Оценки характеристических чисел интегральных операторов

Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П. Л. Чебышева, А. Н. Колмогорова, Г. Вейля, И. М. Гельфанда и многих других авторов.

В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных чисел и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, порядково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).

Пусть У) — пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.

Аппроксимативные числа оператора Т G &(X, Y), определяются как расстояние в &(X, Y) между оператором Т и подпространством Y) всех конечномерных операторов: an (T):=M{\T-L\x^YL: X ->Y, rankL < n — 1}, n G N, где rankL := dim.

Пусть S, T G &(X, Y) и Re &{Y, Z). Аппроксимативные числа обладают следующими свойствами: i) ||T|| = ai (T)>fl2(T)>.>0- ii) an+mi (Tf S) < an (T) + am (S), для всех n, m G N, iii) an+mi (.R о T) < an (T) ¦ am® для всех n, m G N. iv) an (T) = 0, если rank T.

Обозначим <�Ж (Х, Y) класс всех компактных операторов из ЗВ (Х, Y). Пусть lim am (T) = 0, тогда Т G X (X, У), если же Т G Y) и m-too lim am (T) = a (T) > 0, то а (Т) называют мерой некомпактности.

ТП-* 00 оператора Т.

В том случае, когда X = Y является комплексным гильбертовым пространством, аппроксимативные числа совпадают с сингулярными числами (s—числами), которые впервые появились в работах Э. Шмидта.

Пусть Т G Jf (X), тогда Т*Т имеет положительный самосопряженный квадратный корень, Т := (ТТ)½ 6 Х (Х) и для всех п G N sn (T) := А"(|Т|), пе N, где собственные числа АП (|Т|) берутся в убывающем порядке и с учетом кратности. Поведение s—чисел и их мажорантные свойства по отношению к собственным числам исследовались в классических работах Г. Вейля и им посвящена обширная монографическая литература [11], [56] и др. Аппроксимативное свойство s—чисел sn+l{T) = inf{||T — L||M: rankL < n}, доказанное в 1957 г. Д. Э. Аллахвердиевым ([И], стр. 48), послужило основой для определения а—чисел. Первоначальные основы теории а—чисел были разработаны А. Пичем [27], [65].

Другим важным примером характеристических чисел являются энтропийные числа еп (Т), п G N, (е—числа) оператора Т Е &{X, Y), определяемые как точная нижняя грань множества всех чисел? > О, для которых существуют элементы у,., ym Е Y, где т < 2n1, такие т что T (Bx)cJ{yj + ?BY}, T.e. з=1 т еп (Т) :=inf{e > 0: 3 yh ., ymeY, rn< 2n~l: Т{ВХ) С |J {yj+eBY}},.

3=1 где Вх •= {х 6 X: ||z||x < 1} - единичный шар в X, a By ~ единичный шар в Y.

Энтропийные числа обладают следующими свойствами: для S, Т G $В (Х, Y) и Я G Z) i) im| = ei (T)>e2(T)>.>0- ii) en (T + 5) < en (T) + \S\, n G N;

Hi) en{R о T) < en (T) ¦ ||R\. n G N. (0.0.1).

Апроксимативные числа также тесно связаны с другими характеристическими числами линейных ограниченных операторов. Следуя монографии [65] приведем следующие определения: п-е число Гелъфанда оператора Т G У) сп (Т) := inf{ \TJ$\: МСХ, codim (M) < n}, где Jm означает каноническую инъекцию из подпространства М на jx т банахово пространство X, т. е. М X —У. п-е число Колмогорова.

4(Т) := inf{ \QynT\: NCY, dim (N) < n}, где Qtx есть каноническая сюръекция из банахова пространства Y на т QY фактор-пространство Y/N, т. е. X —> Y —^ Y/N. п-е число Вейля хп (Т) := sup{ ап (ТЕ): Е G Щк, Х), \Е\ < 1}, п-е число Гильберта.

К (Т):= sup{an (FTE): Е G 8(l2,X), Fe \Щ < 1,1И1 < !}•.

Соотношения между характеристическими числами оператора Т G ^(Х, Y) содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. [27], [56]. Пусть Т € ЩХ, У). Тогда i) hn (T) < хп (Т) < Сп{Т) < ап (Т), К{Т) < 4(Т) < ап{Т), ii) ап (Т) < 2пУ2Сп (Т), ап (Т) < 2nll2dn (T), iii) hn (T)<2en{T), сп (Т)<�пеп (Т), dn (T) < пеп (Т).

Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т? У).

Исследованию характеристических чисел посвящены книги А. Пи-ча [27], [65], X. Кенига [56], Д. Э. Эдмундса и В. Д. Эванса [43], Д. Э. Эдмундса и X. Трибеля [51], К. Т. Мынбаева и М. О. Отелбаева [23] и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [И]. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля [79] об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.

Оценкам сингулярных чисел интегральных операторов было посвящено значительное количество работ многих авторов. Отметим основополагающую обзорную статью [8] (см. также, например, подробную библиографию к [65]). Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д. Э. Эдмундса, В. Д. Эванса и Д. Ж. Харриса [45], в пространствах Лебега на полуоси, начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди.

Пусть X — гильбертово пространство иТ G Ж{Х). Тогда хп (Т) = dn{T) = Сп (Т) = ап (Т).

0.0.2).

Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в работах Д. Э. Эдмундса и В. Д. Степанова [49] для операторов с полиномиальным ядром, Е. Н. Ломакиной и В. Д. Степановым [61], [80], [81], [82] на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е. И. Бережного. В работе И. Ньюмена и М. З. Соломяка [64] получены асимптотические формулы типа Вей-ля и оценки норм Шаттена — Неймана для сингулярных чисел оператора Римана — Лиувилля. Далее, Д. Э. Эдмунде, В. Д. Эванс и Д. Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора К: Lp Lp ступенчатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел. Эти результаты на случай К: Lp Lq и любых 1 < р, q < оо были обобщены в работах Е. Н. Ломакиной, В. Д. Степанова [83], [84], [91]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике а—чисел и е—чисел оператора К: Lp —Lq содержится в работе М. А. Лифшица и В. Линде [59], где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 < р, q < оо.

Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана — Лиувилля.

Перейдем к изложенияю основных результатов диссертации.

Пусть 1 < р < оо. Обозначим ЬР (Ш+) пространство Лебега всех измеримых функций с конечной нормой.

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения а-чисел интегрального оператора Я: LP (R+) Lq (R+) с переменными пределами интегрирования вида гФ (х).

Hf (x) = v (x) / u (y)f (y) dy, (0.0.3).

J tp{x) где u (y)? LP'(R+), v (x) € Lq (R+) и cp (x), ^(z) — возрастающие дифференцируемые функции такие, что (0) = ф (0) = 0, (р (х) < ф (х) для х € (0, оо) и р{оо) = ф (со) = оо. Для функций, обратных </> и ф будем использовать символы у?-1 и ф~1.

Остановимся на изложении основных результатов и методов первой главы. Сначала мы получаем оценки для а—чисел операторов с одним переменным пределом интегрирования.

Sf (x) = v (x) / u (y)f (y)dy (0.0.4) J о и оо.

Г/0г) = ф) / ti (y)/(y)dy, (0.0.5).

J.

Введем следующие обозначения: пусть последовательность {?n}nez задана формулой гШп) и (ф (?п))= u{t)p dt = 2n, -оо <п< Ыф<�оо. (0.0.6).

J о.

Заметим, что если = оо, то {ф{?п)} существует для всех п? Ъ, т. е. N^ = оо.

Определим = и nez / Vnez ^f" ' Vr I Zll^ll^^.^n+i))!!17!!^^!) кпеЪ.

Аналогично, для интегрального оператора Т: Lp (R+) -> Lq зададим последовательность {тп}пе% следующим равенством роо и (ч>Ы)= u (y)fdy = 2~n, -C0<00, (0.0.7).

•М^п) и положим.

Хп = \u\Lpl (M^n+,))Hbq (rn, rn+1),.

1/г / 1/г I llUllLpK^(r")^(rn+1))lbllL9(rn, rn+1) W Z.

Пусть 1/г = 1/р' + l/q, определим параметр

1, 1 < g < р < оо,.

Л := < 1/г, l.

<2, 2.

В следующей теореме получены асимптотические оценки а—чисел для операторов S и Т, обобщающие результаты исследований [46], [84], [59].

Теорема 2. Предположим, что весовые функции и Е Zy (R+), v Е? g (R+) такие, что операторы S: LP (R+) Lq (R+) и Т: LP (R+) —"• ?g (R+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны.

1.1) Пусть, А = min{l, l/r}, А = (а, Ь) С R+, J = (^(а),^(Ь)), и 6 Ljf (J), V Е Lq (А), 5: LP (J) Lq (A). Тогда cl (p, q)([ и (ф (х))гу{х)г (ф'(х))г/р'йх)/ <

Ja J limsupnxan (5) oo ./д j.

1.2) Пусть X = min{l, l/r}, A = (a, 6) С R+, I = {cp (a), ip (b)), и E Lpl{I), v E Lq (А), Г: LP (J) Lq (А). Тогда ci{p, q)(^j |мИ®))Г1Ф)Г (?'/(®))г/,/^ 7 < liminfnAan (T) <

2) Пусть S, T: Ь2{Ш+) L2{R+), < оо, < оо. nez nez.

Тогда г оо lim nan (S) = - и (ф (х))\у (х)у/Щх) dx n->00 7 Г Уо U.

I роо lim пап (Т) = - u ((p (x))\v (x)^ip'(x) dx. n-> 00 7 Г Уо.

3) Пусть 1 < q < р < оо или 1 < р < q < 2, или 2 < р < q< оо, < оо. Тогда n€Z n? Z.

Or 00 1/r a"(S) < о /.

0ЛОО 1/r о / и.

Of 00 1/r f < liminf тглап (Т) < о / n>0°.

0/>oo 1/r.

0 /.

4) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo с Л = min{l, 1/r}. Тогда.

1/r sup nAan (5) < ci (p, g) nez J и.

1/r supпхап (Т) < c2(p, q) (]Гл£) • oie z.

5) Пусть l.

X>nA) < liminfnxan (S) <.

J о / (N ^ A limsuPnV (5) < c2(p, q) inf j f? poo 1/r ci (p, g) (/ |tx (y>(®))|r|"Wr (^(a:))r/,/d® < liminfnAan (T) < iV 4 A' lirnsup nV (T) < c2(,^nf|p1Hl^, H|Vk) где inf берется no всем счетным разбиениям интервала A={A$kez.

6) Пусть l.

Vnez / n Vnez.

Далее, для исследований асимптотики а—чисел оператора Н с переменными пределами интегрирования мы строим специальное разбиение полуоси (0, оо) = (jAjfe, где, А = [(кХк+i) и 6к = [Vk, Vk+i) к определяются для к? Ъ следующим образом:.

Со = 1, % = </>(!), т = Ф[1), — 12.

