Некоторые линейные операторы

Содержание Введение

§ 1. Определение линейного оператора. Примеры

§ 2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§ 3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§ 4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§ 5. Оператор интегрирования

§ 6. Оператор дифференцирования

§ 7. Оператор сдвига Заключение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах (t) = g (t)x (t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf (t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af (x) = f (x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf (x)=f^/(x), в пространстве дифференцируемых функции D_{[a, b]}. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§ 1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть E_x и E_y E_x и E_y — линейные многообразия, то есть если x, y E_x, то x + y E_y, при, .

E_x — область определения А;

E_y — область значения А;- линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;:

1. А (х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;

2. А (х) = А (х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е₁ — линейное топологическое пространство. Оператор, А задан формулой:

Ax = x для всех x Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D_[a,b] — пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:

Дf (x) = f^/(x).

Где f (x) D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]}.

Оператор Д определен не на всем пространстве C_{[a, b]}, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С_{[-, +]} — пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор, А сдвигает функцию на const a:

Аf (x) = f (x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А (f+g) = (f+g)(x+a) = f (x+a) + g (x+a) = А (f) + А (g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A (kf (x)) = kf (x+a) = kA (f (x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что, А — линейный оператор.

4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение ₁, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§ 2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , — нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е Е₁ называется непрерывным в точке, если какова бы не была последовательность x_n x₀, А (x_n) сходится к А (x₀). То есть, при p (x_n, x₀) 0, p (А (x_n), А (x₀)) 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение, А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестностьШаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (x_n, x₀) < а.

Шар D(x₀, a).

Если p (x_n, x₀) а, то D(x₀, a) — замкнутый шар.

Если p (x_n, x₀) = а, то S(x₀, a) — сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А (V) U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) <, p (f (x), f (x₀)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор, А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда. Пусть оператор, А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_nх₁, тогда х_n-х₁0, отсюда А (х_n-х₁)А (0)=0, т. е. А (х_n-х₁)0.

Так как, А — это линейный оператор, то А (х_n-х₁)Ах_n-Ах₀, а тогда

Ах_n-Ах₀ 0, или Ах_nАх₀.

Таким образом, из того, что линейный оператор, А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F (y) = y (1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y (x) — произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) — произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

p (y_n, y) = |y_n(x) — y (x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F (y_n) = y_n(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F (y_n), F (y)) = |F (y_n) — F (y))| = | y_n(1) — y (1)| |y_n(x) — y (x))|=p (y_n, y),

то есть p (F (y_n), F (y)) 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Е₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S — множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n S, то выполняется неравенство: |А (x)| k_n||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу получаем |А (x)| k||x||, где (xE), (k S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора, А и обозначается ||A||Свойства нормы оператора.

1) Если оператор ограничен,, то и оператор ограничен, причем .

2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .

.

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А (x)| ||А||||x||, где

||А|| = xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор, А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор, А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А — ограничен;

Доказать: А — непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность, А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||.

Докажем, что, А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем так, чтобы K*||x|| <, ||x|| <, (К>0), значит =, тогда если ||x||<, то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность:

Дано: А — непрерывен;

Доказать, А — ограничен;

Доказательство:

Допустим, что, А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т. д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n =, где

||y_n|| = .

Следовательно последовательность y_n 0 при n .

Так как оператор, А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако

||Аy_n || = ||A|| = ||Ax_n || > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с Аy_n 0, то есть, А — ограничен Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционалаЛинейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

F (y) = в C_{[a, b]}, где p (x) — непрерывная на [a, b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F (x)| = ||.

|| || = |y (x)||| |y (x)|||;

||F|| = (|y (x)|||) = ||y (x)|||| = || .

Таким образом, норма F (y) = будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p (x)=(x-1)

F (y) = .

По выше доказанному ||F|| = = 1.

§ 3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , — нормированные пространства, — линейный оператор, D_A— область определения оператора, а R_A — область значений.

Определение 6. Оператор, А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор, А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору, А и обозначается А^-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

(m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x — нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A^-1y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1||=.

Необходимость.

Пусть от, А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A^-1y|| М||y||.

