Потенциалы равновесных мер во внешних полях и экстремальные свойства их носителей

Рассмотрение экстремальных задач теории потенциала восходит к Гауссу [20], но первыми работами в этой области принято считать две статьи О. Фростмана [18],[19], который рассмотрел экстремальные задачи теории потенциала с логарифмическим ядром в непрерывных супергармонических внешних полях и показал, что потенциалы экстремальных мер удовлетворяют некоторым соотношениям равновесия.

Современный интерес к экстремальным задачам теории логарифмического потенциала обусловлен многочисленными приложениями к различным областям математики и математической физики. Среди приложений выделим теорию аппроксимаций и ортогональных многочленов, теорию матричных случайных ансамблей, вполне интегрируемые регуляризации нелинейных гиперболических уравнений в частных производных.

Е.А. Рахманов [9] изучая слабую асимптотику масштабированных ортогональных полиномов относительно весов Фрода, показал, что она тесно связана с потенциалом некоторой равновесной меры во внешнем поле. Тогда же А. А. Гончар и Е. А. Рахманов [4] ввели понятие векторной задачи логарифмического потенциала в связи с рассмотрением полиномов совместной ортогональности, которые возникли при рассмотрении аппроксимаций Эрмита — Паде. Е. А. Рахманов [10] в 1996 году впервые рассмотрел экстремальные задачи с ограничениями на меры, что позволило получить описание предельного распределения нулей многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.

Фундаментальное исследование равновесных потенциалов во внешнем поле было проведено Е. Б. Саффом с соавторами [22],[24].

Определение носителей равновесных мер и множеств равновесия является важным шагом при решении экстремальных задач. B.C. Буяров и Е. А. Рахманов [3] рассмотрев семейство задач равновесия в поле для мер с переменной массой величины х показали, что знание семейства носителей равновесных мер S (x) позволяет определить все харектеристики задачи — поле Q, равновесную меру Ад.

Процедура нахождения носителей S равновесных мер Ад имеет непосредственные приложения к некоторым задачам математической физики. Например, А. И. Аптекарев и В. Ван Асше [13] показали, что, если экстремальная задача рассматривается над классом мер массы х и внешнее поле Q специальным образом зависит от параметра то концевые точки носителя S (x, t) = [а (ж, t), (3(х, t)] удовлетворяют некоторым гиперболическим системам уравнений с частными производными (по х и t).

Понятие равновесной меры сыграло существенную роль в исследовании П. Дейфта с соавторами [15], [16] дисперсионных дискретизаций уравнения Бюргерсаи гиперболичиской системы «непрерывный предел цепочки Тоды». Скачкообразное изменение носителей равновесных мер позволило А. И. Аптекареву и Ю. Г. Рыкову [1] предложить обобщенный принцип Гюгонио для выделения разрывных решений (ударных волн) нелинейных гиперболических систем уравнений с частными производными.

Другим важным применением равновесных мер в задачах математической физике является полученное JI. Пастуром и М. Щербиной [И], а также П. Дейфтом с соавторами [12], доказательство гипотезы об универсальности предельного поведения ансамблей матричных случайных величин. А. И. Аптекаревым, П. Блехером и А. Куэларсом [14] с помощью векторных задач равновесия получена предельная теорема распределения собственных значений Гауссовых случайных матриц с внешним источником, используемая в описании Броуновского движения. Наконец отметим приложения экстремальных задач с внешним полем к задачам контакта теории упругости [27].

Целью настоящей работы является изучение различных классов экстремальных задач теории логарифмического потенциала с точки зрения нахождения носителей равновесных мер. Разработка методов численного решения таких задач. Рассмотрение связи некоторой системой гиперболических уравнений (так называемый континуальный предел цепочек Тоды) с носителями равновесных мер в экстремальных задачах теории потенциала, где внешнее поле специальным образом зависит от времени.

Основным методом поиска носителей равновесных мер в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала является поиск различных экстремальных функционалов — аналогов функционала предложенного Х. Н. Маскаром и Е. Б. Саффом [23]. Тем самым, задача нахождения носителей экстремальных мер сводится к поиску экстремальных точек этих функционалов. Последнее требует преодоления некоторых не формальных трудностей, связанных с решением робеновских экстремальных задач логарифмического потенциала.

Результаты диссертации состоят в следующем:

1) Найдены уравнения для множеств равновесия экстремальных мер в задачах минимизации энергии теории логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями на меры. Доказано, что, при специальных зависимостях внешнего поля от времени, концы интервала равновесия удовлетворяют некоторой системе гиперболических уравнений (так называемый континуальный предел цепочек Тоды).

2) Предложены процедуры численного определения носителей равновесных мер и множеств равновесия.

3) Изучены задачи векторного равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями. Найдены условия равновесия в таких задачах и получены утверждения о некоторых свойствах носителей экстремальных мер.

4) Предложен векторный аналог функционала Маскара-Саффа. С его помощью решена одна задача равновесия логарифмического потенциала с матрицей взаимодействия Никишина.

Остановимся кратко на структуре работы.

В первой главе рассматриваются скалярные задачи равновесия во внешнем поле с ограничениями на равновесные меры. Здесь найдены уравнения на концы интервала равновесия. Оказывается, что концы интервала равновесия при некоторой зависимости внешнего поля от времени удовлетворяют непрерывному пределу цепочки Тоды: да (3 — ада dt 4 дх' др Р-ад/З < dt 4 дх'.

Во второй главе изучается вопрос о численном нахождении носителей равновесных мер и множеств равновесия. Мы предложим метод численного определения множеств равновесия, когда носители равновесных мер и множества, где ограничение не достигается есть отрезки. Основой предложенного метода является поиск точек экстремумов некоторых специальных функционалов.