Сь+1 = {<�р~1оф)к{1), -kez, (0.0.9) щ = Ф (<�р-1оя1,)к-1), fcez..

Cfc+2.

Рис. 1. Специальное разбиение полуоси..

Мы скажем, что оператор В: Lp (R+) -> L^M" 1″) имеет блочпо-диагоналъное разлооюение, если существуют два семейства дизъюнктных интервалов {4}, {Ак} такие, что (0,оо) = Ujfe^Jfc> (О"00) = Uк^к и.

Bf (x) = Y, XAk (B (fxsk))(x). к.

Пусть.

Pkf (y) = xsk (y)f (y), Qkf (x) = ха tW/W.

Очевидно, что.

Положим.

Вк = QkBPk и обозначим Вк сужение Вк на Ьр (5к), т. е. Bkf = Bkf для всех /? Lp (Sk). Легко видеть, что а (Вк) = а (Вк), и отметим также, что при 1 < р < q < оо.

В\ьр->ьч = sup \Bk\Lp->Lq = sup \Bk\Lj>{Sk)-tLq{bk). к к.

Итак,.

Я = Ф + Ф =5] Фк+52 Ф*=Е (О-О-Ю) к к к к где операторы Ф и Ф имеют блочно-диагональное разложение, и на каждом участке разбиения, когда х? Д&- = [Cfc>Cfc+i)> выполняется равенство гФ (Ск) г" Ф{х).

Hf (x) = v (x) u (y)f (y)dy + v (x) u (y)f (y)dy,.

Jip (x) J^k) которое позволяет в дальнейшем использовать результаты, аналогичные полученным для операторов (0.0.4) и (0.0.5) с одним переменным пределом..

Напомним, что счетная функция последовательности {ап (В)} задается в виде n (t, а (В)) = card {k е N: ак (В) >t}, t> 0. (0.0.11).

Ключевую роль для получения асимптотических оценок аппроксимативных чисел играет лемма о счетных функциях компактного оператора..

Лемма 1. Пусть 1 < р < q < оо, В: Lp (Е+) -> Lg (M+) компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разложение.

В = Вк. Тогда для всех е > 0 к п (е, В) < ^2п{е, Вк). (0.0.12) к.

Данная лемма позволяет получать оценки сверху для а—чисел операторов, имеющих блочно-диагональную структуру..

Пусть последовательности {?fc, n}? Afc и {т^}? Д^ заданы по аналогии с формулами (0.0.6) и (0.0.7) следующими соотношениями гШк, п) MCm-I) u{t)p'dt = 2n, / u (t)p'dt = 2~n..

Определим к, п = | / ИОР^.

I r? k, n+1.

I у |ф)|<^1 Мй+i), W / rn, n+i 1/9 = / /. уфк, п) J JTk>n J.

Основные результаты первой главы диссертации заключаются в следующей теореме..

Теорема 3. Пусть 1 < р < оо, оператор Н: -LP (R+) -> LP (R+) вида (0.0.3) компактен и ^ ^ сгк, п < 00> кк, п < 00 • Тогда к п к п выполняется оценка сверху limsupпап (Н)< Гу{х) (и{ф))(^х))1^и (ф (х))(фх))1/Л dx, n->oo J 0 о случае р = 2 имеет место эквивалентность роо г, limsup пап (Н)и / |и (ж)| |и (</?(ж))|yVW + dx. n-+oo JO.

2) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < оо, 1/r = 1 Ip1 + l/qu = min{l, 1/r}. Оператор H: LP (R+) -> ^(R+) компактен и ^ ^ <�т^п < oo, ^ ^ < оо. Тогда k n k n limsup пАап (Я) «{? [ [ |ф)Пи (</^))1 VM)^.

LM* - 15 Е k€Z.

UAk v (x)ги (ф (х))г (ф'(х))^'.

1/r'.

3) Пусть I.

<5<00 с A = ½ + min{l/p', 1 /q], оператор H: Lp (R+) —> Lg (R+) компактен и У^ < оо,.

Е S Чп < k п п limsupпхап (Н) < < У^ к.

П-> 00.

1/Л |.

1/а Е к N inf (?>"11/ Jlim=l.

1/А I.

1/а.

Lq (AkД*, 2>-ДМГ} интервала Ак..

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [85], [87], [89]..

В 1918 году Ф. Рисс [69] опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур [78] еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые бы гарантировали, что последовательность собственных чисел {Ап} принадлежит пространству 1 Г при 0 < г < оо. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует более быструю сходимость собственных чисел оператора..

Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль [79] в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве sn (T)} б 4 влечет {|А"(Г)|} 6 1 Г..

Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг [56] получил следующий результат..

Теорема 4. [56] Пусть В € Ж[Х) и, а? (0, оо). Тогда существует константа Са, зависящая только от, а такая, что где ак (В) — k-е аппроксимативное число оператора В..

Получение оценок норм Шаттена — Неймана для конкретных классов операторов начинается с работы И. Ныомана и М. З. Соломяка [64]. Авторами были получены оценки норм Шаттена — Неймана для сингулярных чисел оператора Римана — Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негильбертов случай. Давлее, Д. Е. Эдмунде, В. Д. Эванс и Д. Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод и получили оценки норм Шаттена — Неймана для оператора Харди К: Lp, которые в дальнейшем были обобщены в работе Е. Н. Ломакиной и В. Д. Степанова [84] для К: Lp -" Lq при любых 1 < р, q < оо..

Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена — Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н: LP (R+) -" Lq (R+) с переменными пределами интегрирования..

Будем говорить, что оператор В принадлежит классу ШаттенаНеймана § Q, 1 < а < оо, если {ап (В)} G 1а, при этом оо 1 /а.