Подставляем значение y и значение A^-1y, получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть, А — линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ. Число л называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=лх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения л — регулярными. Иначе говоря, л есть регулярная точка, если оператор, где I — единичный оператор, обратим, При этом оператор (А — лI)^-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=лх имеет ненулевое решение, то есть л является собственным значением для оператора А; оператор (А — лI)^-1 при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А — лI)^-1, то есть л есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А — лI)^-1 существует, то есть уравнение Ах=лх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число л мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А — лI)^-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений л называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А — лI) х=0 при некотором х?0, то оператор (А — лI)^-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех л, для которых (А — лI)^-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение л является для оператора, А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра — существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор, где — регулярная точка оператора А, называется резольвентой Резольвента — это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.

оператора, А и обозначается (или).

Теорема 5. Пусть — линейный непрерывный оператор, его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на: (==. С другой стороны получим. Так как числа — регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит, из равенства следует, что. Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C_[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx (t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx (t) — x (t) = y (t),

решение x (t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y (t) единственное непрерывное решение:

x (t) = y (t),

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R (y) = y (t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀ [0, 1]. Возьмем в качестве y (t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y (₀) = a 0. Для такой функции равенство (t — ₀)x (t) = y (t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x (t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = ₀ уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t —)x (t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от, а следовательно, в силу непрерывности и при t =, обращается в нуль, т. е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор, А действующий из Е Е, задается матрицей А=.

Аx = = .

Введем обозначения:

= y₁

= y₂

x₁, x₂, y₁, y₂ E;

A — *I =, найдем определитель A — *I:

D (A — *I) = = (2-)*(-2-) — 3 = ² — 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если не есть корень уравнения ² — 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.

Корни уравнения ² — 7 = 0 образуют спектр:

₁ =; ₂ = -;

₁, ₂ — собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при = получаем:

откуда x₁ = (2+)x₂; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при = - получаем:

откуда x₁ = (2 —)x₂; 2-й собственный вектор: ((2 —)x, x);

§ 4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах (t) = g (t) x (t).

g (t) — функция, непрерывная на [a, b]; a, bR.

Проверим является ли оператора, А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A (f+g) = A (f) + A (g).

A (f+g) = (g (t)+f (t))x (t) = g (t)x (t)+f (t)x (t) = A (f) + A (g).

2) Аксиома однородности: A (k*f) = k*A (f).

A (k*f) = A (k*x (t)) = k*g (t)x (t) = kA (x (t)) = k*A (f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор, А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли, А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x)) 0 p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) = | f_n(x) — f₀(x)|.

Решение:

p (A x_n(t), Ax₀(t)) = |Ax_n(t) — Ax₀(t)| = |x_n(t)g (t) — x₀(t)g (t)| |g (t)| |x_n(t) — x₀(t)| = |g (t)|p (x_n(t), x₀(t)) 0.

Итак, p (A x_n(t), Ax₀(t)) 0. Следовательно по определению 2 оператор, А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор, А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=|A (f)|.

Решение.

||A||=|A (f)|=|g (t)x (t)|.

|g (t)x (t)| |g (t) x (t)| = |g (t)| |x (t)| |x (t)| |g (t)|.

||A||= |x (t)| |g (t)| = ||x (t)|| |g (t)| |g (t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g (t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число и составим оператор :

(А-I) x(t) = (g (t) —) х (t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение относительно функции. Это возможно, если для любого :

.

Если число не является значение функции g (t), то знаменатель не обращается в 0, и функция непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке. Отсюда следует, что оператор является ограниченным.

Если же, то оператор не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех = g (t).

Резольвента оператора имеет вид .

Отметим, что точки спектра, , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции, для которой, или. Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах (t) = g (t)x (t), где g (t) — функция, непрерывная на [a, b], a, bR:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g (t)|;

4. обратим при, для любого ;

5. спектр оператора состоит из всех = g (t); спектр данного оператора является непрерывным;

6. резольвента имеет вид .

§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций — C_[a,b], определенных на отрезке [a, b], заданный следующим образом:

Аf (t) = .

f (t) — функция, непрерывная на [a, b], t [a, x]; x [a, b]; a, bR;

Поскольку — интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела — F (x), a x b; Следовательно можно утверждать, что, А — оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A (f+g) = A (f) + A (g).

A (f+g) = = + = A (f) + A (g).

2) Аксиома однородности: A (kf) = kA (f).

A (kf) = = k* = kA (f).

