Исследование различных типов внутренних гравитационных колебаний и волн в ионосфере методами нелинейной динамики

В диссертационной работе методами нелинейной динамики исследуются внутренние гравитационные волны (ВГВ) и гравитационные шумоподобные колебания.

Актуальность темы

исследований.

Динамика ионосферы в целом определяется совокупностью всех движений в их нелинейном взаимодействии. Изменчивость параметров ионосферы и волновода Земля — ионосфера, существенно зависят от волновых возмущений на ионосферных высотах. В частности, на метеорных высотах (80−110км) выделяют как линейные, так и нелинейные движения. Поле скоростей ветра принято раскладывать в ряд на простые гармонические колебания, составляющими которого являются гравитационные волны разных периодов. К линейным и квазилинейным волнам относят преобладающий ветер, приливы, линейные ВГВ. В данном случае под гравитационными волнами понимают распространяющиеся во времени колебания внутри атмосферы, обусловленные гравитационными полями Земли и Луны. Причиной начального возмущения также является резкое изменение основных характеристик атмосферы (плотность, температура, давление, состав и движение), вызванное увеличением солнечной активности, неоднородностью подстилающей поверхности или движением солнечного терминатора. При возникновении ВГВ атмосфера, находящаяся в поле тяжести, выводится из равновесного состояния и возникают колебания плотности, давления, температуры и скорости воздуха. ВГВ имеют широкий спектр периодов (от 10 минут до 24 часов) и длин волн (от 100 м до 1000 км) [1]. Менее изучены нелинейные движения, такие как нелинейные ВГВ, турбулентность и гравитационные шумоподобные колебания, представляющие собой детерминированный хаос гравитационной природы.

В большинстве случаев нельзя ограничиваться рассмотрением только линейных гравитационных волн. Наиболее адекватное описание волновых и хаотических процессов достигается учётом всех возможных особенностей среды. Математически это выражается введением соответствующих поправок в волновое уравнение. Так, например, диссипативные процессы связаны с вязкостью и теплопроводностью воздуха, они приводят к уменьшению амплитуды возмущения. Нелинейность обусловлена зависимостью поведения волнового пакета от его амплитуды, она усиливает диссипацию волновых пакетов, генерируя гармоники с большими волновыми числами. Дисперсия выражает зависимость групповой скорости от волнового числа и препятствует опрокидыванию волны. Кроме того, на движение нейтрального газа в атмосфере оказывают влияние силы теплового происхождения, приводящие к неустойчивости среды. В случае взаимного компенсирующего действия указанных процессов, образуется стационарная бегущая волна — солитон. Типичными нелинейными волновыми уравнениями, имеющими солитонные решения, являются уравнения Кортевега де Вриза, Кадомцева — Петвиашвили, Шрёдингера и sin — Гордона. Нелинейные уравнения обычно имеют несколько качественно отличающихся друг от друга решений. В случае учёта поправок, включающих производные высокого порядка, мы получим многомерные нелинейные динамические системы. Такие системы при определённых условиях имеют интересные решения в виде апериодических шумоподобных колебаний, напоминающих случайный процесс. До открытия явления детерминированного (динамического) хаоса считалось, что шумоподобные колебания обусловлены флуктуациями, погрешностями измерительной аппаратуры и другими случайными внешними факторами. Оказалось, они вызваны динамикой самой системы. В фазовом пространстве детерминированному хаосу соответствует хаотический (или странный) аттрактор.

Объективная необходимость исследования внутренних гравитационных волн и шумоподобных колебаний в метеорной зоне обусловлена множеством различных задач, касающихся изучения волновых!, возмущений в ионосфере. Состояние ионосферы во многом определяется динамическими процессами, происходящими в нейтральном газе. Теоретической моделью исследуемых процессов служит обобщённое уравнение КП-класса (Кадомцева-Петвиашвили) с произвольным показателем нелинейности для скорости нейтральной компоненты газа в атмосфере, имеющее решения, в частности, в виде нелинейных ВГВ и решения, соответствующие сложной динамике и хаосу.

Особый интерес представляют шумоподобные колебания как незатухающие апериодические колебания, напоминающие случайный процесс. Шумоподобные колебания в настоящее время считаются нормой динамического поведения нелинейных физических систем, в отличие от шума как помехи в информационной передаче.