4(Д)) k=1 '.

И В? &а, и>сак, если.

Pk.^ = IIW5)}kl. = Bup*(n (i>a (B))1/el t> о где счетная функция последовательности {ап (В)} задается формулой (0.0.11). Известно [30], что лоо 1 /а к — {*I ta~ln (t, a{B))dtj ..

Основные результаты второй главы диссертации заключаются в следующем. Во-первых, для операторов с одним переменным пределом интегрирования S, T: Lp{R+) Lp{R+) вида (0.0.4) и (0.0.5) устанавливается эквивалентность норм Шаттена — Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора.

—. ?"1 VQ, 00/ Гф (х) ч f, г ч «-1 1'а.

Ц Hy) Pdy) Ц Шрм) <�р<�оои1<�а<�оо. Во-вторых, получена оценка сверху для оператора Н: LP (]R+) -" LP (R+) с двумя переменными пределами интегрирования.

1№"<<(Е (7 МрУ У (ЛМ М*)!^) ' «VAm / JAmJ.

В-третьих, для случая Н: ?г (М+) ^(Ж" 1″) и 1 < а < оо доказана двусторонняя оценка причем, для 2 < а < оо этой эквивалентности можно придать более компактный вид..

И наконец, из пролученных результатов мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования..

Пусть последовательности {?"} и {тп} определяются формулами гШп) и (ф{?п))= / u (t)p dt = 2n, nGZ, -оо <�п<�Щ<�оо,.

J о л оо с/?(тп)) = / |u (y)|p' dy = 2~n, n € Z, -00 < < n < oo. Обозначим /-fn+l Ч1^ / ГТ&bdquo-+1 i/p.

Ц, U^(ip (x))v (x)4xj..

Теорема 5. Пусть 1 < a < оо, операторы S: Z>p (K+) и.

T: Lp (R+) LP (M+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны. Тогда W.

La, w И W k (S)} щ} a (N).

Хк} ак (Т)} а fa (N).

Эти важные соотношения следуют из эквивалентности счетных функций последовательностей {сг*.} и {а^(5)}, {щ} и {ак (Т)}, которая доказывается в сериях лемм 2.2.1−2.2.7 главы 2..

Далее, для операторов S и Т мы рассматриваем функционалы t/д ~ Jq, j la ~ I’a, зависящие от весовых функций:.

1/а.

00 а/р'.

00 р-1.

Ja=(/ (/ МП (/ v (x)*dx roo а/р мр HvW’dy h-Hv) J.

00 / г00 ф-Цу) а/р' / а = f-1 v.

1/а.

1/а Ш нр v (x)pdx.

О w / J о.

ДГ1/ /^" '(i/) а/р.

-оо / />оо.

1/а i= I /о (J |"Г| Ц ItfJ HvW’dy.

Следующие теоремы устанавливают эквивалентности. Теорема 6. Если 0 < а < оо, 1 < р < оо, то к} ч ~ Ja ~ J’a.

Теорема 7. .ЁЬш 0 < а < оо, 1 < р < оо, то щ}.

Т ~ Т' La ~ J-a.

Из доказанных выше оценок, для компактных операторов с одним переменным пределом интегрирования мы получаем два следствия. Следствие 1. Пусть 1<�р<�оо-1<�а<�оо, S: LP (R+) -> LP (R+).

— компактный оператор определенный формулой (0.0.4). Тогда да) ** (jT (j^'mfdy⁷ (f&trade-mpdt)Р.

Следствие 2. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо, Т: LP (R+) ->• LP (R+).

— компактный оператор определенный формулой (0.0.5). Тогда.

Далее, блочно-диагональное представление (0.0.10) и лемма 1 о счетных функциях позволяют получить верхнюю оценку для компактного оператора Я с переменными пределами интегрирования где Ат = [CmjCm+i) есть специальное разбиение (0.0.9), рис. 1..

Лемма 2. Пусть В: L2(М+) —> L/2(R+) — компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разлоэ/сение В = ^Я^. Обозначим к.

В = (Я*Я)½ = Y^{BlBk)1'2, (т{В) и а (Вк) — спектры оператоk рое В и Вк, соответственно. Тогда, а (|В|) = [>№!)¦ к.

В силу представления оператора Я и предложения 6 ([И], стр. 123) для 1 < а < 00, имеем ||Ф||5 В < \H\Sa, ||Ф|к < Ik, что дает.

-21 возможность получить оценки снизу: оо г / м Ск+1 v f-1 ыти>Е]Aliau2{y)dy) Ц v2(x)dx) y2{x)dx> а также г (МЫ Q/2/ сх f-i.

11К (ФЩ"Е/Д U Av) dvj Ц J на основании которых, выводим следующий важный результат..

Теорема 8. Пусть Н: ½(М+) —> компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 1 < а < оо. Тогда.

1>" (я)) {l^l)u2{y)dy) 1}2{х)<�ьУ ly2{x)dx.

1/а.

S-1.

• / rnx) «/ /Чьи 2.

При, а = 2 в предыдущей формуле имеет место равенство, а при 2 < а < оо она имеет более компактный вид..

Для функций ср (х) и ф (х) оператора (0.0.3) определим фарватер-функцию а (х) такую, что ip (x) < сг (х) < ф (х) и u2(y)dy= / u2(y)dy J ip (x) J a (x) для любого X G.

Следствие 3. Пусть H: -> ½ (Ж+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда, а (-оо / / /чг1 (*(*)) 4 а.

Е<(Я) «/ / /) у о УФ)) Н~1Ш)).

