Математика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ — ФИЛИАЛ РАНХиГС

ЦЕНТР ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Кафедра Информатики и математики

Письменное контрольное задание

для студентов дистанционного обучения

Математика

Студент Кобус Ирина Юрьевна Группа 11 417

Дата 24.03.2012 г. Преподаватель Шеремет Михаил Сергеевич Новосибирск 2012 г.

Найти участки возрастания и убывания функций, классифицировать точки экстремума

Функция определена на промежутке.

Необходимое условие существования точек экстремума для функции — это существование корней уравнения: первая производная функции равна нулю, y'(x)=0.

Найдем первую производную функции, решим уравнение y'(x)=0. Найдем точки подозрительные на экстремум.

Точка возможного экстремума A (e, -e).

Рассмотрим знак производной на промежутках

. Значит, функция убывает на этом промежутке.

. Значит, функция возрастает на этом промежутке.

Точка A (e, -e) — точка минимума.

Найти определенные интегралы

Выполнить умножение матриц АВ-1С

Найдем матрицу B-1.

det (B) — определитель матрицы B

Теория вероятности (события)

В одной комнате находятся четыре девушки и семь юношей. Наудачу выбирают двух человек. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами.

Всего человек 4+7=11

Событие A — два выбранных человека — юноши.

Найдем вероятность p (A) по классическому определению вероятности,, где m — число способов выбора, благоприятных событию A, n — число всеx способов выбора.

— число способов выбора двух юношей из семи юношей.

— число способов выбора двух человек из 11-ти человек.

Теория вероятности (случайные величины)

Вероятность того, что стрелок попадет в «десятку», равна 0,5. Составить закон распределения числа попаданий в серии их четырех выстрелов. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Пусть событие, А — стрелок попадет в «десятку», тогда p (A) = 0,5, p () = 1 — p = 1 — 0,5 = 0,5 — вероятность того, что стрелок не попадет в «десятку».

Случайная величина X может принимать значения 0,1,2,3,4 — число попаданий из четырех выстрелов. Найдем вероятности p (X) для каждого значения X — закон распределения случайной величины.

P0 = (X=0) = p () p () p ()p () = 0,54 = 0,0625

P1 = P (X=1) = 4· p ()p ()p ()p (A) = 4· 0,54 = 0,25

P2 = P (X=2) = 6· p ()p ()p (A) p (A) = 6· 0,54 = 0,375

P3 = P (X=3) = 4· p ()p (A) p (A) p (A)=4· 0,54 = 0,25

P4 = P (X=4) = p (A)p (A) p (A) p (A)= 0,54 = 0,0625

Сумма всех вероятностей P = 0,0625+0,25+0,375+0,25+0,0625 = 1. Значит закон распределения случайной величины составлен верно.

Математическое ожидание

Дисперсия

Математическая статистика

1. В продовольственном магазине в течение месяца собрана информация о числе посетителей в сутки (в тыс. человек):

Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднее число посетителей и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 90% и 98% для среднего числа посетителей.

Для построения интервальной группировки необходимо определить величину частичных интервалов.

Найдем размах варьирования R.: R= Xmax — Xmin = 1,28−0,58=0,7.

Число интервалов равно v = 5, тогда длина частичного интервала За начало первого интервала рекомендуется брать величину

Конец последнего интервала должен удовлетворять условию

ni* - частоты соответствующего интервала Интервальная группировка:

Выборочная средняя .

 — объем выборки

Исправленная дисперсия

Доверительный интервал для среднего числа посетителей — a надежности 90%, то есть с доверительной вероятностью

где

n = 30,

Ф (t) — функция Лапласа, значения которой вычисляются по таблице.

Вычислим значение t из таблицы значений функции Лапласа, если 2Ф (t) = 0,9.

Ф (t) = 0,45. Находим t = 1,64.

— интервал для среднего числа посетителей — a надежности 90%.

Доверительный интервал для среднего числа посетителей — a надежности 98%, то есть с доверительной вероятностью

где

n = 30,

Ф (t) — функция Лапласа, значения которой вычисляются по таблице.

Вычислим значение t из таблицы значений функции Лапласа, если 2Ф (t) = 0,98.

Ф (t) = 0,49. Находим t = 2,32.

— интервал для среднего числа посетителей — a надежности 98%.

Решить задачу линейного программирования

Решим задачу графически Построим область на координатной плоскости, точки которой удовлетворяют данным неравенствам.

Построим прямые по точкам, ограничивающие область.

экстремум матрица вероятность линейный Найдем точки пересечения прямых между собой и с осями координат.

Точка пересечения прямых (1) и (2) .

Точка пересечения прямых (1) и (3) .

Точка пересечения прямых (2) и (3) .

Точка пересечения прямой (2) с осью .

Область, удовлетворяющая неравенствам — четырехугольник OBCD.

Так как функция линейная, то для нахождения максимума функции найдем значения функции в точках O, B, C, D и выберем наибольшее значение.

Значит, .