В последние годы значительное число работ посвящено исследованию и прогнозированию временных радов с использованием теории динамических систем. Временной ряд значений скорости ветра характеризует движение (процесс) в ионосфере, после соответствующей обработки можно с большой точностью произвести оценку будущего значения временного ряда, что важно для решения задач, связанных с исследованиями динамики ионосферы. В связи с этим значительный интерес представляет определение характеристик временных рядов скорости ветра: показателя Хёрста, автокорреляционной функции, корреляционной размерности.

Цель диссертационной работы.

Классификация четырёхмерных состояний равновесия обобщенного уравнения КП, моделирующего различные типы внутренних колебаний и волн. Получение важных физически значимых решений обобщённого уравнения КП, описывающего динамику нелинейных волновых возмущений в ионосфере, построение фазовых портретов, классификация решений обобщённого уравнения КП. Обнаружение шумоподобных колебаний (динамического хаоса) среди решений обобщённого уравнения КП. Выявление динамического хаоса во временных радах скорости ветра.

Поставленная цель включает решение следующих задач: исследование методами нелинейной динамики временных рядов горизонтальной скорости ветра в ионосфере, определение характеристик временных рядов скорости ветра: показателя Хёрста, автокорреляционной функции, корреляционной размерности, фазовой траектории. Построение графика значений горизонтальной скорости ветра в западном направлении с линией тренда, графиков динамики показателя Хёрста для северного и западного ветра. Построение графика зависимости отношения нелинейного коэффициента к коэффициенту дисперсии от высоты однородной атмосферы.

Методы исследования.

Решение поставленных задач базируется на методах нелинейной динамики. Во II главе получение результатов обусловлено как широким применением методов качественного анализа, так и разработкой нового методического приёма — разделений на блоки четырёхмерных нелинейных систем — к изучению модели нелинейных волн. В III главе при обработке временных рядов использовался метод нормированного размаха или метод Хёрста. Корреляционная размерность определяется методом расчёта корреляционного интеграла.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием точных математических методов анализа решений обобщённого уравнения КП и соответствующих этим решениям фазовых траекторий. Используются надёжные методы нелинейной динамики. Существование решений обобщённого уравнения КП, соответствующих сложной динамике и хаосу, хорошо согласуется с фактом существования динамического хаоса в экспериментальных данных.

Основные положения, выносимые на защиту.

1 .Классификация четырёхмерных состояний равновесия обобщённого уравнения Кадомцева — Петвиашвили, моделирующего различные типы внутренних колебаний и волн.

2.Фазовые портреты для ряда физически актуальных частных случаев уравнения КН. Эффективность способа изображения многомерных фазовых портретов исследуемого уравнения в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости.

3.Классификация решений обобщённого уравнения КП по типу соответствующих им фазовых траекторий. Новые, ранее неизвестные, типы решений этого уравнения.

4.Существование решений обобщённого уравнения КП, соответствующих детерминированному хаосу (шумоподобным колебаниям).

5.Наличие детерминированного хаоса во временных рядах скорости ветра в нижней ионосфере.

Научная новизна.

Впервые показано, что обобщённое уравнение КП, описывающее динамику нелинейных волновых возмущений в ионосфере, имеет решения, соответствующие динамическому хаосу. Предложен новый способ построения многомерных фазовых портретов (в проекциях) и впервые построены четырёхмерные фазовые портреты для частных случаев обобщённого уравнения КП. Установлено соответствие ряда четырёхмерных фазовых траекторий конкретным типам нелинейных волн, таким как кноидальные волны, солитоны с гладкими и осциллирующими «хвостами». Построена классификация четырёхмерных состояний равновесия уравнений класса Кадомцева — Петвиашвили (КП). Впервые составлена классификация решений обобщённого уравнения КП по типу фазовых траекторий. Новым результатом является также вычисление важнейших характеристик временных рядов скорости ветра: корреляционной размерности, автокорреляционной функции. Рассчитан показатель Хёрста для ряда случаев северного и западного ветра. Результаты проведённых исследований важны для понимания сложной динамики волновых возмущений в ионосфере. Именно методы нелинейной динамики, позволяющие определить важнейшие характеристики временного ряда скорости ветра, позволяют прогнозировать будущие значения и динамику временного ряда.