Применяя теорему 1, мы получим асимптотические оценки и для других характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегрирования..

Следствие 4. Пусть Н: I/2(R+) 1/20&+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда (гФ) V Г*5″ 1 И*)) V.

Е<(Я) Н / / и2№у) [ v2(t)dt) v2(x)dx ,.

W / /0 Л (*) J V^-ЧФ)) J J Г&trade- / гФ) И V.

Е^п (Я) Ы / / /, УГЧФ)) J J.

1 a a.

ЕВД й / / u2Wv)[ vt) dt v2(x)dx ,.

W J Jo уф) J УГЧФ)) J J.

1 a a z (ff)h/ / / v2(t)dt) v2(x)dx. n J у0 V-M*) / уф-^ф)) J J.

Используя теорему 4 и пролученные результаты для аппроксимативных чисел, мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования..

Теорема 9. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо и S, T, Н: Lp (R+) LP (R+) компактные операторы определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) и (0.0.3). Тогда.

00 /,^, Гоо f-1 1/Q.

1/q.

Результаты второй главы диссертации опубликованы в [8G], [88], [90],.

Непосредственным одновесовым обобщением операторов (0.0.2) являются операторы Римана — Лиувилля где, а > 0..

Исследование асимптотик энторопийных чисел, а также аппроксимативных чисел оператора Ta>v: Lp (0, оо) -> Lq{0, оо) при р ф q, а ф 1 не предпринемалось. Третья и четвертая главы диссертации восполняют этот пробел для целых, а > 1, обобщая и дополняя результаты работ [59], [73], [64]..

Для 1 < р, q < оо, qGN положим.

92]. L X.

Ta, vf{x) := v{x) / (х — y) Q~1f (y)dy, х>0, (0.0.13).

1 1 1 — —а- - + г р q, а также — —-г л •— г р q а,.

1 1 1 — — а—-h.

1 < q < р < оо.

1<Р<9<2, 2 < р < q < оо 1 а — - -fmm.

0.0.14).

Введем следующие обозначения:.

Mr, оо := IWkoo = sup (к + 1 + supк1'г6+,.

Г, 00 • fc>0 к<�О к< О где f2k+l l! q.

6к = 2н<*-т М v (x)4x, kez,.

Щ}к>0 и убывающая и возрастающая перестановки, причем.

Mir < Мп Мг, оо < Cvr. Пусть т := inf J] if. кеХ.

4Г1/РЦ v (x)Чх) 1/9.

1/а> А где infimum берется по всем счетным непересекающимся разбиениям.

О, оо) = [J h полуоси на интервалы {Д} такие, что ыж card{?- 6 Ж: 1к П, А ф 0} < оо, для любого компакта, А С (0, оо)..

Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме..

Пусть v Е L+ означает, что v (s) приближается снизу монотонной последовательностью конечнозначных интервальных ступенчатых функций, т. е..

О < vj (s) =? akXiJs) f |"(в)| для почти всех s 6 (0, оо)..

Теорема 10. Пусть l< р, q <оо, a GN" оператор TQ) V :.

Lp (0, оо).

Lq (0,оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с, с2 абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (i) при 1 < q < р < оо ciMr.00 < SUP naan (Ta, v) < c2vr, (0.0.15) ii) если 1 < p < q <2, 2 < p < q < oo или l.

<�ф|1/л, (0.0.16) n iii) если 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo и vr < oo, mo limsup nAan (TQ)U) < c||v||r, (0.0.17) n-> 00 iv) если 1 < p <2 < q < oo и Hi/a < oo, mo limsup nxan{TatV) < cpx (v), (0.0.18) n-> 00 v) если 1 < p, q < oo и v? L+, mo c\v\r < liminf nxan (Tav). (0.0.19) n-t 00 '.

Оценка (ii) при p = q установлена в [73] при любых, а > 1. Точный критерий ограниченности и компактности TajW: Lp (0, оо) ^(0, оо) при 0 1 и, а > 1 /р получен в [67] (см. теорему 3.1.1). При, а = 1 и без условия v 6 L+ теорема 10 получена в [59], где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (0.0.2) с помощью изоморфизмов Lp — пространств при которых оператор интегрирования (0.0.2) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (0.0.13) при, а ф при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому как и в [64], [73] в третьей и четвертой главах диссертации рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойствен.

00 ного оператора T*jVf (x) := {уx)a~lv (y)f{y)dy, х > 0..

J X.

Доказаны точные асимптотические оценки для а—чисел и е—чисел классического оператора Римана — Лиувилля..

Теорема 11. Пустъ a€N, 1 < р, q < оо и оператор Та: Lp (0,1) —> Lq (0,1) компактен. Тогда с константами с — ci (p, q) > О, С2 = с2 {p, q) > 0 выполняются асимптотические оценки: i) при 1 < p, q < оо cm~a < en (Ta) < c2n~a-.

-a. ii) при 1 < p, q < oo cn~x < an (Ta) < c2n~ где, А определена формулой (0.0.14). Пусть J?={h}keXi I= || h~ представление интервала / С (0, оо) кех в виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik, и предполагается, что v G Lq (Ik), для любого к G Ж. Здесь Ж означает либо конечное, либо счетное индексное множество..

Рассмотрим разложение пространства Lp (I) в сумму двух подпространств: L°(I) и LC (I), где j = 0,1,., а, к Е Ж,.

Lp (I) — подпространство кусочно-полиномиальных функций:.

1 обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей, а — 1..

Для функций / G Lp (I), supp / С оператор TQfV сохраняет дизъ-юнктность: ь-(1) := L-(/, if) = |/ G: jf = 0 J.