Исходя из свойств интеграла:

1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2. вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор, А является линейным.

3) Проверим, является ли, А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(t), f₀(t)) 0 p (A f_n(t), Af₀(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(t), f₀(t)) = | f_n(t) — f₀(t)|.

Решение:

p (A f_n(t), Af₀(t)) = | - |.

| - | = || = p (f_n(t), f₀(t)) = p (f_n(t), f₀(t)) (x-a) 0

axb.

Таким образом p (A f_n(t), Af₀(t)) 0. следовательно по определению 2 оператор, А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

|| || ||

|| = 0; || = |b-a|.

0 || |b-a|.

5) Оператор, А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора, А (используя определение ||A||=|A (f)|):

||A|| = |A (f)| = || = (x-a);

a x b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f C_[0,b] / f (0) = 0} с нормой ||f|| = |f (x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x [0,b], t [0,x];

Найдем оператор обратный к (A — *I), R;

(A — *I)*f = g

— *f (x) = g (x) (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f — *f^/ = g^/ (2)

Это уравнение (2) — дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

— f^/ =

— + f^/ = 0 (3)

Представим решение уравнения в виде: f (x) = U (x)*V (x), тогда уравнение (3) примет вид:

— *U*V + U^/ *V + U*V^/ = 0

U^/ *V + U*V^/ — *U*V = ;

U^/ *V + U*(V^/ — *V) = - (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V^/ — *V = 0

V^/ = *V

= *V

=

LnV = + c

V = *, пусть = с₁

V = с₁*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V^/ — *V = 0.

Получим уравнение:

U^/ * с₁* = ;

= ;

= - *

U = -*

Подставим U и V в f (x) = U (x)*V (x) и получим:

f (x) = с₁**(-)*

найдем интеграл Y =, интегрируем по частям:

dz = g^/(x)dx;

z = = g (x);

j = ;

dj = - *dx;

Y = g (x)* + *

Подставим полученное значение в выражение f (x), которое примет вид:

f (x) = - - **;

Получим оператор В:

Bg = - - **;

x [0,b], t [0,x], g (x) S, — произвольное число.

Оператор В не существует, если = 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех R, 0;

||Bg|| = ||f (x)|| = |f (x)| = |- - **| (|| + |**|) || + |**| || + |*|*|g (x)* |*|x| *|g (x)| + *|g (x)|* (||*|x|) |g (x)|*(+ ***b);

При > 0

= ;

= 1;

При < 0

=1;

= ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g (x)|*(+ ***b) |g (x)|*(+ *{1, }*b) = ||g (x)||*(+ *{1, }*b);

Итак:

||Bg|| ||g (x)||*(+ *{1, }*b);

То есть В — ограничен.

Осталось проверить, что В — оператор, обратный к (A — *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A — *I)*(Bg) = g (x).

Итак, нужно доказать, что

+ g (x) + * = g (x)

или

-* - + ** = 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-*g (x) — ** + ** + *** g (x) = -*g (x) + *g (x) — ** + ** = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В — обратный оператор к (A — *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A — *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 — это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В — резольвента оператора А. Спектр оператора, А — значение при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций — C_[a,b], определенных на отрезке [a, b], заданный следующим образом: Аf (t) =, где f (t) — функция, непрерывная на [a, b], t [a, x]; x [a, b]; a, bR:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный: 0 || |b-a|;

4. норма A: ||A|| = (b-a);

5. резольвента оператора А: R (A) = - - **, где

x [0,b], t [0,x], g (x) S, S = {f C_[0,b] / f (0) = 0} с нормой ||f||=|f (x)|, g (x) = - *f (x), — произвольное число.

6. Спектр оператора А: =0.

§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций — D_[a,b], заданный следующим образом:

Дf (x) = f^/(x);

Функция f (x) D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]};

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д (f+g) = Д (f) + Д (g).

Д (f+g) = (f+g)^/ = f^/ + g^/ = Д (f) + Д (g).

2) Аксиома однородности: Д (kf) = kД (f).

Д (kf) = (kf) ^/ = k (f)^/ = kД (f).

Исходя из свойств производной:

1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д — линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf (x) = f^/(x) подпространства E C_{[0, 2]}, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C_{[0, 2]}.

Рассмотрим f₀(x) = 0 C_{[0, 2]} и последовательность функций f_n(x)=.