Применение изложенных методов исследования обобщённого уравнения КП окажется эффективным при решении широкого круга задач. Например, при изучении решений и интерпретации многомерных фазовых портретов более сложных неодномерных модельных уравнений.

В целях исследования решений обобщённого уравнения КП автором предложен новый способ изображения многомерных фазовых портретов в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости, составлена классификация четырёхмерных состояний равновесия, по аналогии с известной классификацией трёхмерных сос тояний равновесия.

Построены четыре четырёхмерных- (в проекциях) фазовых портрета для частных случаев обобщённого1 уравнения КП, при значениях коэффициентов /7 = 1,2, ц = 5 = 0, у > 0,/? = 0,±-Г. Для трёхмерного случая, выявлены типы особых’точекОбобщение для произвольных коэффициентов и расчёт асимптотик выполнены совместно с В-ЮБелашовым.,.

Показано, что обобщённое уравнение КП в случае учёта диссипации и неустойчивости? имеет решения, соответствующие сложной динамике и хаосу. Составлена классификация решений обобщённого уравнения: КП по типуфазовой траектории. ,.

В п. 3.2 и п. 3.3 автором исследованы временные ряды, предоставленные Р. А. Ишмуратовым. Автору принадлежит, также исследование детерминированного хаоса во временных рядах скорости ветра для нижней ионосферы. Вычислены важнейшие характеристики временных рядов скорости? ветра: корреляционная размерность, автокорреляционнаяфункция: и показатели Хёрста для: разных. месяцев. Для расчёта характеристик временных рядов использована программа FRACTAN 4.4 [2]. Построены графикиотражающие динамику показателя Хёрста. Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные выводы диссертации:

1.Построена классификация четырёхмерных состояний равновесия уравнений класса Кадомцева — Петвиашвили (КП).

2.Построены фазовые портреты для ряда физически актуальных частных случаев уравнения КП. Предложен способ изображения многомерных фазовых портретов в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости. Применение методов качественного и асимптотического анализа позволило расширить и углубить существовавшие представления о структуре нелинейных волн в средах со слабой дисперсией.

3.Составлена классификация решений обобщённого уравнения КП по типу соответствующих им фазовых траекторий.

4.Показано, что обобщённое уравнение КП имеет решения, соответствующие детерминированному хаосу (шумоподобным колебаниям).

5.Исследован динамический (детерминированный) хаос во временных рядах скорости западного и северного ветров в метеорной зоне D — слоя ионосферы. Вычислены стохастические характеристики временных рядов скорости ветра, такие как показатель Хёрста, корреляционная размерность, автокорреляционная функция. Построены графики изменения показателя Хёрста для западного и северного ветра. Анализ результатов позволяет делать выводы о структуре системы уравнений, описывающей внутренние гравитационные шумоподобные колебания. Соответствующая система уравнений относится к классу нелинейных диссипативных динамических систем с фазовым пространством размерностью п>3.

Представленные в диссертационной работе исследования могли бы быть продолжены обработкой большего массива измерений скорости ветра, за несколько лет. В частности, представляет интерес динамика показателя Хёрста за летний период. Желательно проведение более детальных расчётов стохастических характеристик временных рядов скорости ветра. Важно построение аттрактора динамической системы, соответствующей обобщённому уравнению КП (случай диссипации и неустойчивости).

Дальнейшее рассмотрение данной темы позволит значительно улучшить наше понимание механизмов динамики внутренних гравитационных колебаний и волн.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю глубокую благодарность научному руководителю проф. И. А. Молоткову за ценные советы, помощь в организационных вопросах и моральную поддержку.

Автор также благодарит О. Б. Новик, Г. В. Гивишвили, Н. И. Манаенкову, Д. Р. Шкляр, А. Н. Фахрутдинову за полезные дискуссии, сделанные замечания и рекомендации.

Основные обозначения.

КП — Кадомцева-Петвиашвили (уравнение) л — коэффициент диссипации.

8 — коэффициент неустойчивости.

Р — коэффициент дисперсии у — коэффициент дисперсии высшего порядка р — показатель нелинейности.

ВГВ — внутренние гравитационные волны.

V — скорость волны h — высота однородной нейтральной атмосферы.

Н — показатель Хёрста.

D — корреляционная размерность.

Заключение

.