Lq (hY hex.

Зададим оператор Pf: LP (I) ->• Lcp (I) по формуле q-1 j=о fcejr где полиномы.

— (Ь — a)-'/2Pi (^ТГ?) • J = образуют ортонормированную систему в ЬгСО и f>Pj, k) ik := /.

J h.

Определим Тогда.

T — T Р° 4- Т Р° — -ta, vJ I ~ ±a, vrI и, используя свойства а—чисел, получаем n+m-lC^a^,) < СЬп (ТарРj) + am (TajVPj-)..

Заметим также, что rankPj = a-cardJf, это означает, что на конеч-N ном интервале / = | j имеем rank{Ta^vPf) = a-N, и am (TayVPj) = О к=1 при m > aN. Следовательно, на конечном интервале а—числа оператора Римана — Лиувилля Ta, v оцениваются аппроксимативными числами an (Ta^vPj)..

Для 1 < р < оо, 0 < q < оо, a G N, I = (а, 6) С (0, оо) и v € Aj (/), в силу неравенства Гельдера выполняется оценка.

Ы\ь,{1) < |/|Q-1/P|bllL,(7)||/||Lp (/), для всех / G LP (I)..

В дальнейшем величина.

Ja, v (I) :=1Г1/р-Нь< i) будет играть важную роль, и в леммах 3.3.1 — 3.3.2 доказаны ее основные свойства..

В следующей лемме уточняется значение нормы оператора TUjV при его сужении на подпространство L°p{I)..

Лемма 3. Пусть I С (0, оо), if = {h}k&x, I = || h и v G Lq (Ik). Тогда для любой функции f? L°(/, i?) sup Ja, v (h)\f\Lp (i),.

Ta, vf\Lq{I) < kejr h-a JaAh) r/il~ar) i, к€<�Ж.

1 < p < q < oo, LP (I), Kq.

В лемме 4 получена неявная оценка а—чисел оператора TQiVP°, которая в последующей теореме доводится до явной оценки..

Лемма 4. Пусть I С (0, оо), Sf = {h}ktx, I = |J h, кеХ.

Р°: LP (I) ->• L°(7,if) uv в Lq (Ik) для любого к. Рассмотрим последовательность натуральных чисел {п&-}, что п :=? (пк — 1) + 1 < оо. Тогда a{n-l)a+l{Ta, vP°) < < sup nfc1/rJaiV (/fc), кех ar.

Y, nki-arJa, v{h).

-—a.

1—ar.

1 < p < q < oo,, 1 < g < p < oo..

Базовой для получения супремальных и асимптотических оценок а-чисел является теорема 12. Теорема 12. Пусть.

I С (0, оо), if = / = [J h, jteJ LP (I) -> uv? Lq (Ik) для любого к. Тогда.

1/r где Л := min I -, a J. an (TQ, vP°) «nx ]ГM1*)' kex 1.

0.0.20).

Теорема 13. Пусть I С (0,оо) конечный интервал, v € Lq (I). Тогда limsupплan (Ta, v) «|M|ir (/). (0.0.21) n-> 00 где A := min •.

Уже из теоремы 11 видно, что случай параметров l.

v это требование также выполняется, а именно, в этом случае оценку сверху можно улучшить, причем данный случай потребовал более сложной конструкции с привлечением ортонормированной системы полиномов па отрезке..

Теорема 13. Пусть 1 < р < 2 < q < оо, I С (0,оо) конечный интервал, v? Lq (I). Тогда limsup nxan (Ta>v) < /3x (v), (0.0.22) n-> oo где A = a — ½ + min (l/g, l/p')..

Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора РиманаЛиувилля на полуоси (0.0.15), (0.0.16) получены с помощью а—чисел диагональных оператров. Кроме этого, в диссертации приведена техника, касающейся изоморфизмов Lp пространств и показано, что оператор Та, v сохраняет тип и дизъюнктность при этих преобразованиях. В § 3.2 доказано, что оператор Т®-^: L°(I) Lq{I) изоморфен оператору \(р\ьг • Т°: L°(0,1) -" Lq (0,1), где в качестве весовой функции v (x) выступает интервальная ступенчатая функция N.

Р (Х) :=^2akXh{x), ak > 0, при этом k=1 an (TQg = ЫьМТ°), еп (т^) = ЫьМПУ.

И далее, для получения нижних оценок а—чисел, а также и е—чисел оператора Римана — Лиувилля, используем лемму 5 и результаты теоремы 11..

Лемма 5. Пусть I С (0, оо) конечный интервал, 0 < v Е L+, v Е Lq (I). Тогда для любого rj Е (0,1) существуют оператор Y: Lq (I) —> Lq (I) и число (3, удовлетворяющие следующим условиям:.

Основным результатом четвертой главе диссертации является следующая теорема..

Теорема 14. Пусть 1 < р, q < оо, aG N и оператор Та, v '¦ Lp (0, оо) Lq (0, оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, ci, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: i) при l.

<2,2.

ЬР а.

Ь?(0Д) sup nxen (TaiV) < c|u|i/A,.

0.0.23) n где параметр, А определен формулой (0.0.14), (ii) при 1 < q < р < оо ciMr. oo < supnaen{Ta, v) < c2v.

Г1.

0.0.24) П iii) при любых 1 < p, q < оо.

СTa, v).

0.0.25) n iv) при l.

< liminf naen (Ta)V)..

0.0.26).

Для получения верхних оценок е—чисел используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами [39]: для Т G У) и любого 7 > 0 sup n7en (T) < c7sup n7an (T). п п.

