P. D Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-
- Dordrecht- Boston- L.: Kluwer Acad. Publ., 1993. 393 p. 296. M o d e r n group analysis VII. Developments in theory, computation and application. Proc. Intern, conf. Sophys Lie Conference Center, Nordfjordeid, Norway, June 30 July 5,1
- Frondheim: Mars Publ. Symmetry Foundation, 1999. 344 p. 297. M o d e r n group analysis for the new millennium. Proc. Intern, conf. Ufa, Russia, Sept. 27 Oct. 3, 2000. Ufa: Ufa State Aviation Tech. Univ., 2001. 163 p.
- Morawetz С S. A uniqueness theorem for the Frankl problem Comm. Pure. Appl. Math. 1954. V. 7, N 4. P. 697−703.
- Nonlinear acoustics at the beginning of the 21st century. M.: Moscow State Univ., 2002. Vol. 1.
- Giver P J Equivalence, invariants and symmetry. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.
- Ovsiannikov L. V The group analysis algorithms Modern group analysis: Advanced analytical and computational methods in mathematical physics. Cluwer Acad. Publ., 1993. P. 277−289.
- Kyiv: Institute of Mathematics, National Acad. Sci. Ukraine, 2000. 263 p. Pt 1- 551 p. Pt. 2.
- Tresse A Sur les invariants differentiels des droupes continus de transformations Acta Math. 1894. V. 18. P. 1−88.
- Vessiot E Sur Iintegration des systems differentiels qui admettent des groupes continus de transformations Acta Math. 1904. V. 28. P. 307−349.
- Xiaoping Xu. Differential invariants of classical groups Duke Math. J. 1998. V. 94, N 3. P. 543−572.
- Yegorchenko I. A Differential invariant for a nonlinear representation of the Poincare algebra. Invariant equations Proc. Intern, conf. symmetry in nonlinear math. phys. Kyiv, 1997. R 200−205.