В качестве примера рассмотрена задача контакта абсолютно жесткого поршня с упругой плоскостью и предельное распределение нулей полиномов Кравчука.

В третьей главе рассматриваются векторные задачи равновесия во внешнем поле (с ограничениями на равновесные меры и без него). В первой чаете предложен новый экстремальный функционал и рассмотрены векторные задачи с ограничениями, для которых получены условия равновесия и некоторые свойства носителей.

Во второй чаете третьей главы мы будем рассматривать двумерную задачу равновесия с матрицей взаимодействия Никишина для двух отрезков с общей точкой во внешнем поле. Будет показано, что носители равновесных мер St для таких экстремальных задач суть два интерваQ ла, т. е. на левом конце первого отрезка имеет место сталкивание заряда:

5AI = К 0], S2 = [0,1] а < 0.

Наша цель — найти зависимость а (/3) с помощью нового экстремального функционала.

Чтобы иметь возможность оценить численные результаты, полученные с помощью минимизации нашего векторного функционала, мы решили эту задачу двумя разными способами и с радостью отметили, что два метода сошлись.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. А. И. Аптекареву за постановку интересных задач, руководство и постоянное внимание к работе, проф. Б. Бекер-ману (Лилль, Франция) за помощь и частичное соруководство работой, а так же B.C. Буярову за полезные обсуждения.

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны: Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, Программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-1551.2003.1), Отделением математических наук РАН (программа 1), фондом ИНТАС (грант № 03−516 637) и фондом РФФИ (грант № 05−100 522).

1. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов. О задаче равновесия для векторных потенциалов. //УМН, Том 40, вып 4, 1985.

2. А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, В. Н. Сорокин, Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа,// Матем. сборник 188 (1997), 671−696.

3. Е. М. Никишин, В. Н. Сорокин. Рациональные аппроксимации и ортогональность. //Москва «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1988.

4. Е. А. Рахманов. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси //Мат. сб. Т.119(162)-с.163−203.-1982.

5. Е. А. Рахманов. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной переменной //Мат. сб. Т. 187, Ne8-c. 109−124.-1996.

6. L. Pastur, M.Shcherbina. Universality of the Local Eigenvalue Statistics for a Class of Unitary Invariant Matrix Ensembles. J.Stat.Phys., 86, p.109−147 (1997).

7. A.I.Aptekarev, W. Van Assche. Asymptotic of discrete orthogonal polynomials and the continuum limit of the Toda lattice. //Journal of physics A: Mathematics and General, 34(48), 2001, 10 627−10 639.

8. A.I. Aptekarev, P.M. Bleher, A.B.J. Kuijlaars Large n Limit of Gaussian Random Matrices with External Source, Part ||.//Commun. Math. Phys. 259, 367−389 (2005).

9. P. Deift, K. T-R McLaughlin. A Continuum Limit of the Toda Lattice.// Memoirs of the American Mathematical Society. Number 624. January 1998, Volume 131.

10. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R McLaughlin New results on the equilibrium measure for logarithmic potentials in the presence of an external field. //J. Approx. Theory, 95(3) — 388−475, 1998.

11. P. D. Dragnev, E. B. Saff. Constrained energy problems with applications to orthogonal polynomials of a discrete variable.// J.Anal. Math. 72(1997), 223−259.

12. O. Frostman. Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions. // thesis. Meddel. Lunds Univ. Mat. Sem., 3:1−118,1935.

13. O. Frostman. La methode de variation de Gauss et les fonctions sousharmoniques. // Acta Sci. Math., 8: 149−159,1936;37.

14. G.F.Gauss // Allgemaine Lehrsatze. Werke, 5. p. 232.

15. A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575−587.

16. H. N Mhaskar, E. B. Saff Extremal problems for polinomials with exponential weights.//Trans. Amer. Math.Soc., 285:204−234, 1984.

17. H.N. Maskar, E. B. Saff. Where does the sup norm of a weighted polynomial live?// Constr. Approx (1985), 1,71−91.

18. E. B. Saff V. Totik. Logarithmic Potentials with External Fields. Grundlehren Math. Wiss. 316, Springer, Berlin, 1997.

19. H. Widom. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane.// Journal Adv. Math. 3, 127−232 (1969).

20. P. D. Dragnev, E. B. Saff. A problem in potential theory and zero asymptotics of Krawtchouk polynomials.// J. of Approx. Theory 102(2000).

21. A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575−587.

22. H. H. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручения и изгибы.// Москва «Наука». 1966.

23. А. В. J. Kuijlaars. On the finite-gap ansatz in the continuum limit of the Toda lattice.// Duke Math. J. 104(2000), 3, 433−462.

24. M. А. Лапик, О носителе экстремальной меры в векторной задаче равновесия, //Матем. сб., 2006, 197: 8, 101−118.

25. М.А. Lapik, Interval of Equilibrium for the Logarithmic potential of an Extremal Measure with a Constraint, and the Continuum Limit of the Toda Lattice. //Russian Journal of Mathematical Physics, 2006, 1, Vol. 13, 119−121.

26. M.A. Lapik, A continuum limit of the Toda lattice and the equilibrium for the constrained energy problem in the presence of an external field.// Preprint, Inst. Appl. Mathem. Russian Acad. Sci, 2004, 58.

27. M. А. Лапик, Нахождение носителя равновесной меры в векторной задаче равновесия логарифмического потенциала. //Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов: ООО «Научная книга», 200б.-210с.

28. М. А. Лапик, Численная процедура нахождения носителей равновесных мер и множеств равновесия в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала. //Преп., Инст. Прикл. Мат., 2006, 23.