Основные приемы интегрирования

Задание 1

Найти неопределенные интегралы Решение:

Сделаем замену Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности:

Для последующих действий вычислим производную знаменателя Значит, можем воспользоваться формулой:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Задание 2

Вычислить определенный интеграл:

— по формуле Ньютона-Лейбница;

— по формуле Симпсона с точностью 0,01, n = 10;

Решение:

Формула Ньютона-Лейбница Сделаем замену Формула Симпсона:

Разобьем интервал на 10 промежутков

Формула Симпсона:

Формула Ньютона-Лейбница Формула Симпсона:

Разобьем интервал на 10 промежутков

Формула Симпсона:

Задание 3

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение:

Значит, можем воспользоваться формулой:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Интеграл расходится.

Задание 4

1. Вычислить площадь фигуры ограниченной кардиоидой

Решение:

Сделаем чертеж:

На промежутке

Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а= и b= 0.

Ответ:

Задание 5

интеграл ньютон симпсон линия Вычислить криволинейный интеграл

где L — путь, соединяющий точки А (1; 0) и В (0; 1) по

1) прямой ;

2) ломаной линии АСВ, где С (1; 1);

3) окружности

Решение:

1.

2.

Разбиваем замкнутый путь АСВА на три участка АС, СВ, ВА На участке ОВ принимаем за параметр ординату, при этом х=1, dx=0, на участке СВ, абсциссу, при этом у=1, dy=0, на участке ВА ординату, при чем х=у, dx=dy

3. окружности Задание 6

В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

Решение:

Сделаем чертеж области D:

I способ:

Расставим пределы интегрирования:

II способ:

Задание 7

С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти область ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.

Решение:

Сделаем чертеж:

Ответ:

Задание 8

Найти объем тела, ограниченного поверхностями с помощью тройного интеграла:

Решение:

Сделаем чертеж:

Ответ:

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991с.

2. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368с.

3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509с.

4. Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464с.