Основы высшей математики
Т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы, А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы, А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что, А? Е = Е? А = А, где, А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое… Читать ещё >
Основы высшей математики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Контрольная работа
Основы высшей математики
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
2 Произведение матриц
3 Транспонированная матрица
4 Задача Список использованных источников
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.
Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
играет роль единицы в матричном исчислении.
Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.
— дельта Кронекера Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы, А на число k называется матрица В, такая что bij = k? aij.
В = k? A
bij = k? aij.
Матрица — А = (-1)? А называется противоположной матрице А.
2 Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm? n на матрицу Вn? p, называется матрица Сm? p такая, что сik = ai1? b1k + ai2? b2k + … + ain? bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы, А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы, А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что, А? Е = Е? А = А, где, А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ? ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А? Е = Е? А = А Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А? (В? С) = (А? В)? С;
2. А? (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В)? С = АС + ВС;
4. б? (АВ) = (бА)? В;
5. А? 0 = 0; 0? А = 0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В) Т = АТ + ВТ.
3 Транспонированная матрица
Транспонированная матрица — матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n — матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например, Свойства транспонированных матриц:
1. (AT)T = A
2. (A + B) T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
Список использованных источников
1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ, 2005. — 991 с.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричкова Е. А. Справочник по высшей математике. — Минск. ТетраСистемс, 2004. — 640 с.
4. Миносцев В. Б. Курс высшей математики. Часть 2. М.: 2005. — 517 с.