Основы тригонометрических вычислений

Содержание Введение

1. Стадии развития тригонометрии

2. Основы тригонометрии

2.1 Свойства функции синус

2.2 Свойства функции косинус

2.3 Свойства функции тангенс

2.4 Свойства функции котангенс

3. Стандартные тождества

3.1 Теорема синусов

3.2 Теорема косинусов

3.3 Теорема тангенсов

4. Формула Эйлера

5. Решение простых тригонометрических уравнений

6. Тригонометрические формулы

7. Сферическая тригонометрия

8. Применение тригонометрических вычислений Список используемых источников

Введение

Тригонометрия (от греч. фсЯгпнп (треугольник) и греч. мефсейн (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли). Еще в Древней Греции использовалась техника хорд для измерений и построений, связанных с измерением дуг окружности. Еще в трудах Евклида и Архимеда теоремы были представлены в геометрическом виде, аналогичном современным тригонометрическим формулам.

1. Стадии развития тригонометрии тригонометрия синус косинус тангенс

1. Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов.

2. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов.

3. В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.

4. Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

5. По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

6. В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.

7. В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригонометрия получила широкие обобщения в геометрическом плане.

В наше время современные школьники должны уметь и выполнять следующие задачи:

1. Определять синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Знать формулы основных тригонометрических тождеств.

2. Вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, выполнять преобразования тригонометрических выражений.

3. Применять основные формулы тригонометрии при преобразовании тригонометрических выражений. Проводить практические расчёты по формулам содержащим тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства. используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

4. Знать формулы приведения. Формулы синуса суммы и разности двух углов и косинуса суммы и разности двух углов. Формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности двух углов.

5. Знать тригонометрические функции, их свойства и графики. Чётность, нечётность, периодичность, ограниченность.

6. Определять арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

7. Решать тригонометрические уравнения методом группировки и разложения на множители. Решать тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

8. Решать простейшие тригонометрические неравенств.

2. Основы тригонометрии Вот одни из самых основных понятий и правил тригонометрии:

Основы тригонометрии: тригонометрический круг, синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg) угла. Основное тригонометрическое тождество.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника.

Тригонометрические функции угла и внутри единичной окружности Косинусом острого угла б в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углуб, к гипотенузе треугольника.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла ис центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу.

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

· Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

· Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

· Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

· Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

· Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.

· Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координатокружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

· Синус угла определяется как ордината точки A.

· Косинус — абсцисса точки A.

· Тангенс — отношение синуса к косинусу.

· Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).

· Секанс — величина, обратная косинусу.

· Косеканс — величина, обратная синусу.

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

2.1 Свойства функции синус

Синус

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: .

2. Множество значений — промежуток [?1; 1]: = [?1;1].

3. Функция является нечётной: .

4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен: .

5. График функции пересекает ось Ох при .

6. Промежутки знакопостоянства: при и при .

7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

8. Функция возрастает при, и убывает при .

9. Функция имеет минимум при и максимум при .

2.2 Свойства функции косинус

Косинус

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: .

2. Множество значений — промежуток [?1; 1]: = [?1;1].

3. Функция является чётной: .

4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен: .

5. График функции пересекает ось Ох при .

6. Промежутки знакопостоянства: при и при

7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

8. Функция возрастает при и убывает при

9. Функция имеет минимум при и максимум при

1. 2.3 Свойства функции тангенс

Тангенс

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел:, кроме чисел

2. Множество значений — множество всех действительных чисел:

3. Функция является нечётной: .

4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен: .

5. График функции пересекает ось Ох при .

6. Промежутки знакопостоянства: при и при .

7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:

8. Функция возрастает при .

2.4 Свойства функции котангенс

Котангенс

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: кроме чисел

2. Множество значений — множество всех действительных чисел:

3. Функция является нечётной:

4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен :

5. График функции пересекает ось Ох при

6. Промежутки знакопостоянства: при и при

7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:

8. Функция убывает при

3. Стандартные тождества

Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.

Формулы преобразования суммы углов.

Общие формулы

Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположные углами A, B, C. В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.

3.1 Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

3.2 Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом, противолежащим стороне ,

3.3 Теорема тангенсов

4. Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа выполнено следующее равенство:

где — основание натурального логарифма, — мнимая единица.

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

5. Решение простых тригонометрических уравнений Если — вещественных решений нет.

Если — решением является число вида

Если — вещественных решений нет.

Если — решением является число вида

Решением является число вида

Решением является число вида

6. Тригонометрические формулы Основные тригонометрические тождества.

sinІ б + cosІ б = 1

tg б · ctg б = 1

tg б = sin б ч cos б

ctg б = cos б ч sin б

1 + tgІ б = 1 ч cosІ б

1 + ctgІ б = 1 ч sinІ б Формулы сложения.

sin (б + в) = sin б · cos в + sin в · cos б

sin (б — в) = sin б · cos в — sin в · cos б

cos (б + в) = cos б · cos в — sin б · sin в

cos (б — в) = cos б · cos в + sin б · sin в

tg (б + в) = (tg б + tg в) ч (1 — tg б · tg в)

tg (б — в) = (tg б — tg в) ч (1 + tg б · tg в)

ctg (б + в) = (ctg б · ctg в + 1) ч (ctg в — ctg б)

ctg (б — в) = (ctg б · ctg в — 1) ч (ctg в + ctg б) Формулы двойного угла.

cos 2б = cosІ б — sinІ б

cos 2б = 2cosІ б — 1

cos 2б = 1 — 2sinІ б

sin 2б = 2sin б · cos б

tg 2б = (2tg б) ч (1 — tgІ б)

ctg 2б = (ctgІ б — 1) ч (2ctg б)

Формулы тройного угла.

sin 3б = 3sin б — 4sinі б

cos 3б = 4cosі б — 3cos б

tg 3б = (3tg б — tgі б) ч (1 — 3tgІ б)

ctg 3б = (3ctg б — ctgі б) ч (1 — 3ctgІ б) Формулы понижения степени.

sinІ б = (1 — cos 2б) ч 2

sinі б = (3sin б — sin 3б) ч 4

cosІ б = (1 + cos 2б) ч 2

cosі б = (3cos б + cos 3б) ч 4

sinІ б · cosІ б = (1 — cos 4б) ч 8

sinі б · cosі б = (3sin 2б — sin 6б) ч 32

Переход от произведения к сумме.

sin б · cos в = Ѕ (sin (б + в) + sin (б — в))

sin б · sin в = Ѕ (cos (б — в) — cos (б + в))

cos б · cos в = Ѕ (cos (б — в) + cos (б + в))

Переход от суммы к произведению.

7. Сферическая тригонометрия

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов выражается в виде:

и существуют две теоремы косинусов, двойственные друг другу.

8. Применение тригонометрических вычислений Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёздв астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Пример применения тригонометрии

Секстант — навигационный измерительный инструмент, используемый для измерения высоты светила над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение.

Список используемых источников

1.Инженерная математика: Джон Берд — Москва, Додэка XXI, 2008 г.- 544 с. 2. Сферическая тригонометрия: П. Кранц — Санкт-Петербург, ЛКИ, 2007 г.- 100 с.

3.Аджиева А. Тригонометрические уравнения//математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33,2011 г.

4.Адрова И. А., Ромашко И. В. Модульный урок в Х классе по теме «Решение тригонометрических уравнений"// математика в школе.2011. № 4. С.28−32.

5.Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. 10−11. Учебное пособие для 10−11 классов средней школы. М. Просвещение, 1998.-335 с.: ил