Оценки снизу (0.0.24), (0.0.25) энтропийных чисел оператора (0.0.13) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров..

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана — Лиувилля. Результаты третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в [93] - [97]..

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю. Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В. Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска..

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетияка (Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.).

Результаты данной работы отражены в публикациях [80]-[97]..

Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством чл.-корр. РАН, профессора В. Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В. Д. Степанову за многолетнюю совместную работу, доброе внимание и поддержку..

1. Аллахвердиев Д. Э. О скорости приближения вполне непрерывных операторов конечномерными операторами // Уч. зап. Азерб. университета. № 2. 1957. С. 27−35..

2. Апышев О. Д., Отылбаев М. О. О спектре одного класса дифференциальных операторов и некоторые теоремы вложения // Серия математическая. 1979. Т. 43. N 4..

3. Берг Г., Лёфстрём Г. Интерполяционные пространства.-М.: Мир, 1980..

4. Бережной Е. И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах // Труды МИ РАН 1993. Т. 204. С. 3−34..

5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов I // Вестник ЛГУ. № 7. Вып. 2. 1967. С. 43−53..

6. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов II // Вестник ЛГУ. № 13. Вып. 3. 1967. С. 21−28..

7. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Аппроксимация функций классакусочно полиномиальными функциями // Матем. сб. 73.1967. С. 331−335..

8. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. N 1. С. 17−84..

9. Гельфонд А. О. О росте собственных значений однородных интегральных уравнений. Приложение к книге: У. В. Ловитт. Линейные интегральные уравнения. М., Гостехиздат. 1957. С. 233−263..

10. Гольдман M.JI., Степанов В. Д. Пространство дробных потенциалов Римана Лиувилля на полуоси // Препринт ВЦ ДВО РАН № бб. Хабаровск. 2003. 12 с.И. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965..

11. Глускин Е. Д. Нормы случайных матриц и диаметры конечномерных множеств // Матем. сборник. 1983. Т. 120. С. 180−189..

12. Исмагилов Р. С. n-мерные диаметры компакта в гильбертовом пространстве // ФА и его приложения 2:2 1968. С. 32−39..

13. Исмагилов Р. С. Диаметры множеств в линейных нормированных пространствах и аппроксимация функций тригонометрическими полиномами // УМН 29:3. 1974. С. 161−178..

14. Исмагилов Р. С. Диаметры компактных множеств в линейных нормированных пространствах // Сб. статей «Геометрия линейных пространств и теоря операторов.» Ярославль 1977. С. 75−113..

15. Канторович ЛВ., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984..

16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976..

17. Кашин B.C. Поперечникии Колмогорова октаэдров // ДАН СССР № 214. 1974. С. 1024−1026..

18. Кашин B.C. Диаметры октаэдров // УМН 30:4. 1975. С. 251−252..

19. Кашин B.C. Диаметры некоторых конечномерных подмножеств и некоторые классы гладких функций // ИАН СССР, сер. матем. 41. 1977. С. 334−351..

20. Лизоркин П. И., Отелбаев М. Оценки аппроксимативных чисел вложений пространств соболевского типа с весами // Труды МИ-РАН СССР 1984. Т. 170. С. 213−232..

21. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Издательство ЛГУ, 1985..

22. Мынбаев К. Т., Отылбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988..

23. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов // Докл. АН СССР 1992. Т. 44. С. 291−293..

24. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов // Труды ИМ им. Стеклова 1994. Т. 204. С. 240−250..

25. Параска В. И. Об асимптотике собственных и сингулярных чисел линейных операторов, повышающих гладкость // Матем. сб. 68 (110):4. 1965. С. 621−631..

26. Пич А. Операторные идеалы. М: Мир, 1982..

27. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки операторов Рима-на-Лиувилля и приложения // Тр. Мат. ин-та РАН 2003. Т. 243. С. 289−312..

28. Рисс Ф., Сёкифальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-лизу.-М.: Мир, 1979..

29. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ па евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974..

30. Степанов В. Д. О сингулярных числах одного класса интегральных операторов // Доклады РАН 1994. Т. 336. № 4. С. 457−458..

31. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Тр. Матем. инст. им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. № 5. С. 298−317..

32. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. МГУ, 1976..

33. Тихомиров В. М. Теория приближений. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 14. М., 1987..

34. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Изд-во «Мир». М. 1980..

35. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ., М., 1948..

36. Aleksandrov А.В., Janson S., Poller V.V., Rochberg R. An interesting class of operators with unusual Schatten-von Neumann behavior // University of Uppsala. Preprint. 2001. P. 1−89..

37. Carl B. Entropy numbers of diagonal operators with application to eigenvalue problems //J. Approx. Theor. 1981. 32. P. 135−150..

38. Carl B. Entropy numbers, s—numbers and eigenvalue problems //J. Funct. Anal. 1981. 41. P. 290−306..

39. Carl B. Entropy numbers of embedding maps between Besov spaces with an application to eigenvalue problems // Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 90. 1981..

40. Carl В., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1990. 277 p..

41. Chen T. and Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures // J. Ineq. Appl. № 7. 2002. P. 829−866..

42. Edmunds D.E., Evans W.D. Spectral theory and differential operators. Oxford: Oxford Univ. Press., 1987..

43. Edmunds D.E., Gurka P., Pick L. Compactness of Hardy-type integral operators in weighted Banach function spaces // Studia Math.109. 1994. P. 73−90..

44. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators //J. London Math. Soc. 1988. V. 38. (2). P. 471−489.

45. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. 1997. V. 124. P. 59−80..

46. Edmunds D.E., Harris D.J., Lang J. Two-sidedestimates for the approximation numbers of Hardy-type operators in L^ —> L // Studia Math. 130 (1998). P. 171−192..

47. Edmunds D.E., Haroske D.D. Embeddings in spaces of Lipschitz type, entropy and approximation numbers and applications //J. Approx. Theor. V. 104. 2000. P. 226−271..

48. Edmunds D.E., Stepanov V.D. The measure of non-compactness and approximation numbers of certain Volterra integral operatirs // Math. Ann. 1994. V. 289. P. 41−66..

49. Edmunds D.E., Stepanov V.D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators //J. Funct. Anal. V.134. N1. 1995..

50. Edmunds D.E., Tribel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1996..

51. Gogatishvili A. and Lang J. The generalized Hardy operator with kernel and variable integral limits in Banach function spaces // J. Ineq. Appl. № 4. 1999. P. 1−16..

52. Goldman M.L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions // Khabarovsk: Computer Center. Far-Eastern Branch. Russian Academy of Sciences. Preprint № 31. 1998..

53. Haroske D. Approximation numbers in some weighted function spaces // J. Approx. Theor. V. 83. Ж 1. 1995.

54. Heinig H.P. and Sinnamon. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math. 129. (1998) P. 157−177..

55. Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators Birkhauser // Boston, 1986..

56. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy operators // Proc. LMS № 79. 1999. P. 649−672..

57. Lang J., Mendez 0., Nekvinda A. Asymptotic behaviour of the approximation numbers of the Hardy-type operator from Lp into Lq // J. Ineq. Appl. V. 5. 2004. P. l-36..

58. Lifshits M.A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volter-ra operators with application to Brownian motion // Mem. Am. Math. Soc. 2002. V. 745, P. 1−87..

59. Linde R. s-numbers of diagonal operators and Besov embedding // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1986. P. 83−110..

60. Lomakina E., Stepanov V. On the compactness and approximation numbers of Hardy type integral operators in Lorentz spases // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 53. P. 369−382..

61. Martin-Reyes J., Sawyer E. Weighted inequalities for Reimann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater // Proc. Amer. Math. Soc. 106. 1989. P. 727−733..

62. Muckenhoupt B. Hardy’s inequalities with weights // Studia Math. 44. 1972. P. 31−38..

63. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integr. Equat. Oper. Th. 1994. V. 20. P. 335−349..

64. Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Geest Portig, Leipzig, 1987..

65. Pinkus A. n-widths in Approximation Theory. Spriger Verlag, 1985..

66. Prokhorov D.V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. 617−628 p..

67. Reimenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators // Tohoku Math. Jorn. 26. 1974. 3. P. 385−387..

68. Riesz M. Uber lineare Functionalgleichungen // Acta Math. 41. 1918. P. 71−98..

69. Sawyer E.T. Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator // Trans. Amer. Math. Soc. 281. 1984. P. 329−337..

70. Schmidt E. Entwicklung willkiirlicher Functionen nach Systemen vorgeschriebener // Math. Ann. 63. 1907. P. 433−476..

71. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial type inequalities // J. Math. Anal. App. 160. 1991. P. 433−445..

72. Solomyak M. Estimates of the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371−383..

73. Stepanov V.D. Weighed inequalities for a class of Volterra convolution operators // J. London Math. Soc. 45. 1992. P. 232−242..

74. Stepanov V.D. Weighed norm inequalities for integral operators and related topics // Invited lecture held at the internationl Spring School. Prague. 1994..

75. Stepanov V.D. On the Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // Research Report J№ 30. Khabarovsk: Computer Center FEB RAS, 1998. P. 51..

76. Stepanov V.D. On the lower bounnds for Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // J. Londan Math. Soc. 2000. V. 61. P. 905−922..

77. Schur I. Uber die characteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen // Math. Ann. 66. 1909. P. 488−510..

78. Weyl H. Inequalities between the two kindsof eigenvalues of a linear transformation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA № 35. 1949. P. 408−411.Работы автора по теме диссертации..

79. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространсвах на полуоси // Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 1. С. 21−23..

80. Lomakina Е. and Stepanov V. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces // Public. Matem. Universsitat Autonoma de Barselona. № 42. 1998. P. 165−194..

81. Ломакииа Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Хар-ди в пространствах Лоренца // Сборник научных трудов НИИ КТ. Раздел математика.- Хабаровск: Изд-во Хаб. гос. техн. ун-та. 1999. Выпуск 8. С.45−52..

82. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Об асимптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена Неймана интегрального оператора типа Харди // Доклады РАН. Т. 367. № 5. 1999. С. 594−596..

83. Lomakina Е., Stepanov V. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and application. Narosa Publishing Hause. New Delhi. 2000. P. 153−187..

84. Lomakina Е. The boundedness of the generalized Hardy operator with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 46. Хабаровск. 2000. 27 с..

85. Lomakina Е. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy integraloperators with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 51. Хабаровск. 2001. 28 с..

86. Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов I // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 1. 2003. С. 178−192..

87. Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов II // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 2. 2003. С. 372−388..

88. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора РиманаЛиувилля // Препринт ВЦ ДВО РАН № 84. Хабаровск. 2005. 50 с..

89. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора РиманаЛиувилля // Доклады РАН. Т. 403. № 5. 2005. С. 598−599..

90. Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Римана Лиувилля // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова: тезисы докладов. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 35..

91. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана Лиувилля // Математические труды. Т. 9. № 1. 2006. С. 52−100..