В пространстве E C_{[0, 2]}: p (f₀, f_n) = || = 0, следовательно f_n f₀.

Рассмотрим последовательность образов: Д (f_n) = cos (nx).

Имеем:

p (Дf_n, Дf₀) = |cos (nx)| = 1.

Это означает, что Дf_n не может сходиться к Дf₀, то есть отображение Д терпит разрыв в f₀.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C_{[0, 1]} в C_{[0, 1]}, оператор Дf (x) = f^/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C_{[0, 1]} норма ||f|| = |f (t)|.

Возьмем из C_{[0, 1]} последовательность f_n(t) = tⁿ. Она ограничена в C_{[0, 1]}: ||f_n(t)|| = |tⁿ| = 1.

Рассмотрим Д f_n(t): Д f_n(t) = f^/_n(t) = n t^n-1;

||f^/_n(t)|| = |n t^n-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций — D_[a,b], заданный следующим образом: Дf (x)=f^/(x), где функция f (x) D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]}:

1. линейный;

2. не ограниченный;

3. не непрерывный.

§ 7. Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций — C_[], заданный следующим образом:

Af (x) = f (x+a).

Функции f (x), f (x+a) C_[], a R, f (x+a) — непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А (f+g) = А (f) + А (g).

А (f+g) = (f+g)(x+a) = f (x+a) + g (x+a) = А (f) + А (g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А (kf) = kА (f).

A (k*f (x)) = k*f (x+a) = k*A (f (x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что, А — линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x)) 0 p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор, А действует в пространстве C_[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) = | f_n(x) — f₀(x)|.

Решение:

p (A f_n(x), Af₀(x)) = |Af_n(x) — Af₀(x)| = |f_n(x+a) — f₀(x+a)| = = |f_n(t) — f₀(t)| = p (f_n(t), f₀(t)) 0.

Таким образом p (A f_n(x), Af₀(x)) 0. Следовательно оператор, А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора, А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f (x+a)| 1.

Поскольку ||f|| = |f (x)| 1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af (x) = f (x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A^-1f (x) = f (x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций — С_{[0, +)}, имеющих конечный предел на :

Af (x) = f (x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора, А касается разрешимости в пространствах С_[0,b) и С_[а,+).

Введем функцию V (x) = при ||<1, 0, найдем ее предел:

= 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С_[0,+).

Теперь рассмотрим V (x+a) = = * = *V (x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x, а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A (V (x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V (x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V (x) — V (x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности точечному спектру оператора, А в пространстве С_{[0, +)}.

Рассмотрим U (x) = и число = (|| = 1);

U (x+a) = = = U (x);

U (x) = = Cos () + iSin (), принадлежит пространству С_[0,b) так как мнимая и действительная части — функции ограниченные, но не принадлежат пространству С_{[a, +)} так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора, А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С_{[0, +)} точки =, 2n не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется =, 2n — собственное число, тогда найдется функция f (x) С_{[0, +)}, что

f (x+a) = f (x).

Применим оператор, А n раз: f (x+n*a) = ⁿf (x), тогда

f (x+na) = ⁿf (x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность ⁿ = = Cos (n) + iSin (n).

Следовательно =, 2n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора, А в пространстве С_[0,+), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора, А в пространстве С_{[0, +)}.

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные;

При ||<1 и =1 — точки спектра;

При =, 2n — точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций — C_[], заданный следующим образом: Af (x) = f (x+a), где функции f (x), f (x+a) C_[], a R, f (x+a) — непрерывная и ограниченная функция:

1. линейный;

2. непрерывный и ограниченный;

3. норма А: ||A|| = 1;

4. A^-1f (x) = f (x-a);

5. Спектр оператора А:

· при ||<1 и =1 — точки спектра;

· при =, 2n — точки непрерывного спектра;

· При ||>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

2. Соболев, В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В. И. Соболев. — М.: Наука, 1968.

3. Петров, В.А., Виленкин, Н. Я, Граев, М. И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В. А. Петров, Н. Я. Виленкин, М. И. Граев под ред. О. А. Павлович. — М.: Просвещение, 1978.

4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А. Г. Костюченко; пер. с англ. Л. И. Головина, Б. С. Литягина. — М.: Издательство иностранной литературы, 1926.